解析几何第四版课后答案(2)

1、第五章二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1.写出下列二次曲线的矩阵A以及 Fi（x, y） , F2（x,y）及 F3（x, y）.2（1）三 a2 y_ b21;（2）2y .台1；b222y 2px； （4） x 3y 5x 2 0;（5） 2x2xy6x7y4 0.解：（i）（2）（3）（4）（5）1 b200 ； Fi（x, y）L ,、1L，、F2（x, y） yyy； F3（x,y） b0 ； F（x, y）1x F2（x, y） a1-ry ; F3（x,y） b1.；F1（x, y）；F1（x,y）F2（x, y）F2（x, y）1；F1（x, y）

2、2x - y 3 2y ； F3（x, y）3y ; F3（x, y）px ；2;F3（x,y）3x 1y 4.1F2（x, y）-x y22.求二次曲线x2 2xy 3y2 4x 6y 3 0与下列直线的交点(1) 5x y 5 0； x 2y 2 0;(3) x 4y 1 0 ;(4) x 3y 0；(5) 2x 6y 9 0.解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略1 54 226i5(1)(2，封1Q)；4 2 26i7 2 26i,55二重点(1,0);(4)1 12,6(5)无交点.3.求直线x y 10与二次曲线 2x2 xy y2 x 2y 10的交点.解：由直线方程得

3、x y 1代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点24 .试确M k的值，使得(1)直线x y 5 0与二次曲线x 3x y k 0交于两不同的实点；. .x 1 kt,.(2)直线与二次曲线x2 4xy 3y2 y 0交于一点；y k t(3) x ky 1 0与二次曲线 2xy y2 (k 1)y 1 0交于两个相互重合的点；x 1 t,22(4) 与二次曲线2x 4xy ky x 2y 0交于两个共轲虚交点.y 1 t_ 一 _49解：详解略.(1) k 4； (2) k 1或k 3 (3) k 1或 k 5； (4) k .24§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1.

4、求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的2-2(1) x 2xy y 3x y 0 ；2_2_ 3x 4xy 2y x 2y 5 0；(3) 2xy 4x 2y 3 0.解：(1)由(X,Y) X 2x2 5xy 2y2 6x 3y 5 0 ；2 _ _ 2 _ 9x 30xy 25y 8x 15y 0. 2XY Y2 0得渐进方向为 X :Y 1: 1或1:1且属于抛物 型的；(2)由(X,Y) 3X2 4XY 2Y2 0得渐进方向为X :Y ( 2 ")：3且属于椭圆型 的；(3)由(X,Y) 2XY 0得渐进方向为X:Y 1:0或0:1且属于双曲型的.2.判断下列曲线是

5、中心曲线，无心曲线还是线心曲线22(1) x 2xy 2y 4x 6y22(2) x 4xy 4y 2x 2y(3) 2y2 8x 12y 3 0；22(4) 9x 6xy y 6x 2y-11解：(1)因为12121 2因为I212 0且2 40 00(3)因为I20且一0 2093(4)因为I20且，3 13.求下列二次曲线的中心.(1) 5x2 2xy 3y2 2x 3：3 0；1 0 ；0.0,所以它为中心曲线；121 一.-,所以它为无心曲线;2410 4一，-所以它为无心曲线；2 6-,所以它为线心曲线;3 126 0;5x y 1 0,313解：(1)由3得中心坐标为(士，)；x

6、 3y 02828252x y 3 0,2得中心坐标为（1,2）；5x 2y - 0229x 15y 4 0,15知无解，所以曲线为无心曲线15x 25 y 一 02 2_2_._,4.当a,b满足什么条件时， 二次曲线x 6xy ay 3x by 4 0 (1)有唯一中心；(2) 没有中心；(3)有一条中心直线.3x 3y - 0,解：(1)由2 知，当a 9时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；3x ay - 0 2(2)当a 9,b 9时方程无解，此时曲线没有中心；(3)当a b 9时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.5.试证如果二次曲线22F(x, y) ax2a或xy a22y2a

7、x 2a23y a33 0有渐进线，那么它的两个渐进线方程是22(xx°,yy°) = a11(xx°)2a12(xx°)(yy°)a22(yy0)0式中(x°, y°)为二次曲线的中心.证明：设(x,y)为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为X:Y (x x0):(y y0),所以(xx°,yyO)=a11(xx。)22a或(xx°)(yy°)a22(yy。)20.6.求下列二次曲线的渐进线. 22(1) 6xxyy3xy 1 0 ；(2) x23xy2y2x3y 4 0；2_2_(3) x

