函数极值的定义

1、一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)( xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x3 函数的极值与最大函数的极值与最大(小小)值值个个极极小小值值. .) )是是函函数数f f( (x x) )的的一一f f( (x x就就称称) )均均成成立立, ,f f( (x xf f( (x x) )外外, ,除除了了点点x x任任何何点点x x, ,对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域, ,如如果果存存在在着着点点x x个个极极大大值值; ;) )是是函函数数f f( (x x) )的的一一就就称称f f( (x x均均成成立立, ,) )f f( (x xf

2、f( (x x) )外外, ,除除了了点点x xx x, ,对对于于这这邻邻域域内内的的任任何何点点, ,的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点x xb b) )内内的的一一个个点点, ,( (a a, ,是是x xb b) )内内有有定定义义, ,( (a a, ,设设函函数数f f( (x x) )在在区区间间0 00 00 00 00 00 00 00 00 0定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值极值点点.二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.的的稳稳

3、定定点点或或驻驻点点f f( (x x) )做做函函数数的的实实根根) )叫叫0 0( (x x) )f f程程使使导导数数为为零零的的点点( (即即方方注意注意:不不一一定定是是极极值值点点. .但但函函数数的的驻驻点点却却必必定定是是它它的的驻驻点点, ,的的极极值值点点f f( (x x) )可可导导函函数数例如例如,3xy ,00 xy定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求求导导数数;0)()2(的的根根求求驻驻点点，即即方方程程 xf;,)()3(

4、判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf .)4(求求极极值值(不是极值点情形不是极值点情形)例例 1 1解解.的的极极值值x x5 5) )( (2 2x xf f( (x x) )求求函函数数3 32 23 33 31 13 32 2x x1 1x x3 31010 x x3 31010 x x3 31010(x)(x)f f需需作作讨讨论论值值点点, ,这这两两点点是是否否是是极极是是不不可可导导点点, ,0 0 x x1 1, ,x x得得稳稳定定点点0 0, ,f f1 1令, 现列表讨论现列表讨论x)1,( ) )(1,(1,)1,0()( xf )(

5、xf 0 03 3f f( (1 1) )极极小小值值0 0f f( (0 0) )极极大大值值0不存在不存在1-30123012345定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所所以以，函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 同理可证同理可证(2).33.544.555.566.57105110115120125130135140145150155x x4 43 32

6、2x xf f( (x x) )2 2 例例 3 求函数求函数 的极值点与极值。的极值点与极值。 对函数求导对函数求导, 找出稳定点和不可导点找出稳定点和不可导点2 23 32 2x x432432- -2x2xx x4324322x2x(x)(x)f f解得解得, 稳定点稳定点 x=60 06 6| |x x8 86 64 42 2( (6 6) )f f6 6x x3 3 所以所以 , X=6 为极小点为极小点, 极小值极小值 f(6)=108例例 3 3解解.)2(1)(32的的极极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在时时当当xfx 时时，

7、当当2 x;0)( xf时时，当当2 x.0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点, ,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.MThTh 6.12)( 6.12)(充分条件充分条件 ) 设设0 0) )( (x xf f) )( (x xf f) )( (x xf f0 01 1) )( (n n0 00 0 而而0 0) )( (x xf f0 0( (n n) )则则 i)n为奇数为奇数时时, 0 x不是极不是极值值点点;n为为偶数偶数时时, 0 x是极是极值值点点. 且且0 0) )(

8、(x xf f0 0( (n n) )对应对应极小极小; 0 0) )( (x xf f0 0( (n n) )对应对应极大极大.3 34 41 1) )( (x xx xf f( (x x) ) 的极值的极值例例 求函数求函数 ii)4 47 71 1, ,0 0, ,x x: :稳稳定定点点为为4 4) )( (7 7x x1 1) )( (x xx x( (x x) )f f 解解2 23 30 0f f( (0 0) )极极大大值值为为函函数数的的极极大大点点, ,0 0 x x0 02 24 4| |1 1) )1 15 5x x4 45 5x x2 24 4( (3 35 5x x

9、( (x x) )f f不不是是极极值值点点1 1x x0 0( (1 1) )f f0 0, ,( (0 0) )f f4 4) )3 30 0 x x6 60 0 x x6 6x x( (3 35 5x x( (x x) )f f件件判判断断两两点点需需使使用用第第三三充充分分条条1 10 0, ,x x8 82 23 35 54 43 36 69 91 12 2) )4 47 7f f( (是是极极小小点点, ,4 47 7x x0 0) )4 47 7( (f f0 0, ,( (1 1) )f f( (0 0) )f f2 2) )8 8x x1 1) )( (7 7x x( (x

10、x6 6x x( (x x) )f f0 0 x x2 23 3( (4 4) )2 23 32 22 2 该定理仍然是判定极值的充分条件该定理仍然是判定极值的充分条件, 例如例如无无法法用用充充分分条条件件3 3判判断断所所以以, ,2 2, ,1 1, ,k k0 0, ,f f 但但极极小小值值0 0处处 0 0它它在在x x显显然然, ,0 0 x x, ,0 00 0 x x, ,e ef f( (x x) )( (k k) )x x1 12 2有极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.

11、 .稳定和不可导点统称为稳定和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在临界点取得函数的极值必在临界点取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;第三充分条件第三充分条件(注意使用条件注意使用条件)三、三、小结小结思考题思考题: 下命题正确吗？下命题正确吗？不正确不正确例例 0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时时 ， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于于 是是0 x为为)( xf的的 极极 小小 值值 点点当当0 x时时 ，当当0 x时时 ，,0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因 而而)( xf在在0 x

12、的的 两两 侧侧 都都 不不 单单 调调 .故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 二二 最大值、最小值问题最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能是怎样才能是2用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性论问题的两个方面：最值的存在性 ；最值的求法。；最值

13、的求法。 先看下面图像先看下面图像 ab由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在稳定点处，不可导点处， 也可能发生在区间的端点。 因此, 函数的最大最小值点应从： 稳定点, 不可导点, 端点 中去寻找， 这三种点中，函数取最大者为函数的最大点，取最小者为函数的最小值点，因此求解最大最小点的步骤应为: 步骤步骤: :1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; )(),(,),(),(,),(),(max11(min)max(min)bfdfdfcfcfafynm 注意:如果区间内只有一个极值, 则这个极值就是最值.(最大

14、值或最小值)()6 (2 )(1)fxxx解解3 32 2例例 求求 函函 数数y y = = 2 2 x x+ + 3 3 x x- - 1 1 2 2 x x + + 1 1 4 4 的的 在在 - - 3 3 , ,4 4 上上 的的 最最 大大 值值 与与 最最 小小 值值 . .得得解解方方程程,0)( xf.1,221 xx )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f比较函数在稳定点和区间端点处的函数值：函数的最大点是 4，最大值是 142；函数的最小点是 1； 最小值是 7-3-2-101234050100150例 4 求函数 |1292|)(23xxxxf

15、在区间 212,41上的最大与最小值. 解：此函数是绝对值函数,且0) 0 (f, 所以 x=0 是角点, 不可导点，再求函数的稳定点 f=2*x3-9*x2+12*x; dfdx=diff(f) dfdx = 6*x2-18*x+12 s=6*x2-18*x+12=0; z=solve(s) z = 1 2 稳定点为 x=1, 和x=2 计算稳定点, 不可导点, 端点的函数值, 决定出最大最小值 x=-0.25,0,1,2,2.5; f=abs(2*x.3-9*x.2+12*x) -0.500.511.522.500.511.522.533.544.55 例例 敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟的速度向正北逃窜，分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击速度为处向正