17.3　勾股定理（第1课时）

1、八年级数学八年级数学上上 新课标新课标 冀教冀教 第十七章特殊三角形第十七章特殊三角形 学习新知学习新知检测反馈检测反馈17.3勾股定理勾股定理（第（第1课时）课时）下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观观察这两个图形察这两个图形,你有什么感想你有什么感想?观察思考观察思考1.画一个直角三角形画一个直角三角形,使直角边分别为使直角边分别为3 cm和和4 cm, 测量一下斜边是多少测量一下斜边是多少?2.画一个直

2、角边分别是画一个直角边分别是6 cm和和8 cm的直角三角形的直角三角形, 测量一下斜边是多少测量一下斜边是多少?3.画一个直角边分别是画一个直角边分别是5 cm和和12 cm的直角三角形的直角三角形, 测量一下斜边是多少测量一下斜边是多少?问题问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?学学 习习 新新 知知13 cm10 cm5 cm 如图所示如图所示,每个小正方形都是边长为每个小正方形都是边长为1的小正的小正方形方形,在所围成的在所围成的ABC中中,ACB=90.图中以图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少为边的正方形的面积分别是多少?这这

3、三个正方形的面积之间具有怎样的关系三个正方形的面积之间具有怎样的关系?问题问题:(1)以以AC为边的正方形的面积是为边的正方形的面积是; (2)以以BC为边的正方形的面积是为边的正方形的面积是; (3)以以AB为边的正方形的面积是为边的正方形的面积是; (4)三个正方形的面积之间关系三个正方形的面积之间关系 是是+=. 刚才我们接触到的是一般的直角三角形刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢?2AC2BC2AB2AC2BC2AB 如图所示的是用大小相同的两种颜色的正如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成

4、的地面示意图方形地砖铺成的地面示意图,ACB=90.分分别以别以AC,BC,AB为边的三个正方形为边的三个正方形(粗线标出粗线标出)的面积之间有怎样的关系的面积之间有怎样的关系? 以以AC,BC为边的正方形的面积都是为边的正方形的面积都是1 如图所示如图所示,在在ABC中中,ACB=90,请你猜请你猜想想:分别以分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若若具有这种关系具有这种关系,请用图中的请用图中的Rt ABC的边把这种的边把这种关系表示出来关系表示出来. 在直角三角形中在直角三角

5、形中,两条直角两条直角边的平方和等于斜边的平方边的平方和等于斜边的平方.如果用如果用a,b和和c分别表示直角三角形的两直角分别表示直角三角形的两直角边和斜边边和斜边,那么那么a2+b2=c2.我们通过举例得出勾股定理我们通过举例得出勾股定理,那么能不能设计那么能不能设计一种方案验证勾股定理呢一种方案验证勾股定理呢?组组1:准备四块直角边分别为准备四块直角边分别为a,b,斜边为斜边为c的直角的直角 三角形的纸板三角形的纸板,拼出如下图形拼出如下图形:组组2:我们也准备了四个直角三角形我们也准备了四个直角三角形,两条直角两条直角 边分别为边分别为a,b,斜边为斜边为c.组组3:我们准备了两个直角三

6、角形我们准备了两个直角三角形,两条直角边两条直角边 为为a,b,斜边为斜边为c.思考思考:(1)运用此定理的前提条件是什么运用此定理的前提条件是什么?(2)公式公式a2+b2=c2有哪些变形公式有哪些变形公式?(3)由由(2)知在直角三角形中知在直角三角形中,只要知道只要知道条条 边边,就可以利用就可以利用求出求出. (1)由勾股定理的基本形式由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些可以得到一些 变形关系式变形关系式,如如a2=c2-b2=(c+b)(c-b); b2=c2-a2=(c+a)(c-a).知识拓展知识拓展(2)在钝角三角形中在钝角三角形中,三角形三边长分别为三角形三边长分

7、别为a,b,c, 若若c为最大边长为最大边长,则有则有a2+b2c2.课堂小结课堂小结1.勾股定理勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为斜边为c,那么那么 a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方平方.2.勾股定理的变形公式勾股定理的变形公式 要求直角三角形中某一边的长度要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边就要知道其他两边 的长度的长度.222222,acbcaabbc 检测反馈检测反馈1.直角三角形直角三角形ABC的两直角边的两直角边BC=12,AC=16,则则 ABC的斜边的斜

