Z变换与离散系统z域分析

1、信号与系统 第八章：变换第八章-Z变换与离散系统z域分析 .第八章：变换§8.1 定义、收敛域（信号与系统第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）l 定义（变换）：¨ 序列的双边变换：（8-1）¨ 序列的单边变换： （8-2）注：1）双边：（8-3）为Laurent级数，其中，是Laurent级数的正则部，是主部。2）是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边变换=双边变换。¨ 定义（逆变换）：对双边变换 由Cauchy定理，有（8-4）其中，C为包围原点的闭曲线，定义：（8-5） 注：（8-4）的求解：，则有图8-2 柯西定理证明示意图l 收敛域：&

2、#168; 定义（收敛域）：对有界，使的的集合。¨ 判别方法：，为充分条件（8-6）令，有两种判别级数收敛的方法。达兰贝尔方法：（8-7）柯西方法：（8-8）若，则收敛；若，则发散；若，则不定。l 序列的分类与收敛域：¨ 右边序列：（8-9）（8-10）（8-11）为圆的外部。 8-3 因果序列收敛域（8-12）（8-13）¨ 左边序列：（8-14）（8-15）（8-16）为圆的内部。（8-17）（8-18）¨ 双边序列：（8-19） 右边序列左边序列（8-20）右边序列，左边序列，若则为环状收敛域，则无公共收敛域。 图8-4 双边序列收敛域l 典型序列

3、变换：¨ 单位样值函数（8-21）¨ 单位阶跃函数（8-22）¨ 斜升函数（8-23）¨ 指数函数（右边）（8-24）注：因式分解求变换的基础与变换不同，而¨ 复指数函数（8-25）¨ 指数函数（左边，逆因果序列）（8-26）§8.2 变换计算方法（信号与系统第二版（郑君里）8.4）l 留数方法：（8-27）图8-5 双边序列收敛域中的围线C（8-28）注：1）（正）包围：逆时针方向走，极点在围线的左侧； 负包围：逆时针方向走，极点都在围线的右侧。 2）若的极点为阶，则 当时，（与LT逆变换类似）例：求：解：右边序列； Z

4、= 0随着n的取值不同分别是二阶、一阶极点，或不是极点。 当时，极点为： 当时，极点为： Z3= Z4=0为二阶极点，其留数=6，可求得： 当时，有三个一阶极点： 可求得： 综上，有 l 长除法：略。l 部分分式展开法：类似拉氏变换，Z变换亦有其基本单元：（8-29）由于基本单元分子中含有因子z，因此应该对作部分分式展开：，这样才能使符合基本单元的形式。其中：显然，例： 求：，1），2），3）解：图8-6 X(z)/z的零极点1） 2） 3） §8.3 变换性质（信号与系统第二版（郑君里）8.5）l 线性性质：（8-30）l 位移：用移位前序列的变换表示移位后序列的变换。¨

5、 双边变换移位性质：（8-31）收敛域注：1），右移（延迟）步；，左移（导前）步。2）引入步延迟算子：（8-32）¨ 因果序列右移的变换性质：（8-33）因果序列左移的Z变换纳入下列性质。¨ 双边序列左/右移的单边变换：左移性质：（8-34）直观分析：左移m后，单边Z变换应该从序列的x(m)项开始。而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的，因此需要减掉。口诀：左移项少须减掉。右移性质：（8-35）直观分析：右移m后，单边Z变换应该从序列的x(-m)项开始。而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的，因此需要把这m项加上。口诀：右移项多须外扩。l 线性加权Û

6、;Z域微分（8-36）口诀：线性加权慢，微分负号z相伴。思考题：序列线性加权后，收敛域是否变化？l 指数加权ÛZ域尺度变换（8-37）口诀：征集中。l 初值定理：若为因果序列，则（8-38）l 终值定理：若为因果序列，在单位圆上/外解析（在单位圆上，可有的任意阶极点），则（8-39）证明：是因果序列，则。由序列左移后的单边变换性质有：，于是例1：单位阶跃序列例2：指数序列。例3：指数序列，则不宜用终值定理。例4：斜变序列，显然。由终值定理验证：，亦为无穷大。例5：事实上，序列一直振荡，终值不确定。l 卷积定理：，则（8-40）收敛域：两个z变换收敛域的公共部分。零极点相消可扩大收敛域

7、。卷积定理可用于在z域求解，然后逆变换得到时域卷积的结果。此外，还可以用于求反卷积。l 域卷积定理序列乘积的z变换：（8-41） C1为C2相同。收敛域：由 的收敛域。即： 若令，常数，常数，则，则有（8-42）上式即为的卷积。可见（8-41）式定义之合理性。l Paserval定理：（8-43）证明： 令z = 1，得到定理公式。注：1）条件：收敛域含单位圆，可以令z = 1。2）单位圆的表示：，取式中为单位圆，则有。3）内积不变性：wT由-p ® +p，则（8-43）式化为：（8-44）4）能量不变性：取，则（8-45）§8.4 变换与变换的关系（信号与系统第二版（郑君

8、里）8.6）l 的关系：¨ 物理延迟：（a）（b） （c）图8-7 物理延迟的表示：（a）时域、（b）S域、（c）Z域表示形式相等：（8-46）¨为采样间隔l，（8-47）周期为。s平面到z平面的映射关系如下： 多 1虚轴 单位圆，周期为左半开平面 单位圆内右半开平面 单位圆外图8-8 s平面到z平面的映射关系l 采样序列变换与原信号的变换的关系：图8-9 （*）注：1）是稳定信号的极点2）的收敛域，（*）式化为： （上式第三项为零）与上式结果相同。例：§8.5 变换解差分方程（信号与系统第二版（郑君里）8.7）（8-48）（8-49）可直接带入初值求，并求逆变换得。如果因果序列输入：，且零状态：，则有（8-50）图8-10 离散系统的z变换求解§8.6 系统