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1、矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式4.34.3引入引入行列式乘法规则行列式乘法规则11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb其中其中1 12 2ijijijin njca ba ba b 11121212221212,nnnnnnccccccD Dccc 则则1,nikkjka b ABAB,1,2,i jn 定理定理1 设设 为数域为数域 上的上的 级矩阵，级矩阵，则则,A BPn.ABA B 1212| |.ttA AAAAA 推广推广 为数域为数域 上的上的 级方阵，则级方阵，则12,tA AAPn一、矩阵乘积的行

2、列式一、矩阵乘积的行列式定义定义0A A若若 ，称，称 为为退化的退化的若若 ，则称，则称 为为非退化的非退化的；0A A注注： 级方阵级方阵 非退化非退化 ；( )0R AnAAn( )0.R AnA 级方阵级方阵 退化退化An设设 为数域为数域 上的上的 级方阵，级方阵， APn二、非退化矩阵二、非退化矩阵推论推论 设设 为数域为数域 上的上的 级矩阵，级矩阵，则则,A BPn,ABA B非退化非退化 都非退化都非退化证：证：ABAB退化退化 或或 退化退化 0ABAB 非退化非退化0A B 00AB 且且都非退化都非退化 . .,A B三、矩阵乘积的秩三、矩阵乘积的秩定理定理2 设设 为

3、数域为数域 上的矩阵，上的矩阵，则则,n mm sAB P ()min(),() .R ABR A R B 证：证： 令令(),(),().ij n mij m sij n sAaBbABCc 设设 的行向量组为的行向量组为1,mBBB1,.nCCC的行向量组为的行向量组为则向量组合则向量组合1122iiimma Ba Ba B 1 112 2111 12 2,iiim misisim msa ba ba ba ba ba b 即有即有12111,nnnikkikkikkskkka ba ba b 1,2,in 1122iiimma Ba Ba B 12,iiisccc ,iC 故故 可由可由 线性表示线性表示. .12,nC CC12,mB BB所以所以 ()()R CR B ()().R CR A 同理，同理， ()min( ),( ) .R ABR A R B 定理定理2 设设 为数域为数域 上的矩阵，上的矩阵，则则,n mm sAB P ()min(),() .R ABR A R B 推广推广 如果如果 ，则，则12tAA AA 12()min (),(),().tR AR AR AR A ,0,AAEA 证明：证明：例例1设设A为为n级方阵，且级方阵，且0.AE证：证：AE AAA ()A EA A

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