立体几何基础题题库二有详细答案

1、立体几何基础题题库（二）（有详细答案）51. 已知空间四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N分别为BC、AD的中点。求：AM与CN所成的角的余弦值；解析： 连接DM,过N作NE / AM交DM于E,则/ CNE/ N为AD的中点,NE / AM省1二NE= AM且E为MD的中点。2为AM与CN所成的角。设正四面体的棱长为 1,则 NC= 1 334口1V3且 ME= MD=2422在 Rt MEC 中，CE2=ME22 3+CM =+1'=7164163 23、27cos / cne=CN2NE CE2 _（4）（一16 _ 2”2 CN NE、3. 3J32

2、*44ji又/ CNE （0,-）22异面直线AM与 CN所成角的余弦值为 一.3注：1、本题的平移点是 N,按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在 CEN 外计算CE CN EN 长，再回到厶CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形 后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所 成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52. 如图所示，在空间四边形 ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知 AB=4 , CD=20 , EF=7 ,AF be i。求异

3、面直线 AB与CD所成的角。FD EC 3解析：在BD上取一点G,使得BG =-，连结EG、FGGD 3-13 -BE BGEG BE 1心 BCD 中，-，故 EG/CD，并且，所以，EG=5 ；类似地，可证FG/AB，且FGDF3 ?ABAD4故 FG=3 ,在厶EFG中，利用余弦定理可得cos/ FGE= EG2 GF2-EF2= 32 号"-2 EG GF2 3 52故/ FGE=120 °。另一方面，由前所得 EG/CD , FG/AB，所以EG与FG所成的锐角等于 AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60 °。53. 在长方体 ABCD-AB

4、CD中，AA=c, AB=a, AD=b且a>b.求AC与BD所成的角的余弦.1解一：连AC设ACn BD=0则O为AC中点，取 CC的中点F,连OF,贝U OF/ AC1且OF= AC1，所以/ FOB即为AC1与DB所成的角。2在厶 FOB 中，OB= 1 Pa2 +b2 , OF= *a2 +b2 十c2 , 2 21 l2 1 2"BE= . b c2 ,2 .4由余弦定理得cos / OB=1 2 2 1 2 2 2 22(a b ) (a b c ) -(b c )2 1 Ja2 +b2 va2 +b2 +c24-b.(a2 b2)(a2 b2c2)解二：取AC中点

5、O, BB中点 6在厶COG中，/ COG即AC1与DB所成的角。C1E= 4a2 c2由余弦定理，得解三：.延长CD到E,使ED=DC则ABDE为平行四边形.AE/ BD,所以/ EAC即为AG与BD所成的角.连 EC"A AEC1 中，ae= . a2 b2 , AC1= a2 b2 c2 ,/ 匚AC(a2 +b2)+(a2 +b2 +c2)(4a2 +c2)b2a2二 0cos / EAC 1=v 02 . 2 2 .2 2 ,2, 2、， 2, 2 2)2 a b a b c(a b )(a b c所以/ EAG为钝角.根据异面直线所成角的定义，2b2ACi与BD所成的角的

6、余弦为a "bJ(a2 +b2)(a2 +b2 +c2)54. 已知AO是平面:-的斜线，A是斜足，OB垂直:-,B为垂足，则直线AB是斜线在平面:-内的射影，设 AG是内的任一条直线，O解析：设AO与AB所成角为刁，AB与AG所成角为七，AO与AG所成 角为 二，则有 COST - cos 可 cosv2。在三棱锥 s ABG 中，/ SAB= / SAG= / AGB= 90 ,AG = 2, BC = 3, SB =29，求异面直线SG与AB所成角的大小。（略去了该题的 1,2问） 由SA丄平面 ABC知，AG为SG在平面 ABC内的射影，设异面直线SG与AB所成角为二，则 c

7、os ： - cos_SCA cos BAG ,由 AC =2,BC 二、一 3, SB 二 29 得 AB =：【17, SA = 2.3, SC =21cos SCA 二22,cos 乙 BAC =山7二 cos,1717 即异面直线SC与AB所成角为 arccos1755.已知平行六面体 ABCD - AiBiCiDi的底面ABCD是菱形，且CiCB =/CiCD =/BCD =60 ,证明 C1C BD。B（略去了该题的2, 3问）解析：设Ci在平面ABCD内射影为H，则CH为CiC在平面abcd内的射影， cosCrCD = coC1CH cos/DCH , cosecjCB 二 c