8、边AB的长是的长是 () A.20B.10 C.9.A解析解析: :BC2=122=144,AC2=162=256, AB2=AC2+BC2=400=202,AB=20.故选故选A.2.下图中下图中,不能用来证明勾股定理的是不能用来证明勾股定理的是()D解析解析:A,B,C都可以利用图形面积得出都可以利用图形面积得出a,b,c的关系的关系,即可证明勾股定理即可证明勾股定理,故故A,B,C选项不符合题意选项不符合题意;D.不能利用图形面积证明勾股定理不能利用图形面积证明勾股定理, ,故此选项符合故此选项符合题意题意. .故选故选D.3.直角三角形两直角边的长是直角三角形两直角边的长是6和和8,则

9、周长与最短则周长与最短 边长的比是边长的比是() A.7 1 B.4 1 C.25 7 D.31 7B解析解析:利用勾股定理求出斜边的长为利用勾股定理求出斜边的长为 10,6+8+10=24,24 6=4 1.故选故选B.4.如图所示如图所示,在在ABC中中,AB=AC,AD是是ABC的的角平分线角平分线,若若BC=10,AD=12,则则AC=. 13解析解析: :根据等腰三角形根据等腰三角形“三线合一三线合一”, ,判断出判断出ADCADC为直角三角形为直角三角形, ,利用勾股定理即可求出利用勾股定理即可求出AC的长为的长为13.故填故填13.5.如图所示如图所示,已知在已知在RtABC中中

10、,ACB=90,AB=10,分别以分别以AC,BC为直径作半圆为直径作半圆,面积分别面积分别记为记为S1,S2,则则S1+S2的值等于的值等于. 解析解析: :根据半圆面积公式结合勾股定理根据半圆面积公式结合勾股定理, ,知知S S1 1+ +S S2 2等等于以斜边为直径的半圆面积于以斜边为直径的半圆面积. .所以所以S1+S2= AB2=12.5.故填故填12.5.1812.56.如图所示如图所示,大正方形的面积是大正方形的面积是,另一种另一种方法计算大正方形的面积是方法计算大正方形的面积是,两种结果两种结果相等相等,推得推得. 解析解析: :大正方形的面积是大正方形的面积是(a+b)2.

11、另一种计算方法另一种计算方法是是: :4 ab+c2=c2+2ab.即即(a+b)2=4 ab+c2,化简得化简得a2+b2=c2.(a+b)22ab+c2a2+b2=c21212 7.剪若干个大小、形状完全相同的直角三角形剪若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三三边长分别记为边长分别记为a,b,c(如图如图(1)所示所示),分别用分别用4张这样的直角张这样的直角三角形纸片拼成如图三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状所示的形状,图图(2)中的两个小中的两个小正方形的面积正方形的面积S2,S3与图与图(3)中小正方形的面积中小正方形的面积S1有什么有什么关系关系?你能得到你能得到a,b,c

12、之间有什么关系之间有什么关系?解析解析: :根据已知图形形状得出面积关系根据已知图形形状得出面积关系, ,进一步证明勾股进一步证明勾股 定理即可求解定理即可求解. .解解:S2=b2, S3=a2,S1=(a+b)2-4 ab=a2+b2,S2+S3=S1,S1=c2,a2+b2=c2.12AD= =40(m) 8.如图如图(1)所示所示,小明家有一块钝角三角形菜地小明家有一块钝角三角形菜地,量得其中的量得其中的两边长分别为两边长分别为AC=50 m,BC=40 m,第三边第三边AB上的高为上的高为30 m,请你请你帮助小明计算这块菜地的面积帮助小明计算这块菜地的面积.(结果保留根号结果保留根号) 解析解析: :过点过点C C作作CDAB的延长线于的延长线于D点点,根据勾股定理和三角形的根据勾股定理和三角形的面积公式计算即可面积公式计算即可. .解解:如图如图(2)所示所示,过点过点C作