数学(文)全国II大联考(一)

1、全 国 大 联 考2015届高三第一次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R,集合A=y|y=(12)x,0x<1,B=x|y=x-x2,则(UA)B等于A.(0,12)B.0,12C.12,1D.(0,12.命题p:xR,x2+11,

2、则¬p是A.xR,x2+1<1B.x0R,x02+11C.x0R,x02+1<1D.x0R,x02+113.下列函数中,是偶函数且在(0,+)上为增函数的是A.y=cos xB.y=-x2+1C.y=ex-e-xD.y=log2|x|4.已知f'(x)是f(x)=sin x+acos x的导函数,且f'(4)=24,则实数a的值为A.23B.12C.34D.15.已知“x2+2015x<0”的必要不充分条件是“-a<x<a”,则实数a的取值范围是A.0,2015B.(0,2015)C.(-,2015D.2015,+) 6.已知a=0.6-

3、13,b=sin 12,c=log2.51.7,则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a7.函数f(x)=x+sin x在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A.12B.24C.22D.24+18.设函数y=x3与y=(12)x-2的图象的交点为(x0,y0),且x0(m,m+1),mZ,则m的值为A.1B.2C.3D.49.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)的极大值为f(1),极小值为f(-1),则函数y=(x-1)3f'(x)的图象有可能是10.已知“f

4、(x)=xln x在定义域内单调递增”的否定为p,“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)都是奇函数,则y=f(x)+g(x)是奇函数”的否命题为q,则下列命题为真命题的是A. ¬pqB.pqC.p¬qD. ¬p11.设函数y=f(x)在全体实数集R内有定义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=1f(x),f(x)k,f(x),f(x)>k.取函数f(x)=a-|x|(0<a<1),当k=1a时,函数fk(x)的值域为A.(0,a)(1a,+)B.(0,a1,1a)C.(0,a)1,1a)D.a,1(1a,+)12.已知函数

5、f(x)=13x3+x2+ax.若g(x)=1ex,对任意x112,2,存在x212,2,使f'(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围是A.(-,ee-8B.ee-8,+)C.2,e)D.(-33,e2第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知函数f(x)=x(x>2),2x(x2),则ff(2)=. 14.已知集合M=1,m,N=n,log2n,若M=N,则(m-n)2015=. 15.已知函数f(x)=2ax2-ax+c的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,若函数y=f'(

6、x)的零点为m,则mlog23-ma+c=. 16.给出下列命题:若y=x3+ax在R上单调递增,则a0;若p是q的充分必要条件,则¬p可能是¬q的必要不充分条件;函数f(x)=3x-2x-3,则方程f(x)=0有2个实数根.其中真命题的序号为.(把所有真命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=6x+1-1的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.(1)当m=3时,求A(RB);(2)若AB=x|-1<x<4,

7、求实数m的值.18.(本小题满分12分)已知p:函数f(x)=(x-2)ex在(m,2m)上是单调函数;q:“x2-2x0”是“x2-2mx-3m20”的充分不必要条件.若pq为真,pq为假,求实数m的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(4x2+b+2x),其中b是常数.(1)若y=f(x)是奇函数,求b的值;(2)求证:y=f(x)的图象上不存在两点A、B,使得直线AB平行于x轴.20.(本小题满分12分)已知a为常数,aR,函数f(x)=x2+ax-ln x,g(x)=ex(其中e是自然对数的底数).(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,设切点为P(x0,y0

8、),求x0的值;(2)令F(x)=f(x)g(x),若函数F(x)在区间(0,1上是单调函数,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)在2014年南京“青奥会”来临之际,某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场.已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元,且每套礼品的加工费用为6元,若该纪念品投放市场后,每套礼品出厂的价格为x(60x100)元,根据市场调查可知,这种纪念品的日销售量q与x成反比,当每套礼品的出厂价为81元时,日销量为200个.(1)若每天加工产品个数根据销量而定,使得每天加工的产品恰好销售完,求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂

