高考试题解析数学理分项版之专题3函数与导数

1、2011年高考试题解析数学（理科）分项版03函数与导数一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科5)对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要【答案】B【解析】由奇函数定义,容易得选项B正确.2.(2011年高考山东卷理科9)函数的图象大致是【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.3. (2011年高考山东卷理科10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,则函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为（A）6 （B）7 （

2、C）8 （D）9【答案】B【解析】因为当时,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,故函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为7个,选B.4(2011年高考安徽卷理科3)设是定义在上的奇函数，当时，则 （A） (B) （）（）6(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）2的x的取值范围是（ ） （A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）答案： D解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.7(2011年高考辽宁卷理科11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意xR，f(x)2，则f（x）2x+4的解集为（ ）（A）（-

3、1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）答案： B解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g(x)= f(x)-2.因为对任意，f（x）2，所以对任意，g(x)0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)0,即f(x)2x+4的解集为(-1，+).8(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2【答案】 B【解析】：当，故选B9.(2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）A B C D 【答案】B解析：由偶

4、函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。10.(2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A） （B）4 （C） （D）6【答案】C解析：因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选C点评：本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。11.(2011年高考全国新课标卷理科12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C

5、) 6 (D)813.(2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD.【答案】B【解析】由题意知,若,即时,;当,即或时,要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.14.(2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为 A. B. C. D.【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.15.(2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为 A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,原函数的定义域为

6、,所以由可得,解得,故选C.16.(2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为A.B. 1C.D.答案：D解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=。故选D评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.17.(2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为A.1B. C.D.答案：D解析：将代入中，得到点的坐标分别为，从而对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选D评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.18(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数

7、，则下列结论恒成立的是（ ） A+|g(x)|是偶函数 B-|g(x)|是奇函数C| +g(x)是偶函数 D|- g(x)是奇函数【解析】A.设，所以是偶函数，所以选A.19(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则A.2B.C.D.答案：B解析：因为则，联立可得，又因为，故a=2.因为则，所以选B.20.(2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时

8、，铯137含量的变化率是10ln2（太贝克/年），则M(60)=A.5太贝克B.75ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克答案：.D解析：因为，故其变化率为，又由故，则，所以选D.21(2011年高考陕西卷理科3)设函数满足，则的图像可能是 【答案】B【解析】：由知为偶函数，由知周期为2。故选B22(2011年高考陕西卷理科6)函数在内 （A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 （C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点【答案】B【解析】：令，则它们的图像如图故选B23.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是（A） (B)(C) (D) 解析：选D。用图像

9、法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有D26(2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1【答案】A【解析】： ，切线方程为由则 故选A27(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)【答案】A【解析】 故选A28(2011年高考福建卷理科5)（e2+2x）dx等于A1 Be-1 Ce De+1【答案】C【解析】由定积分的定义容易求得答案

10、.29(2011年高考福建卷理科9)对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a,bR,cZ）,选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是A4和6 B3和1 C2和4 D1和2【答案】D30(2011年高考上海卷理科16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）ABCD【答案】A【解析】由偶函数,排除B;由减函数,又排除B、D，故选A.二、填空题:1.(2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2a3b4时，函数的零点.【答案】2【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,此时对应直线上的点的横坐标;

11、当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.2(2011年高考浙江卷理科11)若函数为偶函数，则实数。【答案】 0【解析】：，则3.(2011年高考广东卷理科12)函数在处取得极小值.【解析】2.得。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。4(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则【答案】1【解析】5.(2011年高考四川卷理科13)计算.答案：解析：.6.(2011年高考四川卷理科16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题： 函数=（xR）是单函数； 若为单函数， 若f：AB为单函数，则对于任意b

12、B，它至多有一个原象； 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）答案：解析：，但，不正确；与“若A，且时总有”等价的命题是“若A，且时总有，故正确.函数在某个区间上具有单调性，但f（x）在整个定义域不一定是单函数，故错.7.(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是_【答案】【解析】考察函数性质，容易题。因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.8.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_【答案】4【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以

13、及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.9(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数，函数，若，则a的值为_【答案】【解析】因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.10(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_【答案】（0，1）【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.11(2011年高考上海卷理科1)函数的反函数为 。【答案】【解析】设,则,故.12(2011年高考上海卷理科

14、13)设是定义在上，以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。【答案】【解析】本小题考查函数的性质.三、解答题:1.(2011年高考山东卷理科21)（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.【解析】（I）设容器的容积为V，由题意知故由于因此所以建造费用因此 （I

15、I）由（I）得由于当令所以 （1）当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点。 （2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时2(2011年高考浙江卷理科22)（本题满分14分）设函数（）若为的极值点，求实数（）求实数的取值范围，使得对任意恒有成立注：为自然对数的底数【解析】（）因为所以因为为的极值点所以解得或经检验，符合题意，所以或（）当时， 对于任意实数，恒有 成立当 时，由题意，首先有 解得 由（）知 令 则，且又在 内单调递增，所以函数 在内有唯一零点，记此零点为 ，则，从而，当 时， 当 时当 时 即 在内单调递增，在内

16、单调递减，在 内单调递增。所以要使对恒成立，只要成立，由，知 将（3）代入（1）得又。注意到函数在内单调递增，故再由（3）以及函数在 内单调递增，可得 ，由（2）解得 ，所以综上，的取值范围为.3(2011年高考辽宁卷理科21) (本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.(I)讨论f（x）的单调性；（II）设a0，证明：当0x时，f（+x）f（-x）；（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（x0）0.解析：(I)f(x)的定义域为(0,+),若a0，所以f(x)在(0,+)单调增加；若a0，则由得，且当时，当时，所

