概率论与数理统计各章重点知识整理

1、学习资料收集于网络，仅供参考概率论与数理统计各章重点知识整理第一章概率论的基本概念一i.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先 明确试验的所有可能结果；(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合.样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件(S)：每次试验中一定发生的事件.不可能事件(中)：每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算1. A二B(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.2. A U B(和事件)事件A与B至少有一个发生

2、.3. AA B=AB(积事件)事件A与B同时发生.4. A- B(差事件)事件A发生而B不发生.5. AB=G (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6. AB=且A U B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生.B=A, A=B .运算规则交换律 结合律 分配律 德？摩根律 au b = An BAB= -u B3 .概率的定义与性质1 .定义 对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性P(A) 0 ; (2)归一性或规范性P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件 Ai,A2, (A iAj=

3、。, i?j, i,j=1,2,),P(AiU A2U)=P( Ai)+P(A2)+2 .性质P(9) = 0 ,注意：A为不可能事件( x P(A)=O .(2)有限可加性对于n个两两互不相容的事件 Ai,A2,A n ,P(AlUA2UU A n)=P(Al)+P(A2)+ +P(A n)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若 A = B,则 P(A) P(B), P(B- A)=P(B)- P(A).(4)对于任一事件 A, P(A) 0).2 .乘法定理P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)0)； P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)0).P(A1A2 A

4、 n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|，A2) P(A n|,A2 A n-1) (n2, P(A1A2 A n-1) 03 . B1,B2,B n 是样本空间 S 的一个划分(BiBj= Mi - j,i,j=1,2,n, B U B? U U B n=S)，则当P(B i)0叱有概率公式当 P(A)0, P(B i)0 时，有学习资料6 .事件的独立性1 .两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时，称A,B为相互独立的事件.两个事件A,B相互独立=P(B)= P (B|A).(2)普A与B, A与B,A与B,，与B中有一对相互独立，则另外三对也相互独立2 .E个事件

5、A,B,C 满足 P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称 A,B,C 三Si:件两两相互独立.若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立3 .n个事件Ai,A2,A n,如果对任意k (1kwn),任意1 wiii2V弋k0n.有P(AhAi2A)= P(Aii P(Ai2 尸 PIA”),则称这 n个事件 Ai,A2,A n相互独立.第二章随机变量及其概率分布1 .随机变量及其分布函数1 .在随机试验E的样本空间S=e上定义的单彳1实值函数 X=X (e)称为随机变量.2 .随机变量

6、X的分布函数F(x)=PXx , x是任意实数.其性质为：(1)0 F(x) 1-制=0,F( 8)=1. (2)F(x)单调不减，即若 XiX2，则 F(xi) F(x(3)F(x)右连续，即 F(x+0)=F(x).(4)Px1X X2=F(X2)-F(x“.2 .离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1 .离散型随机变量的分布律PX= x k= p k (k=1,2,)也可以列表表示.其性质为：(1)非负性0wPkW1 ; (2)归一性pk = 1 .k =12 .离散型随机变量的分布函数F(x)=工Pk为阶梯函数，它在x=Xk (k=1,2，)处具有跳跃点，Xk-x其

7、跳跃值为p k=PX=x k.3 .三种重要的离散型随机变量的分布(1)X(0-1)分布 PX=1= p ,PX=0=1 p (0p1).n、(2)Xb(n,p)参数为 n,p 的二项分布 PX=k=pk(1 - p)n k(k=0,1,2, ,n) (0p0)k!3 .连续型随机变量1 .定义 如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)= Lf(tdt,-s x 0 ;(2)归一性 邑 f(x)dx=1 ; Px 1X 0(2)X服从参数为时勺指数分布.f (x)= e 什 (60).I 0 右 x M 0d(x)21C.-2一一二 0.(3)XN (卜尸)

8、参数为巴。的正态分布 f (x) = , e 2b-gxg2 二特别，口=0,仃2 =1时，称X服从标准正态分布，记为XN (0,1)，其概率密度2 -21(x) 一2二, 一、1 -Le 2 ,标准正态分布函数 (x) = C笛e 2dt ,(-x)=1-(x).2-若 XN (俨产2),则 Z= N (0,1), PxiZ J= PZ-Z o)= P|Z卜Z 0/2= 则点Z a,- Z a, Z区2分别称为标准正态分布的上，下, 双侧口分位点.注意：(Z )=1- , Z 1- 0= - Z .4 .随机变量X的函数Y= g (X)的分布1 .离散型随机变量的函数Xx ixx kp kP