9、价格x元的函数关系;(2)若在某一段时间为了增加销量,计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售,但保证每日的利润不低于9000元,求t的取值范围.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=ln x-ax.(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=-1时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,求正数m的值.2015届高三第一次联考·数学试卷参考答案1.B依题意得A=(12,1,B=0,1,(UA)B=0,12.2.C全称命题的否定是特称命题,所以􀱑p是x0R,x02+1<1,故选C.3.D函数y=cos x为偶函数,但是在(0

10、,+)上不单调;y=-x2+1为偶函数,在(0,+)上为减函数;y=ex-e-x为奇函数;只有函数y=log2|x|符合题意.4.B由题意可得f'(x)=cos x-asin x,由f'(4)=24可得22-22a=24,解之得a=12.5.D由 x2+2015x<0可得-2015<x<0,由条件可得(-2015,0)是(-a,a)的真子集,则-a-2015,a0,解之得a2015.6.B由指数函数y=0.6x的图象可知,当x<0时,y>1,0.6-13>1;由于函数y=sin x在(0,2)上单调递增,又0<12<6<2,

11、sin 12<sin 6=12;函数y=log2.5x在(0,+)上单调递增,又2.5<1.7<2.5,12=log2.52.5<log2.51.7<1,b<c<a.7.Af(x)=x+sin x,则f'(x)=1+cos x,则f'(2)=1,而f(2)=2+1,故切线方程为y-(2+1)=x-2.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.故切线与两坐标轴围成的三角形面积为12×1×1=12.8.A令f(x)=x3-(12)x-2,易得函数f(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=(12)x-2的图象的交点为

12、(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-(12)1-2=-1<0,f(2)=8-(12)2-2=7>0,且函数f(x)在R上单调递增,所以x0(1,2),所以m=1.9.B根据条件可知,当x<-1时,f'(x)<0;当-1<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.故当x<-1时,(x-1)3f'(x)>0;当-1<x<1时,(x-1)3f'(x)<0;当x>1时,(x-1)3f'(x)<0.故只有B符合

13、条件.10.Cf(x)=xln x的定义域为(0,+),且f'(x)=ln x+1,当0<x<1e时,f'(x)<0,故f(x)在定义域上不是单调递增函数,故p是真命题;命题q为“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)不都是奇函数,则y=f(x)+g(x)不是奇函数”,这是假命题,例如f(x)=x+x2,g(x)=x-x2都不是奇函数,但y=f(x)+g(x)=2x是奇函数,故正确的命题为p􀱑q.11.D依题意,当k=1a时,由a-|x|1a(0<a<1),得|x|1,此时fk(x)=1f(x)=a|x|a,1

14、;由a-|x|>1a(0<a<1),得|x|>1,此时fk(x)=f(x)=a-|x|(1a,+).因此,当k=1a时,函数fk(x)的值域为a,1(1a,+).12.A对任意x112,2,存在x212,2,使f'(x1)g(x2),f'(x)maxg(x)max,f'(x)=(x+1)2+a-1在12,2上单调递增,f'(x)max=f'(2)=8+a,g(x)在12,2上单调递减,则g(x)max=g(12)=ee,8+aee,则aee-8.13.2因为22,所以ff(2)=f(4)=4=2.14.-1或0由M=N,知n=1,

15、log2n=m或n=m,log2n=1,m=0,n=1或m=2,n=2,故(m-n)2015=-1或0.15.-89由图象可知f(1)=0,即2a-a+c=0,即a+c=0,又f'(x)=4ax-a,由图可知a<0,故y=f'(x)的零点为m=14,故mlog23-ma+c=(14)log23-m0=2-2log23-1=(2log23)-2-1=3-2-1=-89.16.对于,由y=x3+ax可得y'=3x2+a,要使函数单调递增,只需y'=3x2+a0恒成立,故a-3x2,可得a0,故正确;对于,若p是q的充分必要条件,则􀱑p一定是&