8、oseCQH cos BCH ,由题意CjCD 二/CjCB ,cos. DCH = cos. BCH。又 . DCH BCH 0,二） . DCH二.BCH , 从而CH为.DCB的平分线，又四边形ABCD是菱形， CH_BD CiC与BD所成角为90 ,即CiC_BD56. 在正四面体 ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，求异面直线 AE与CF所成角的大小。解析： 连接BF、EF,易证AD丄平面BFC, EF为AE在平面BFC内的射影， 设AE与CF所成角为二,- cost - cos AEF cos CFE ,显然EF± BC ,EFDa，贝U AE =CF = BF设正

9、四面体的棱长为COS-AEFEF6EF. 6,cosAFEAE3CF3cos J -,3即AE与CF所成角为2 arccos3。57. 三棱柱 OAB _OiAiBi，平面 OBBQi 丄平面 OAB , / OQB =60 上 AOB =90 ,且OB =OOi =2,OA二3，求异面直线 AiB与AOi所成角的大小,（略去了该题的1问）解析： 在平面BO1内作BCOO!于C ,连A1C，由平面BOO1B平面AOB，/AOB =90 知，AO丄平面BOO1B1 ,AO I BC ,又 AO " OO1 = O ,BC丄平面AOO1A1 , A,C为A,B在平面AOO1A1内的射影。

10、设与AO1所成角为二，A1C与AO1所成角为 七,则 cos v - cos BA-|C cos r ,由题意易求得 BC 3, A,C =2,人占=. 7 ,/A1C2cos 乙 BA1C-A1B V7在矩形AOO1A中易求得 AC与AO1所成角 屯的余弦值：cosx14cos J - cos /BAQ cos I1arccos7。58. 已知异面直线a与b所成的角为50 , P为空间一定点，则过点P且与a , b所成的角均是30的直线有且只有（）A、1条B、2条 C、3条 D、4条解析： 过空间一点P作a' / a , b' / b，则由异面直线所成角的定义知：a'

11、与b'的交角为50 过P与a， b成等角的直线与a，b亦成等角，设a，b确定平面：，a， b交角的平分线为I，则过I且与:- 垂直的平面（设为 J内的任一直线|'与a'，b'成等角（证明从略），由上述结论知：与a', b'所成角大于或等于I与a'，b'所成角25，这样在内I的两侧与a'，b'成30角的直线各有一条，共两条。在a'，b'相交的另一个角130内，同样可以作过130角平分线且与：垂直的平面 ，由上述结论知， 内 任一直线与a'，b'所成角大于或等于 65，所以 内没有符合要

12、求的直线，因此过 P与a，b成30的直 线有且只有2条，故选（B）59.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析：D60. Ii、12是两条异面直线，直线mi、m2与li、12都相交，则 mi、m2的位置关系是（A.异面或平行C.异面解析：DB.相交D.相交或异面61.在正方体ABCD-AB' C'中Df棱AA '异面的直线共有几条（A.4B.6C.8D.10解析：A62.在正方体ABCD-A ' B' C中D12条棱中能组成异面直线的总对数是（A.48 对B.24 对C.12 对D.6 对次，共有24对.解

13、析：B棱AA '有4条与之异面，所以，所有棱能组成4X 12=48对,但每一对都重复计算63.正方体ABCD-A ' B' C'中靑面直线CD '和BC '所成的角的度数是(A.45 °B.60 °BC.90 °D.120 °解析：B/ AD 'C=60 °即为异面直线 CD '和BC '所成的角的度数为 60°64异面直线a、b, a丄b, c与a成30°角，贝U c与b成角的范围是JT3Tt JIA. 3,2C.二 2 二解A.直线c在位置c2时，它

14、与b成角的最大值为90° ,直线c在cl位置时，它与b成角的最小值是60°65如图，空间四边形 ABCD的各边及对角线长都是 1,点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（)123A.-B.C.D.2242解析：B当M,N分别为中点时。因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线 AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD丄BN,CD丄AN且AN=BN,所以NM丄AB。同理，连接 CM,MD 可得 MN丄CD。所以 MN为AB,CD 的公 垂线。因为 AN=BN = 3,所以在RT BMN中，MN = 、BN 2 - BM 2 = .