9、 1P2P kY=g(X)g(xi) g(x2) g(x k) 若g(x k) (k=1,2,)的值全不相等，则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k) (k=1,2,)的值有相等的，则应将相等的值的概率相加，才能得到Y=g(X)的分布律.2 .连续型随机变量的函数若X的概率密度为fx(x)，则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法：(1)分布函数法 先求Y的分布函数Fy(y户PYWy=Pg(X) wy= L /vJX(xdx k k y其中Ak(y)是与g(X)0 (或g / (x)0 )，则Y=g (X)是连续型随机变量 淇概率密度为fY(y)=；fX，hyY 、0其它

10、其中 h(y)是 g(x)的反函数,= min (g (-),g (叼)P= max (g H),g g).如果 f (x)在有限区间a,b以外等于零，则 cc= min (g (a),g (b) P= max (g (a),g (b).第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1 .定义 若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量，则由它们所组成的向量(X,Y)称为 二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y二元函数F(x,y)=PX Wx,YWy称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.2 .分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.(2)0F(x,y)1

11、 , F(x,-8)=0, F(-00,y)=0, F(-笛)=0, F(qo,qo)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的，即F(x+0,y户F(x,y),F(x,y+0)= F(x,y).(4)对于任意实数x ix 2 , y iy 2Px ixx 2 , y iYy 2= F(x2,y2)- F(x2,yi)- F(xi,y2)+ F(xi,yi)2 .二维离散型随机变量及其联合分布律1 .定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i,y j) (i ,j =1,2,)称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称PX= x i,Y= y j = p i j为(X,

12、Y)的联合分布律.也可列表表示.2 .性质(1)非负性0Wp i j0 . (2)归一性(3)若 f (x,y)在点(x,y)连续，则 f(x,y) = x y(4)若G为xoy平面上一个区域，则P(x, y) G=4 .边缘分布FX (x) = PXx , YE = F (x 产).Fy (y) = PX 8, Y0,则称二包,p*为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律.同样，对于固定的i,若PX=xi0,则称PY=yj|X=x i _ PX = X：Y = yj _ 包PX =x)Pi.为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.第四章一.数学期望和方差的定义随机变量X随机变量的数字特征

13、数学期望(均值)E(X)方差 D(X)=EX-E(X) 2离散型随机变量分布律 PX=x i= pi ( i =1,2,)工xi pi (级数绝对收敛)i =1一为 E(X)12ri =1连续型随机变量概率密度f (x)QOLmxnxRx(积分绝对收敛)- E(X)2 f(x)dx(积分绝对收敛).Jg(x)f (x)dx(积分绝对收敛)=E(X2)-E(X) 2(级数绝对收敛)qQ函数数学期望E(Y户Eg(X) Z g( xi)pi (级数绝对收敛) i =1标准差 a(X)= VD(X).二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时,E(c) = c , E(cX) = cE(X) ,

14、 D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X).2. X,Y为任意随机变量时,E (X 士 Y)=E(X) 士 E(Y).D(X 士 Y)=D(X)+D(Y).3. X 与 Y 相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y),4. D(X) = 0 B PX = C=1 为常数.3 .X ()4 .X U(a,b)5 .X服从参数为时勺指数分布6 .X N ( , -2)四.矩的概念随机变量X的k阶(原点)矩E(X k )随机变量X的k阶中心矩EX-E(X) k三.六种重要分布的数学期望和方差1 .X (0-1)分布 PX=1= p (0p1)2 .X b (n,p) (0p1)E(X)

15、D(X)PP (1- P)n Pn p (1- p)九九(a+b)/2(b-a) 2/12u/。2k=1,2,随机变量X和Y的k+l阶混合矩E(X kY l)l=1,2,随机变量X和Y的k+l阶混合中心矩EX-E(X) k Y-E(Y) l 第六章样本和抽样分布一i .基本概念总体X即随机变量X ;样本Xi ,X2，,X n是与总体同分布且相互独立的随机变量；样本值Xi ,X2,x n为实数;n是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数汝口:nn一 2样本标准差S1 nk(Xj - X)k( k=1,2,)n i=1样本均值X = 1 Xi样本方差S2 =工(X i - X)n i

