A全等三角形之手拉手模型倍长中线-截长补短法

1、要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：(ABDA AEC( 2)Za +Z BOC=180(3) OA平分/ BOC变形：例1.如图在直线ABC的同(1) ABE DBC AE DCD与BCE，连结AE与CD，证明cAE与DC之间的夹角为60展ABD与(4) AGBDFB(5) EGBCFBBH平分 AHC(7)GF /AC变式精练1：如图两个等边三角形变式精练CD，证明(1)CBCE，连结 AE 与 CD ,证明(1) ABE DBC(2) AE DC.(3) AE与DC之间的夹角为60(4) AE与DC的交点设为H ,BH平分 AHC2

2、：如图两个等边三角形 ABD与BCE，连结AE与ABE DBC(2) AE DC AE与DC之间的夹角为60(4) AE与DC的交点设为H , BH平分 AHC例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG,CE , 者相交于点H问：(1) ADGCDE是否成立(2) AG是否与CE相等(3) AG与CE之间的夹角为多少度(4) HD是否平分 AHE例3:如图两个等腰直角三角形 ADC与EDG，连结AG,CE,二者相交于点H问：(2)(3)(4)(1) ADG CDE是否成立AG是否与CE相等AG与CE之间的夹角为多少度HD是否平分 AHE例4：两个等腰三角形 ABD与BCE，其中ABBD

3、 ,CB EB, ABD CBE ,连结AE 与 CD，问：(2)(3)(4)(1) ABE DBC是否成立AE是否与CD相等AE与CD之间的夹角为多少度HB是否平分 AHC例5:如图，点.C在同一条直线上，分别以 线AC的同侧作等边三角形 ABD、 BCE.与DC所在直线相交于F,连接FB.判断线段 间的数量关系，并证明你的结论。【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都A,E,D,同在一条直线上，且角 EBD=62°，求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类AB、BC为边在直 连接 AE、DC, AEFB、FE 与 FC 之考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑

4、倍长中 长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转 的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角 移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 ABC中方式1:延长AD到EAAD是BC边中线使DE=AD方式2:间接倍长B作CF丄AD于 F,延长MD到N,作BE丄AD的延长线于 E使DN=MP连接BE连接【例1】已知：ABC中，AM是中线.DCD'E求证:线，倍 化的目 形、平是等边三角形，点连接BE1(AB AC).2则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么BF，连接 CE、CF，AM【练1】在AABC中，AB 5，AC 9，【练2】如图所示，在 ABC

5、的AB边上取两点E、F，使AE求证:AC BC EC FC .【练3】如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F线上的一点，且 BD=CF，连结DF交BC于E.求证：DE=EF(倍长中 短)是AC延长线、截长补【例2】 如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F , AF EF，求证：AC BE .【练1】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC，延长BE 交AC于F，求证：AF EF【练2】如图，在 ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为/BAC的平分线，过E作 AD的平行线，交AB于F,

6、交CA的延长线于G.求证：BF=CG.&【练3】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG CF，求证：AD为ABC的角平分线.【练4】如图所示，已知 ABC中，AD平分BAC，E、F分别在 BD、AD 上.DE CD， EF AC .1_t十、工 _ e5EDC求证：EF II AB【例3】已知AM为ABC的中线，AMB， AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F .求证： BE CF EF .【练1】在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE 90 .若 AD 3， BE 4，则线

7、段DE的长度为.【练2】如图， ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD丄AC,则/ BAC=.【练3】在 ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD ND .（1）若A 90，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形若能，该三角形是 锐角三角形、直角三角形或钝角三角形1（2）如果 BM2 CN2 DM 2 DN2，求证 AD2 - AB2 AC2 .【例4】如图，等腰直角 ABC与等腰直角 BDE，P为CE中点，连接PA、PD .探究PA、PD的关系（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q .探究AP与E

8、F的数量关系和位置关系（证角相等方法）【练2】如图，在 ABC中，CD AB， BAD BDA，AE是BD边的中线.求证：AC 2AE 【例5】如图所示，在ABC中，AB AC，延长AB到D，使BD AB，E为AB的中点，连接CE、 CD，求证 CD 2EC .【练1】已知 ABC中，AB AC，BD为AB的延长线，且BD AB，CE为ABC的AB边上的中 线.求证：CD 2CE【练2】如图,CB、CD分别是钝角 AEC和锐角 ABC中线，且 AC=AB, / ACB= / ABC.求证 CE=2CD.【例16】如图，两个正方形ABDE和ACGF， 中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的

9、数量关系和位置关系（倍长中线与手拉 手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.试说明线段ME与MC数量关系和关系如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转 度数（90 ），其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不正确，请说明理由全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方 法（把长边截成两个短边或把两个短边放到一起； 明要求角的度数，进而得到角相等，【例10】如图所示， ABC中， C出现角平分线进行翻折；有具体角的