15、 3 - 1 = 2。求异面直线的2V442距离通常利用定义来求，它包括两个步骤：先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66. 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF = V 3，则AD,BC所成的角为（）A.30 °B.60 °C.90D.120cos -EMF 二.2.2211 ( - 3)2 -2 -1=-1注：考察异面直线所成角的概2念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行 关系构造可求解的三角形， 可能是钝角三角形， 望大家注意。同时求角

16、的大 小是先证明再求解这一基本过程。ACD67. 直线a是平面a的斜线，b在平a内，已知a与b成60°的角，且b与a在平a内的射影成45°角时,a与a所成的角是（）A.45 °C.90 °解AB.60 °D.135A a, A在内的摄影是C,则AC .1二于C，AB _ b于B，则0B _平面ABC 。 OB _ BCcos AO0COAcos. AOB 二 cos600 = 0BOAcos/BOC = cos450OBOCcos AOOCOAcos/AOB _ cos60 _ . 2cos一 BOCcos45°2 AOC =45&#

17、176;68. m和n是分别在两个互相垂直的面a、3内的两条直线，a与B交于I, m和n与I既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是A. 可能垂直，但不可能平行B. 可能平行，但不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推 理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。设m/n,由于m在3外，n在3内，/ m/ 3而a过m与3交于I m/l，这与已知矛盾,m不平行n.设mln,在3内作直线a丄I,又由于n和a共面且相交（若a/n则n丄I，与已知矛盾） m丄 B ,mil

18、与已知矛盾， m和n不能垂直.综上所述，应选（D）.69. 如图，ABCD-A iBiCiDi是正方体，E、F分别是AD、DDi的中点，则面 EFCiB和面BCCi所成二面角 的正切值等于-io -解析：为了作出二面角e-bc 1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。从图形特点看，应当过 E （或F）作面BCC的垂线.解析：过E作EH丄BC,垂足为H.过H作HG丄BC1，垂足为 G.连EG.面 ABCD 丄面 BCCi, 而 EH 丄BC/ EH 丄面 BECi ,EG是面BCC的斜线，HG是斜线EG在面BCC内的射影./ HG

19、L BCi, EG 丄 BCi,在 Rt BCCi 中:sin / CiBC=CC1BC1在 Rt BHG 中:sin/ CiBC=HGBH211 HG=（设底面边长为1）5 25而 EH=1 ,亠亠HG 厂在 Rt EHG 中: tg/ EGH=5BH/ EGH=arctg - 5故二面角 E-BC 1-C 等于 arctg . 5 .70.将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=2则三棱锥D-ABC的体积为V624V224BDEGH是二面角E-BC 1-C的平面角。-21 -解析：设AC、BD交于0点，贝U BO丄AC且DO丄AC,在折起后，这个垂直关系不变，因此/BOD是二

20、面角B-AC-D的平面角由于 DOB中三边长已知，所以可求出/ BOD :r+1642>I< _ p这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是 理由是：删删刪|=面肋C丄面0屍 DOB中，OB边上的高 DE ,DE丄 OB DEL面 ABC.1cos/ DOB=，知 sin / DOE=2 DEsin . DOE2应选（B）171. 球面上有三个点 A、B C. A和B, A和C间的球面距离等于大圆周长的 B和C间的球面距离等于61大圆周长的 丄.如果球的半径是 R,那么球心到截面 ABC的距离等于4fffl解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力如图所示，圆

21、0是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦 EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距 0D就是球心0到截面ABC的距离,ABC的半径.11，所以/ AOB= X 2n =_ ,663下一个图是过 A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段它们的长度要分别在厶 AOB、 AOC > COB中求得（0是球心）由于A、B间球面距离是大圆周长的兀兀同理/ AOC= ，/ BOC=32|AB|=R , |AC|=R,|BC|= '.在厶 ABC 中，由于 AB2+AC 2=BC2./ BAC=90 ° ,BC是小圆ABC的直径.V? |ED|= R242从而 |

