1.2.定积分的应用ppt课件

1、第六章利用元素法解决利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分的应用第一节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第六章 表示为niiixfU10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定

2、积分定义机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一个整体量 ;二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零 , 以常代变以常代变” 求出局部量的求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“ 积零为整积零为整 , 无限累加无限累加 ” 求出整体量的求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为元素法 (或微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 完毕 四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)三、已知平行截面面积函数的三、已知平行

3、截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定积分在几何学上的应用 第六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲那么xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围

4、所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxy22oy4 xy例例2. 计算抛物线计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A机动 目录 上页 下页 返回 完毕 abxoyx例例3. 求椭圆求椭圆12222byax解解: 利用对

5、称性利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxdoyxababoyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(1axt对应)(1bxt对应例例4. 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a

6、的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyoa22. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A机动 目录 上页 下页 返回 完毕 对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线

7、解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 到 2 所围图形面积 . ttadcos82042例例6. 计算心形线计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线 目录 上页 下页 返回 完毕 oxya心形线心形线(外摆线的一种外摆线的一种)2222yxaxayx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点

8、:)0,0( 面积:223a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 计算心形线计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、已知平行截面面积函数的立体体积二、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVba

9、d)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xabxxxd)(xA上连续,xyoabxyoab)(xfy 特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ayxb例例13. 计算由椭圆计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby那么xxaabad)(220222(利用对称性)3222312

10、xxaab0a234aboaV02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 x方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程tbytaxsincos那么xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例16. 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)

11、(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oRxyxoRxy考虑考虑: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动 目录 上页 下页 返回 完毕 abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 计算由曲面计算由曲面1222222czbyax所围立体(椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxA因此椭球体体积

12、为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 的体积.ox1 2yBC3A例例18. 求曲线求曲线132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxd)4(322122三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长

13、定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则称sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 完

14、毕 (2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例10. 求连续曲线求连续曲线段段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动 目录

15、 上页 下页 返回 完毕 例例11. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyoa2d222aa例例12. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下

16、页 返回 完毕 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s机动 目录 上页 下页 返回 完毕 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、体积、 弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 微元分析法微元形状

17、 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.转动惯量 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定积分的应用 第六章 例例1. 求抛物线求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)

18、( xS且为最小点 . 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 设非负函数设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因而5a时 V 取最小值 .xoy1xoy1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 证明曲边扇形证明曲边扇形),(0,0rr 绕极轴.dsin)(323rVox)(rr xdrd证证: 先求先求d,上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积.doxV体积微元rrddrsin2 roxVddsin2rrrd)(02dsin)(323r故dsin)(323rVox旋转而成的体积为机动 目录 上页