17、以f(x)在单调增加，在单调减少.（II）设，则，4(2011年高考安徽卷理科16) (本小题满分12分)设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。【解析】：（1） 当时，由得解得由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：x+0-0+极大值极小值所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。（2） 因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数恒成立，即在上恒成立，因此，结合解得【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两

18、侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（）若函数的导数（），则函数在区间（a,b）上单调递增（递减）若函数的导数恒成立，则函数在区间（a,b）上为常数函数。5.(2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB/OA， MAAB = MBBA，M点的轨迹为曲线C。（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值

19、。分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。解：（）设动点M的坐标为，则依题意：，由此可得，即曲线C的方程为：()设点是曲线C上任一点，又因为，所以，直线L的斜率，其直线方程为：即，所以原点到该直线的距离，又因为，所以，当且仅当时，所求的距离最小为2.点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。6.(2011年高考全国新课标卷理科21)（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。分析：（1）

20、利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。解：（），由题意知：即（）由（）知，所以，设则，如果，由知，当时，而故，由当得：从而，当时，即如果，则当，时，而；得：与题设矛盾；如果，那么，因为而，时，由得：与题设矛盾； 综合以上情况可得：点评：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思想。要深入理解和把握并进行拓展。7.(2011年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调区间；（）当时，证明：存在，使；（）若存在均属于区间的，且，使，证明【解析】本小题主要考查导

21、数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:,令,解得.当变化时,的变化情况如下表:+0-极大值所以的单调递增区间是;的单调递减区间是.（）证明: 当时，.由（）知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令,由在(0,2)内单调递增,故,即,取,则,所以存在，使.（）证明:由及（）的结论知,从而在上的最小值为.又由,知.故,即,从而.8(2011年高考江西卷理科19) (本小题满分12分)设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值解析：（1），因为函数

22、在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得（2）由得，又，所以，所以函数在上单调增，在上单调减，又，因为，所以，所以，所以最大值为本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等9. (2011年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）如图6，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为（），雨速沿移动方向的分速度为（）.移动时单位时间内的淋雨量包括量部分：(1)或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为.记为移动过程中的总淋雨量.当移动距离，面积时，写出的表达式；设，试根据的不同取值

23、范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.解：由题意知，移动时单位时间内的淋雨量为，故由知， 当时，当时，故（1）当时，是关于的减函数，故当时，（2）当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数. 故当时，评析：本大题主要以生活化、物理性背景着重考查学生的阅读理解能力和抽象概括能力以及数学建模、解模的能力.10. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有解：由知，而且，则为的一个零点，且在内由零点，因此至少有两个零点.解法1 记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，又因为，则在内有零点.所以在上

24、有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，所以，当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.解法2 由，记则当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.记的正零点为，即（1）当时，由得，而，因此.知因此，当时，成立故对任意的成立综上所述，存在常数使得对于任意的都有评析：本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.11. (2011年高考湖北卷理科17)

25、（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.()当时，求函数的表达式；()当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（）由题意：当时，；当时，设

26、再由已知得，解得故函数的表达式为（）依题意并由（）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立.所以，当时，在区间20,200上取得最大值.综上，当时，在区间0,200上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.12. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）()已知函数，求函数的最大值；()设均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 解析：（）的定义域为，令，解得，当时，在

27、（0，1）内是增函数；当时，在内是减函数；故函数在处取得最大值（）（1）由（）知，当时，有，即，从而有，得，求和得,即.（2）先证.令，则,于是由（1）得，即.再证.记，令，则，于是由（1）得.即，综合，（2）得证.13(2011年高考陕西卷理科19)（本小题满分12分）如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；，记点的坐标为（）（）试求与的关系（）（）求【解析】：（）设 ，由 得 点处切线方程为 ，由得（）（）由， ，得所以 ，于是14(2011年高考陕西卷理科21)（本小题满分14分）设函数定义在上，导函

28、数（）求 的单调区间的最小值；（）讨论 与 的大小关系；（）是否存在，使得 对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由。【解析】：（）由题设易知 ，令 得，当 时，故 是的单调减区间，当 时， 故 是的单调增区间，因此，是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为。即 ，故 ，与假设矛盾。不存在 使 对任意 成立。15(2011年高考重庆卷理科18)（本小题满分13分。（）小题6分（）小题7分。）设的导数满足其中常数.（）求曲线在点处的切线方程。（）设求函数的极值。解析：（）因，故，令，得，由已知，解得又令，得，由已知，解得因此，从而又因为，故曲线在点处的切线方程为

29、，即 （）由（）知，从而有，令，解得。当时，故在为减函数，当时，故在为增函数，当时，故在为减函数，从而函数在处取得极小值，在出取得极大值.16(2011年高考四川卷理科22) (本小题共l4分) 已知函数f(x)=x + , h(x)= (I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值； ()设aR，解关于x的方程log4 =1og2h(a-x)一log2h (4-x)； ()试比较与的大小.解析：（1），令，所以是其极小值点，极小值为.（2）；由即，即，方程可以变为，当，方程，；当，方程，；当时，方程有一个解；当方程无解.由已知得，设数列的前n项和为，且,从而有当，又对任

30、意的有，又因为，所以，故17(2011年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：【解析】：（） 故（）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率由（），当即有故于是即。故法二：所以是上凸函数，于是因此故综上：18.(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=c