8、2xyy2x2y 4 0.16x y解：(1)由 212x y20,2得中心坐标(-025,1).而由6X2XY Y20得渐进方向为1: 2或X :Y 1:3,所以渐进线方程分别为2x y1 0 与 3x(2)31x y -223 c 3x 2y -220,得中心坐标(035)而由X22 一. 、” 一. 一.、一.3XY 2Y0得渐进方向为 X :Y 1:1或X :Y 2:1 ,所以渐进线方程分别(3)y 1 0,知曲线为线心曲线, y 1 02 0与x 2y 1 0所以渐进线为线心线，其方程为x y 1 0.7.试证二次曲线是线心曲线的充要条件是I2 I3 0 ,成为无心曲线的充要条件是I

9、20,I30.证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是a!a2型也即 I2 I3 0；a12a22a23为无心曲线的充要条件是a1a2a12a22a3也即 I2 0,I3 0.a238.证明以直线Ax By C10为渐进线的二次曲线方程总能写成(Ax By1 C1)(Ax By C) D证明：设以Ax By1 C10为渐进线的二次曲线为则它的渐进线为(x x0, y y0)=a11(x x0)2 2a12(xx0)(yy。)2a22(y y0)0,其中(x°, y°)为曲线的中心，从而有(x x°,y y°)=(Ax By1 C1)(Ax By C) 022

10、ai(x Xo)2&2(x %)(y y°) a22(y y°)而(x Xo, y y0)= anx2 2axy a2y2 2(七 &2丫。口2(a12x0a22 yo)yallxO2a12x0 y0a22 y0，a230为渐进线的二因为(xo,yo)为曲线的中心，所以有all%al2Yoa13，a12xoa22Yo因此(x xo, y yo) F(x, y)(x0,yo) a33,令(x0,yo) a33D ,代入上式得 F (x, y) (x xo, y y°) D即 F(x,y) (A1x By1 C1)(Ax By C) D ,所以以 Ax

11、 By1 C1次曲线可写为(Ax Byi Ci)(Ax By C) D o.9.求下列二次曲线的方程.(1)以点(。，1)为中心，且通过(2, 3), (4, 2)与(-1 , -3);通过点(1, 1), (2, 1), (-1 , -2)且以直线x y 1 o为渐进线解：利用习题8的结论即可得：(1) xy x 4。；(2) 2x2 xy 3y2 5x 7 o.§5.3二次曲线的切线1 .求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程(1)曲线 3x2 4xy 5y2 7x 8y 3 0 在点(2, 1)；22(2)曲线曲线3x 4xy 5y 7x 8y 3 0在点在原点；(3)曲

12、线 x2 xy y2 x 4y 3 0 经过点(-2, -1 )；(4)曲线 5x2 6xy 5y2 8 经过点(0, J2)；(5)曲线 2x2 xy y2 x 2y 1 0经过点(0, 2).解：(1) 9x 10y 28 0;(2) x 2y 0;(3) y 1 0,x y 3 0；(4) 11x 5y 10s/2 0,x y 272 0；x 0.2 .求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标(1)曲线 x2 4xy 3y25x y 3 0的切线平行于直线 x 4y 0;（2）曲线x2 xy y2 3的切线平行于两坐标轴解：(1) x 4y 5 0, (1,1)和 x 4y 8 0, (

13、 4,3); y 2 0, (1, 2),( 1,2)和 x 2 0, (2, 1),( 2,1).3 .求下列二次曲线的奇异点.(1) 3x2 2y2 6x 4y 1 0；2 2xy y 2x 1 0；,一、2_2_(3) x 2xy y 2x 2y 1 0.“、 3x 3 0,一解：（1）解方程组,得奇异点为（1,1）;2y 2 0（2）解方程组y 10,得奇异点为(1,1).x y 04.试求经过原点且切直线4x 3y 20于点（1,-2）及切直线x y 1 0于点（0,-1）的二次曲线方程解：利用（5.3-5 ）可得6x2 3xy2y 2x y 0.5.设有共焦点的曲线族2.2a h2

14、y22b h1,这里h是一个变动的参数，作平行于已知直线y mx的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程.解：设切点坐标为（x0,y0）,则由（5.3-4 ）得曲线的切线为2“" 22yoy 2 1，因为它a h b h, 2222平行与y mx,所以有h2xbmy回，代入?x0 ? -Ty 1整理得x my。a2 h2 b2 h22/2/、2/2,2、cmx0 （m 1）x0y0 my0 m（a b ） 0,所以切点的轨迹为2,22,2,2、mx （m 1）xy my m（a b ） 0.§5.4二次曲线的直径1 .已知二次曲线3x2 7xy 5y2 4x 5y 1 0.求