22、OD|= R.2故应选B.72. 如图，四棱锥 P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄底面ABCD，该图中，互相垂直的面有A.4对 B.5对 C.6对D.7对答案（D）解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥 .M是厶ABC的垂心，那么 AB和DM所成的角等于 解析：90°连CM交AB于N 连DN易知N是AB中点，AB丄CN AB丄DN.74. 已知PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN丄CD ;（2）若/ PDA=45 °，求证 MN 丄面 PCD.（12 分）解析:1(1)取 P

23、D 中点 E,又 N 为 PC 中点,连 NE,贝 U NE /CD, NECD.21又；AM / CD , AM =丄CD,. AM/NE,.四边形AMNE为平行四边形2 =.MN / AEPA _ 平面 ABCDCD 二面ABCD_ CD _PACD _AD_ CD _ 平面 ADP AE 二平面 ADP= CD _ AE.（注 :或直接用三垂线定理(2)当_PDA =45时,RUPAD为等腰直角三角形 则AE _PD,又MN/AE,. MN _PD,PDCD =D .MN 平面 PCD.75. 设P、Q是单位正方体 AC1的面AA 1D1D、面A1B1C1D1的中心。如图：（1）证明：P

24、Q/平面AA 1B1B ；（2）求线段PQ的长。（12分）证法一：取AAi, A Bi的中点M , N,连结MN ,NQ,MP11 MP /AD, MP AD,NQ/ADi,NQAi Di22.MP /ND且MP =ND.四边形PQNM为平行四边形.PQ/MNMN 二面AAi B B, PQ 二面AAiBiB.PQ/ 面AA Bi B证法二：连结ADi ,ABi,在.ABi Di中,显然P,Q分别是ADi, Di B的中点.PQ/AB,且PQ ABi2PQ 二面AAiBiB,AB 面 AAiBiB.PQ/ 面AA Bi B(2)方法一 ：PQ =MN =；AiM2 AN2 =#a2方法二-:P

25、QABia.2 2评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平 行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较 多。76. 如图，已知1=I,EA_ :于代 EB _ 于B,a 二：a_AB.求证 a/ l 解析:EA _ : , EB:-=1l _EAl _EB又 a : , EA_ : ,. a _EA 又 a _ABa _平面EABa/l.77 .如图，ABCD为正方形，过 A作线段SA丄面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交 SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD

26、上的射影。(i 2分)解析:SA 平面ABCD-SA BCBC 平面 ABCD一又.AB _BC,SA - AB =A,. BC _平面 SAB .BC _AE.SC _平面 AHKE.SC_AE又BC - SC 二C.AE _平面 SBC.AE _SB,即E为A在SB上的射影.用理可证,H是点A在SD上的射影.78.在正方体 ABCD AiBiCiDi, G为CCi的中点，0为底面ABCD的中心。求证：AiO丄平面 GBD (14分) 解析:AA BD BD 平面 AAD="二 BD A OAC _BDA O 面A AO又 A °2A2 AO2 =a2 (-)2 =3a2

27、2 2OG2 =OC2 CG2 =( 2a)2 (旦)2 =a2224AG2 二A C C ! G2 =C- 2a)2 - ( )a224.AO2 OG2 二A G2.AO_OG 又BD OG =0 A O _平面GBD79.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值 m,定长为n (n>m)的线段PQ的两个端点分别在 a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。(i )求证：AB丄MN ;(2)求证：MN的长是定值(1 4分) 解析：-1 6-取PB中点H ,连结HN，则HN b又.AB _b.AB _HN同理AB _MH.AB _ 平面 MNH.AB _ 平面

28、 MNH.AB _MNb丄AB'十=(2)= b _ 平面 PAB. b _ PB.b丄a :在Rt PBQ中,BQ2 =PQ2 _PB2 = n2 _PB2(1)在RtPBA中,PA2 二PB2 AB2 二PB2m2(2)(1),(2)两式相加 PA2 BQ2 = n2 -m2a _b, ZMHN =90.MN EMH2 NH2 二(PA)2 (BQ)2 J , n2 -m2(定值)V 22280.已知：平面:-与平面1相交于直线a,直线b与、-都平行，求证:b II a.证明：在a上取点P, b和P确定平面 设 与交于a', 与交于a/ b I 二且 b II 1-：, b