10、度数说AB=AC+CD o全等)900, B45°，AD平分BAC交BC于D。求证:B 60°，【练1】如图所示，在 ABC中，线AD、CE相交于点0。求证：AE+CD=ACABC的角平分【练2】已知 ABC中，A 60，BD、CE分别平分 ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关 系，并加以证明.【练2】如图，在四边形ABCD中,AD / BC，AE平分/ BAD交 DC 于点 E,连接 BE,且 AE 丄BE,求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图，在 ABC中，/ A=90°，AB=AC，BD是 / ABC的平分线。求证：BC=

11、AB+AD.【练4】点M， N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC， / BDC=120°，Z MDN=60 °，求证 MN=MB+NC .【例11】已知如图所示，在 ABC中,AD是角平分线，且 AC=AB+BD,试说明/ B=2/ C （不只是边，倍角也适用）【练1】如图，在厶ABC中，AB = AC，BD丄AC交AC于点1 证：/ DBC = - / BAC .2【例12】如图所示，已知 12，P为BN上一点，且PD BC 于 D，AB+BC=2BD，求证：BAP BCP 1800。【练1】如图，在四边形 ABC冲，BOBA,AD= CD BD平 分 ABC，

12、ABCMNCDOEC求证:A C 1800AH2<2_kA/ D)CB【例13】如图所示，在 Rt ABC 中，AB=AC， BAC 900， CBD ,CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。，/ ABC=2ABD【练1】已知：如图示，在 RtAABC中，/ A=90 / C，BD是/ ABC的平分线.求证：CD=2AD .CC =300，BE AD点,AE EF,交/ DCH的平分ECCDcABDA12PC于FAB力AC构造等边三角形EFBD的中点，且A'ADB'CBD'D士 ED（倍长中线） 练习3、如图1 + Z C求证：AB-AO PB-PC【例

13、14】如图所示，已知AB ABCABC 和 A'B'C'中,AB=A'B',AC=AC，点 D,D'分别是 BC,BCBE,垂足为D，求1、占八、2、D练习AE+DEABCD练习2、在厶D在AB 上, E在AC的延 求证：BD=CEBC在厶ABC中，BE是/ ABC的角平分AD=A'D',证明： ABC ABC ABC【练1 求证：BE 如图，E是 垂足为C、BCD探求ED、AE和BC之【练3】正方形ABCD,E是BC上一 线于点F,求证AE=EF【练4】已知在 ABC中，AB=AC 长线上，DE交BC于F,且DF=EF如图,已知

14、 ABC中 ,AB=AC,D是CB延长线上一/ ADB=60，E 是 AD上一点，且有 DE=DB求证：AE=BE+BC. ° 在等腰 ABC中，AB AC，顶角 A 20，在边AB上取点使 AD BC，求 BDC .1、如图，在 ABC 中,/ ACB=90 ° ,BE 平分/ ABC,DE 丄AB 于 D,如果 AC=3cm,那么 等于2cm丄3cm4cm5cm已知AM为ABC的中线， AMB， AMC的平分线分 CF EF .AOB的平分线上一点，EC OA，ED OB， D。求证：（1） OC=OD ;（2） DF=CF。间有何数量关系【练5】在四边形ABCD中，A

15、B / DC E为BC边的中点，/ BAE= / EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在 ABC中, AB>AC / 1 = Z 2，P为AD上任AC'【练2】如图所示，在 ABC中，ABC 900，AD为BAC的平分线, 于 E 点，求证：AC-AB=2BE。练习4、如图（1）,已知 ABC中，/ BAC=90 ° , AB=AC , AE是过A的一条直线，且 B、 C在A、E的异侧，BD丄AE于D , CE丄AE于E（1）试说明：BD=DE+CE .（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（

16、BD V CE），其余条件不变，问BD与DE、 CE的关系如何请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD >CE），其余条件不变，问BD与DE、 CE的关系如何请直接写出结果，不需说明理由.如图所示，在 RtAABC中，AB = AC，Z BAC = 90°，有过A的任一条直线 AN，BD丄AN 于D，CE丄AN于E,求证：DE = BD CE.（思路：截长补短法）如图，在 ABC中,AB=AC,D 是三角形外一点，且/ ABD=60 ,BD+DC=AB.求证：/ ACD=60 .（截长补短）1、如图，等腰直角 ABC与等腰直角 BDE，P为CE中点，连接

17、PA、PD .探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.试说明线段ME与MC数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转 度数（90 ），其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不正确，请说明理 由.3、已知AM为ABC的中线，AMB， AMC的平分线分别交AB于E、交AC 于F .求证：BE CF EF .（辅助线的连法都一样）【阅读理解】 已知：如图1，等腰直角三角形 ABC中，ZB=90 °，D是角平分线，交BC边于点D .求证：AC=AB+BD 证明：如图1，在AC上截取 AE=AB，连接DE，则由已知条件易知： RtZADB吕RtKDE （AAS ） ZAED= ZB=90 °,DE=DB又vJC=45 °，.DEC是等腰直角三角形.DE=EC .AC=AE+EC=AB+BD【解决问题】 已知，如图2，等腰直角三角形 ABC中，/B=90 °,AD是/BAC的平分线，交 BC边于点D，DE丄AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为.【数学思考】：现将