15、它的（1）与x轴平行的弦的中点轨迹；（2）与y轴平行的弦的中点轨迹；（3）与直线x y 1 0平行的弦的中点轨迹解：（1）因为x轴的方向为 X:Y 1:0代入（5.4-3 ）得中点轨迹方程 6x 7y 4 0;（2）因为y轴的方向为 X :Y 0:1代入（5.4-3 ）得中点轨迹方程 7x 10y 5 0 ;（3）因为直线x y 1 0的方向为X:Y 1:1代入（5.4-3 ）得中点轨迹方程x 3y 1 0.2 .求曲线x2 2xy 4x 2y 6 0通过点（8, 0）的直径方程，并求其共轲直径.解：（1）把点（8, 0）代入 X（x 2） Y（2y 1） 0得X:Y 1:6,再代入上式整理得

16、直径方程为x 12y 8 0,其共轲直径为12x 2y 23 0.3 .已知曲线xy y2 2x 3y 1 0的直径与y轴平行，求它的方程，并求出这直径的共 轲直径.解：直径方程为x 1 0,其共轲直径方程为 x 2y 3 0.4 .已知抛物线y2 8x,通过点（-1,1）引一弦使它在这点被平分.解：4x y 3 0.x2 y2 5 .求双曲线 一 1 一对共轲直径的方程，已知两共轲直径间的角是45度.6 42斛：设直径和共轲直径的斜率分力1J为k,k ,则kk .又因为它们交角45度，所以3k k .11 一 一一r 1 ,从而k 一或2,k 2或一，故直径和共轲直径的万程为x 3y 0和1

17、 kk332x y 0或 2x y 0 和 x 3y 0.6 .求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向， 所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.7 .求下列两条曲线的公共直径,.、_2_2(1) 3x 2xy 3y 4x 4y 42_20 与 2x 3xy y 3x 2 y 0 ；3.直线x y 1 0是二次曲线的主直径，点(0, 0), (1, -1), (2, 1)在曲线上，求该曲222-2- x xy y x y

18、 0 与 x 2xy y x y 0.解：(1) 2x y 1 0 ； 5x 5y 2 0.8 .已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线x 3y 2 0,与 5y 3 0,5x 5y 4 0 2x y 1 0为它的两对共轲直径，求该二次曲线的方程.解：设曲线的方程为 F(x, y) aux2 2a12xy a22y2 2a13x 2a23y a330,则由(5.4-3)111 一 和(5.4-5)可得a,11,a12-,a221,a13-,a23-,a330 ,所以曲线的方程、r 22_为 x xy y x y 0.§5.5二次曲线的主直径与主方向221.分别求椭圆与4a2b2解：椭

19、圆的主方向分别为221,双曲线 0 4 1,抛物线y2 2px的主方向与主直径 a b1 ： 0和0： 1,主直径分别为x 0, y 0；双曲线的主方向分别0: 1和1: 0,主直径为1： 0和0： 1,主直径分别为x 0, y 0；抛物线的主方向分别为分别为y 0.2.求下列二次曲线的主方向与主直径.22(1) 5x 8xy 5y 18x 18y 9 0；(2) 2xy 2x 2y 1 0；(3) 9x2 24xy 16y2 18x 101y 19 0.解：(1)曲线的主方向分别为 1： (-1)和1： 1,主直径分别为x y 0,x y 2 0 ;(2)其主方向分别为1： 1和1： (-1

20、 ),主直径分别为 x y 0,x y 2 0；(3)其主方向分别为3： (-4)和4： 3,主直径分别为3x 4y 7 0；(4)任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径线的方程.解：设二次曲线方程为2 cF(x,y) aux2a12xy a22 y2a13X2a23 y a330 ,把点坐标(0, 0), (1,-1), (2,1)分别代入上面方程同时利用直线1 0为其主直径可得a114，a127，a22 4，a137二 , 82324自30 ，所以所求曲线方程为 4x2 7xy.24y 7x 8y 0.4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直证明：设1,2分别曲线的两不