29、 II a 且 b II a a 与 a 重合，而a 二：J a ，实际上是a a、a三线重合, a II b.81. 有三个几何事实（a, b表示直线，表示平面），a/ b,a/，b/.其中，a, b在面外.用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判 断真伪正确的给出证明，错误的举出反例.解析：I： a II bn： a II bb Hi = a II :a在、；夕卜I、n是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行， 则另一条也与该平面平行.证明：过a作平面-与芒交于a '/ a II :a II a而 a II

30、b b II a且b在工外，a 在.工内 b /川：a II :-二检 / bb II :-_命题：平行于同一个平面的两条直线平行,这是错的，如右图82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行.已知：、是两个平面，直线I丄亠I丄二 垂足分别为 A、B.求证：/ 1思路1根据判定定理证.证法1 :过I作平面，:-n = ac, -n = bd,过I作平面an 鼻 ae Bn 鼻 bf,I丄=T丄ACI丄=I丄BD=AC II BD= AC/ :,-31 -I、AC、BD 共面同理 AE / 爲 AC n AE 工, AC, AE 二：故H .思路2 :根据面面平行的定义，用反证法.证法2

31、:设：、有公共点P则I与P确定平面，且;.n = AP, : n = BP.I丄I丄API丄=I丄BPI、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与I垂直，这是不可能的.故、：不能有公共点，:- / -.83. 已知：a、b是异面直线，a 平面:, b二平面：，a/ :, b / :-.证法1:在a上任取点P,显然P b.于是b和点P确定平面.且与：有公共点P. 、一 n = b'且b'和a交于P,/ b / ：, b / b' b'/ 一：而 a /这样:-内相交直线a和b '都平行于一：证法2:设AB是a、b的公垂线段， 过AB和

32、b作平面 ，n ： = b过AB和a作平面:n -= aa -二 a II a' AB 丄AB 丄 a', AB 丄 bAB 丄 b于是AB丄：且AB丄 ：/ '：.84.已知a、b、c是三条不重合的直线，a、3、r是三个不重合的平面，下面六个命题: a I c,b I c= a I b; a I r,b Ia I b; a II C,3 I C = a I 3 ； a II r,3 Ir= a I 3 ； a I c,a I C= a I a ； a I r,a I r = a I a .其中正确的命题是( )(A)(B)(C)(D)解析：由公理4 “平行于同一条直线

33、的两条直线互相平行”可知命题正确；若两条不重合的直线同平行 于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题错误；平行于同一条直线的两个不重合 的平面可能平行，也可能相交，命题错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题正确;若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在 该平面内，因此命题、都是错的，答案选A .85. 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC=BC, M、N分别是A1B1 , AB的中点，P点在线段BQ上，贝U NP 与平面AMCi的位置关系是 ()(A) 垂直(B) 平行(C) 相交但不垂直(D) 要依P点的

34、位置而定解析：由题设知BiM / AN且BiM=AN ,四边形ANBiM是平行四边形，故 BiN / AM , BiN / AMCi 平面.又 CiM / CN，得 CN /平面 AMCi，则平面 BiNC / AMCi, NP 平面 BiNC, NP /平面 AMCi.答案选B.86. 已知：正方体 ABCD AiBiCiDi棱长为a.(1) 求证：平面 AiBD /平面 BiDiC;(2) 求平面AiBD和平面BiDiC的距离.证明：(i)在正方体 ABCD AiBiCiDi中, BBi平行且等于 DDi,四边形BBiDiD是平行四边形， BD / BiDi, BD /平面 BiDiC.同

35、理AiB/平面BiDiC,又 AiB n BD=B,平面AiBD /平面BiDiC 解：(2)连ACi交平面AiBD于M，交平面BiDiC于N .AC是ACi在平面AC上的射影，又 AC丄BD , ACi 丄BD,同理可证，ACi± AiB,C ACi丄平面AiBD，即MN丄平面AiBD, 同理可证 MN丄平面BiDiC. MN的长是平面AiBD到平面BiDiC的距离，设AC、BD交于E,则平面AiBD与平面AiC交于直线AiE. M 平面 AiBD , M ACi 平面 AiC, M AiE.同理N CF .在矩形AAiCiC中，见图9-2i(2)，由平面几何知识得iMN ACi