16、 =1n - 1i =i1 n样本k阶矩Ak = Xik( k=1,2,) 样本k阶中心矩Bk n i=1二.抽样分布即统计量的分布1.X的分布 不论总体X服从什么分布，E (X ) = E(X) , D ( X ) = D(X) / n .特别，若 X N (%。2 )，则 X N 伍，。2 /n).n2.72分布 (1)定义 若XN (0,1)，则Y = Xi2 72(n)自由度为n的72分布.1 =1(2)性质 若 Y 工2(n),则 E(Y) = n , D(Y) = 2n .若 丫 72(%) 丫2 4n力，则 丫1+丫2 72(、+ 出).若X N (巴。2),则(n T2)S(n

17、-1),且X与S2相互独立.二(3)分位点 若Y ?2(n),0V a 1，则满足PY2(n)卜 PY J (n): P(Y 2/2(n) (YJ.(n):的点q(n),?12v(n)J京2(n)和“1(n)分别称为分布的上、下、双侧口分位点.3. t分布定义 若XN (0,1 ),Y，2(n),且X,Y相互独立，则t= -7X= t(n)自由度为n的t分布. Y n(2)性质ns时,t分布的极限为标准正态分布.XN ”产2 )时,XS nt (n-1)两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X N 91产12)且 62=仃22=仃2 X1 ,X2 , ,X n1S12YN (2,122 )

18、Y1 ,丫2 , ,Y n2S22(X Y) ( 1 - 2)t (。+m-2),其中SW2.(n1 - 1)S1(n2 -1)S2Swn2 - 2(3)分位点 若tt (n) ,0 ta(n)=Ptt0f/2(n) =的点L（n）,-L（n）,士L/2（n）分别称t分布的上、下、双侧a分位点.注意：t 1- ：. (n) = - t (n).4.F分布（1）定义 若U72（n1）, V72（血），且U,V相互独立，则F =U-n1V n2F（ni,n 2）自由度为(ni,n2)的F分布.S2 Sn(2)性质(条件同 3.(2)S12；F(n1-1,n2-1)二 1 二 2(3)分位点若F F

19、(n1,n2) ,0 1,则满足PF F： (nhn2) = PF Fj： (.2)二 P(F F /2(n1,n2) (FF-底力必)二的点Fn仃nzbF1v（地，门2）1我/2（叫，门2）和F1y/2（叫，叫）分别称为F分布的上、下、双侧a分位点.注息：F1-： (n1，n2)-F： (n2.n1)第七章参数估计一.点估计总体X的分布中有k个待估参数Qi,日2,，bk.X1 ,X2 , ,X n是X的一个样本,X1 ,X2, ,x n是样本值.1 .矩估计法匕=时画也，染)0=日1”1尸2,kk)先求总体矩J匕=卜2(3,日2，般)解此方程组,得到,2 =62”2，kk)，产苫汽(甘静2厂

20、演)麻二设(玛，芍,。；葭)小Ar- 711( A1，A2，Ak )A以样本矩Al取代总体矩N 1( 1=1,2,k)得到矩估计量e2 = 92(A1，A2，Ak)，I八9k = %(Ai，A2，- ,Ak)若代入样本值则得到矩估计值.2 .最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为P(X, 01,62,，g),称样本Xi ,X2,X n的联n合分布L(3,%,，)= n p(xi,3,%,，)为似然函数.取使似然函数达到最大值的i =1A/；，6；，称为参数出，吃,孰的最大似然估计值，代入样本得到最大似然估计量.若L(&, 02,为)关于a, 82,8k可微，则一般可由似然方程组=0或对数似然方程组甘=。(i =1,2,，k)求出最大似然估计.3 .估计量的标准(1)A.A.(2)无偏性 若E( Q )=e,则估计量e称为参数9的无偏估计量.不论总体X服从什么分布，E (X )= E(X) , E(S2)=D(X), E(Ak)fk=E(Xk),即样本均值X ,样本方差S2,样本k阶矩Ak分别 是总体均值E(X),方差D(X)，总体k阶矩/ 的无偏估计,