21、同特征根，由它们确定的主方向分别为X1：Y与 X2：Y2则司区 加丫 1X1，一 aa与a12X1a22Y11Y1 ,a12X2a22Y22X2,2丫2所以1X1X21YY2(811X1队丫冰?( a12X1a22Y1)Y2(司区2X2X1司2天71(812X2 a22K)X12Y2Y1,从而有(2XX1X2YY2)0,因为12,所以X1X2 YY2 0，由此两主方向X1：Y与X2：Y2相互垂直.§5.6二次曲线方程的化简与分类1 .利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形22_ _(1) 5x 4xy 2y 24x 12y 18 0；22(2) x2xyy4x y1

22、0 ；(3) 5x2 12xy 22x 12y 19 0；(4) x22xyy22x 2y 0.，. 一 一3解(1)因为二次曲线含 xy项，我们先通过转轴消去xy,设旋转角为，则ctg2 -,4门口 1 tg23,1 一 什>21即 一，所以tg -或-2.取tg 2 ,那么sin 一尸，cos 一尸,所2tg 42. 551 ' ''、x =(x 2y ),以转轴公式为55代入原方程化简再配方整理得新方程为1''、y 5( 2x y)."9"96x ,'' y 再(x 2y) 2.代入已知曲线方程并整理得曲线

23、在新坐标系下的方程为9x2 4y'2 36 0. y2 12 0；类似的化简可得'2''2''2 一 ''2 一一 _一 ''2一(2) 2V2x5y 0； (3) 9x 4y 36 0 ； (4) 2x 1 0 .2.以二次曲线的主直径为新坐标轴, 形.化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图22(1) 8x 4xy 5y 8x 16y 16 0；(2) x2 4xy 2y2 10x 4y 0；2 一2(3) 4x 4xy y 6x 8y 3 0 ；2 一2(4) 4x 4xy y 4x 2y 0.解：(

24、1)已知二次曲线的距阵是8225484816I1 8 5 13, I236,所以曲线的特征方程为2 1336 0 ,其特征根为14,29,两个主方向为X1: 丫 1: 2 , X2 : Y2 2:1 ；其对应的主直径分别为 x 8y 20 0, 7x 7y 4 0.取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式1''、x 5(2x y) 1,(2)已知二次曲线的距阵是坐标变换公式x .5(x(2y) 1,1y 不(2x y) 2.代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为3x2 2y'2 1 0.(3)已知二次曲线的距阵是4232 14,3 43坐标变换公式1,9x &qu

25、ot;(x 2y),5101 小,、1y -5(2X y) 5.代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'25y10 -5x0.(4)坐标变换公式1 , , c ,、2x .5(X 2y) 5,1,、1y ：5(2x y) 5.代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'25y 1 0.3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式'2'222a13a23a13a13 .证明：设旋转角为,贝U a13 a13 cosa23 sina13sina23 cos相加得'2'222a13 a23a13 a13 .3.试证二次

26、曲线22,ax 2hxy ay d的两条主直径为x2 y2 0,曲线的两半轴的长分别为§5.7应用不变量化简二次曲线的方程1.利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方 程.22(1) x 6xy y 6x 2y 1 0；(2) 3x2 2xy 3y2 4x 4y 4 0；(3) x24xy3y22x2y0；22(4) x4xy4y2x2y10；,22x2xy2y4x6y290；(6) Tx 百 Ta ；22 x 2xy y 2x 2y 4 0；(8) 4x2 4xy y2 12x 6y 9 0.1 3 3解：(1)因为 I12, I2228 0的两

27、根为8,4,曲线的标准方程为16,I3- 、/-2 ,而特征方程I 22,所以曲线的简化方程（略去撇号）为4x2 2y2 2 0,曲线为双曲线；类似地得下面：(略去撇号)为(2)曲线的简化方程2x24y2曲线的标准方程为曲线为椭圆；(3)曲线的简化方程(略去撇号)为1,(2 ,5) x2(2岛2 0,曲线的标准方程为2x1.5曲线为两相交直线；(4)曲线的简化方程(略去撇号)为5y2曲线的标准方程为V5x, 25曲线为抛物线；(5)曲线的简化方程(略去撇号)为,3 .5、 2()x,3.5、 2()y0,曲线的标准方程为2x13:52y_150,曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线;(6)曲线的简化方程(略去撇号)为2y2 2、. 2ax 0,(0x a,0y a)，曲线的标准方程为y272ax , (0x a,0y a)曲线为抛物线的一部分；(7)曲线的简化方程(略去撇号)为2y2 5 0,曲线的标准方程为曲线为两平行直线；(8)曲线的简化方程(略去撇号)为5y2 0,曲线的标准方程为y2 0