36、,3MN评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各 种线面的位置关系证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或 者使用反证法.87. 已知正三棱柱 ABC-AiBiCi,底面边长为(1) 求证ABi平面CiBD;(2) 求直线ABi到平面CiBD的距离.证明：设BiCn BCi=O.连DO,贝y O是BiC的中点.在厶ACBi中，D是AC中点，O是BiC中点. DO / ABi,又 DO 平面 CiBD, ABi 二平面 CiBD , ABi / 平面 CiBD .解：(2)由于三棱柱 ABC AiBiCi是正三

37、棱柱, BD 丄 AC,且 BD丄 CCi,8,对角线BiC=i0 , D为AC的中点.D是AC中点, BD丄平面ACi, 平面CiBD丄平面ACi, CiD是交线.在平面ACi内作AH丄CiD，垂足是H , AH 丄平面 C1BD,又AB/平面CiBD，故AH的长是直线 ABi到平面CiBD的距离.由 BC=8，BiC=10，得 CCi=6，在 Rt CiDC 中，DC=4，CCi=6，63sin EG DC -22-=v'462<13在 Rt DAH 中，/ ADH =Z CiDCf12 .'i3 AH = AD sin . CQC 二1312/13即AB1到平面C1

38、BD的距离是13评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO.本题的第 问，实质上进行了 “平移变换”，利用AB1 /平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离.88. 已知：直线a/平面：.求证：经过 a和平面平行的平面有且仅有一个.证：过a作平面与：交于a，在内作直线b 与a 相交，在a上任取一点P,在b和P确定的平面内， 过P作b/ b '. b在外，b 在内， b / 二而 a / : a, b确定的平面过a且平行于:-.过a, b的平面只有一个，过a平行于平面:-的平面也只有一个89. 已知平面、：、：.其中 n - =1, Q =

39、a,:门 =a , a/ a , =b，: Q ： =b ,b/ b上述条件能否保证有1 ?若能，给出证明，若不能给出一个反例， 并添加适当的条件，保证有/.不足以保证:-II.如右图.lbaY如果添加条件a与b是相交直线，那么:.I :. 证明如下：a I a = a I -bl b = b I 'a, b是鳥内两条相交直线,、：II-'90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行 已知：平面 a Q平面3 = a,平面3门平面Y = b,平面丫 Q平面a = C. 求证：a、b、c相交于同一点，或 a I bI c.证明：a n 3 = a,3

40、 门 y = b a、b- 3a、b 相交或 a I b.(1) a、b相交时，不妨设 an b= P,即P a, P b而 a、b- 3 , a - a P 3 , P a ,故P为a和3的公共点又T a n y = C由公理2知P c a b、c都经过点P,即a、b、c三线共点.当a I b时a n y = c且 a a , a - 丫-37 - all b/ c故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用91. 如图，正方体 ABC ABCD中，E在AB上，F在BD上，且 BE= BF求证：EF/平面BBCC.证法一：

41、连 AF延长交BC于 M连结BM AD/ BC AFDA MFB AF DFFM - BF又 BD= Bia BE= BF DF= AE AF AEFM - B,E EF/ BM BM 平面 BBCC EF/平面 BBCiC.证法二：作 FH/ AD交AB于H,连结HE/ AD/ BC FH/ BC BCu BBCC FH/ 平BBCiC由 FH/ AD可得BFBD BHBA-41-又 BF= BiE , BD= ABB1E _ BHABj 一 BA EH/ BiB, BBu平面 BBCC EH/平面 BBCiC,EHn FH= H平面FHE/平面BBCCEF平面FHE EF/平面 BBCiC

42、说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内92.已知：平面a/平面B,线段AB分别交a、B于点M N;线段AD分别交a、B于点C D分别交 a、B 于点 F、E,且 AM=m, BN=n, MNp,A FMC面积=(n+p)( n+p),求：END的面积BF解析：如图，面AND分别交a、B于MC ND因为a / 3 ,故MC/ ND同理 MR/ NE得/ FMC=Z END ND： MC=( m+p) : m和 EN： FM= n : (n+p)1-EN ND sinEND2& END： & FMC=1-FM MC sinFMC2得 Saend=EN NDFM MCX S FMC-(m+p)( n+p)= ( n+p) END的面积为 (m+p)2平方单位m93.如图，在正方体 ABCA B G D中，点N在BD上，点 M在 B C上, 并且CIMDN求证：MN/平面AABB.解析：本题是把证“线面平行