16、#1051729;q的充分必要条件,故错误;对于,令f(x)=3x,g(x)=2x+3,作出它们的图象可以发现有两个交点,故正确.17.解:(1)由已知可得A=x|-1<x5.当m=3时,B=x|-1<x<3,则RB=x|x-1或x3,A(RB)=x|3x5.5分(2)A=x|-1<x5,AB=x|-1<x<4,故4是方程-x2+2x+m=0的一个根,-42+2×4+m=0,解得m=8.此时B=x|-2<x<4,符合题意,因此实数m的值为8.10分18.解:由f(x)=(x-2)ex,可得f'(x)=(x-1)ex.由f'

17、;(x)>0,可得x>1,即f(x)在(1,+)上单调递增;由f'(x)<0,可得x<1,即f(x)在(-,1)上单调递减.若p为真,则m>0,m1或m>0,2m1,解之得0<m12或m1.4分若q为真,分m大于0与小于0,可得m23或m-2.6分由pq为真,pq为假,可得p,q一真一假.若p假q真,则m(-,-223,+)且m(-,0(12,1),即实数m的取值范围是(-,-223,1);8分若p真q假,则m(-2,23)且m(0,121,+),即实数m的取值范围是(0,12.10分综上可知,若pq为真,pq为假,则实数m的取值范围是(-,-

18、2(0,1223,1).12分19.解:(1)设y=f(x)的定义域为D.y=f(x)是奇函数,对任意xD,有f(x)+f(-x)=0,3分得b=1.此时,f(x)=lg(4x2+1+2x),D=R,为奇函数.5分(2)设定义域内任意x1<x2,h(x)=4x2+b+2x,h(x1)-h(x2)=4x12+b+2x1-4x22+b-2x2=22x12-2x224x12+b+4x22+b+x1-x2=2(x1-x2)2(x1+x2)4x12+b+4x22+b+1.7分当b0时,总有0<x1<x2,4x12+b2x1,4x22+b2x2,2(x1+x2)4x12+b+4x22+b

19、1,得h(x1)<h(x2);9分当b>0时,x1-x2<0,4x12+b>2x1,4x22+b>2x2,-1<2(x1+x2)4x12+b+4x22+b<1,得h(x1)<h(x2).故总有f(x)在定义域上单调递增,11分y=f(x)的图象上不存在两点,使得所连的直线与x轴平行.12分20.解:(1)f'(x)=2x+a-1x(x>0),切线的斜率k=2x0+a-1x0=x02+ax0-ln x0x0,整理得x02+ln x0-1=0,显然x0=1是这个方程的解,y=x2+ln x-1在(0,+)上是增函数,方程x2+ln x-

20、1=0有唯一实数解,故x0=1.5分(2)F(x)=f(x)g(x)=x2+ax-lnxex,F'(x)=-x2+(2-a)x+a-1x+lnxex,设h(x)=-x2+(2-a)x+a-1x+ln x,则h'(x)=-2x+1x2+1x+2-a,易知h'(x)在(0,1上是减函数,从而h'(x)h'(1)=2-a.当2-a0,即a2时,h'(x)0,h(x)在(0,1)上是增函数,h(1)=0,h(x)0在(0,1上恒成立,即F(x)在区间(0,1上是单调递减函数,a2满足题意.10分当2-a<0,即a>2时,设函数h'(x

21、)的唯一零点为x0,则h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,h(1)=0,h(x0)>0,又h(e-a)<0,h(x)在(0,1)内有唯一的零点m,当x(0,m)时,h(x)<0,当x(m,1)时,h(x)>0,从而F(x)在(0,m)上单调递减,在(m,1)上单调递增,与F(x)在区间(0,1上是单调函数矛盾,a>2不合题意.综合得a2.12分21.解:(1)根据条件可设q=kx,由条件可知,当x=81时,q=200,即200=k81,故k=1800,q=1800x,生产这套“青奥会”纪念品每日可以获得的利润为y=(x-30-6)·1800x=1800(x-36)x(60x100).4分(2)由(1)可知y=1800(x-36)x,y'=1800x-12·(x-36)·1xx=900(x+36)xx.显然,当x>0时,y'>0,函数在60,100上单调递增,当x=100时,每日获得的利润最大,且最大值为y=1800×(100-36)100=11520(元),8分每套纪念品的价格降低t元后,每套纪念品的价格为100-t元,可以获得的利润为y=1800·(100-t-36)100