求解机械波的基本情况一例精

1、求解机械波的基本情况一例一横波沿绳子传播时的波动表达式为y =0.05cos（10二t -4二x）,式中各量的单位为 SI单位。（1）求此波的振幅、波速、频率和波长；（2）求绳上各单元振动时的最大速度和最大加速度；（3）求x =0.2m处的质元在t=1S时的相位，它是原点处的质元在哪一时刻的相位？这一位相所代表的运动状态在t=1.25S时刻到达哪一点？在 t=1.5S时刻到达哪一点？（4）分别图示t=1,1.1,1.25和1.5S各时刻的波形。解：（1）已知波动表达式为y = 0.05cos（10二t -4二x）,与波动标准表达式xy = Acos（2二Vt -2）Z比较，可得到振幅A =0.

2、05m,频率=5HZ，波长怎-0.5m，波速u = ''二 0.5 5 = 2.5m/ S.（2）绳上各质元振动时的最大速度dyVmax = （） max = 2h；：'-A = 2二 5 0.05 = 0.5二=1.57m/ S.dt最大加速度d y2 22222amax =（£）max=4 A=4 二 50.05 = 5二=49.3m/Sdt（3）x = 0.2m处质元的振动比原点处质元的振动落后时间x 0 2：t =x 二02 =0.08S.u 2.5故x=0.2m,t=1S时质元的振动位相相当于原点处质元在t0 =1 -0.08 = 0.92S时的振动

3、位相。设这一位相所代表运动状态在t, =1.25S时到达x1点，在t2 =1.5S时到达x2点，则x1 =x U（1 -t） =0.2 2.5 （1.25 -1） = 0.825m.x2 二 x u(t2 -t) =0.2 2.5 (1.5-1) = 1.45m。(4) t =1S,1.1S,1.25S以及1.5S各时刻的波形如图一所示。求解原点的振动表达式和机械波的波动表达式一平面简谐波以波速 u =0.50m/S沿x轴负向传播，t=2S时刻的波形如图一所示。 求：原点的振动表达式以及此简谐波的波动表达式。解：由图可知， A =0.5m,'t =2.0m,因而人 2.0T4S;u 0

4、.5T 4=rad / S.2设原点的振动表达式为：所以，原点的振动表达式为nJiy =0.5cos( t ).2 2简谐波的波动表达式为y =Acos，(t X) o =0.5cos (t u2 it0.50)2.一沿x正方向传播的平面余弦波，已知(1)(2)(3)（4） 解：写出原点 0质元的振动表达式；写出该波的波动表达式；写出A点处质元的振动表达式；求A点离原点的距离。1）由波形图可知振幅t波速 u = 0.4 0.5 = 0.2m/S,角频率A=10cm=0.1m,波长=40cm = 0.4m,-2- 2二 0.5 二二rad / S.1,2丄2兀当t = S时，O点的振动相位 &#

5、39;二:,即t =,3 33求解振动表达式和波动表达式一例所以原点O质元的振动表达式为ny0 =0.1cost).3（2）波动表达式为y = Acos (t -X)亠；° uX H"1cosP卫)弓.1（3） t S时A点的振动相位' a3Ji 丄ji-t AO, A0 :2 2所以A点处质元的振动表达式为5 、a = 0.1 cos(：t).6(4)0 _ AOXA - x02 二XA 二0 一 A° = 0.23m.利用振动表达式求解波动表达式平面简谐波以速度 u =20m/S沿直线传播。已知在传播路径上某点 A,如图一，的简谐振动的表达式为 y =

6、0.03cos4二t.(1)（2）（3）（4） 解：图一写出波动表达式；以距离点A为5m处的点B为坐标原点，写出波动表达式；写出传播方向上点 C和点D的简谐振动的表达式（各点间距见图）；分别求出点B与点C间、点C与点D间的相位差。由A点的简谐振动的表达式，可以得知= 2Hz,4兀“u 20 “2 H z ,10m.2 二 2 2（1）以A点为原点的波动表达式为xxny=Acos （t- ）=0.034：（t-） = 0.03cos（4二t 一 x）.u205（2） 由于波由左向右传播，故点 B的相位比点A超前，其简谐振动的表达式为5yB 二 Acos（ t 亠B） = 0.03cos4二（t

7、） =0.03cos（4二t 二）.20故以点B为原点的波动表达式为x兀y = 0.03cos4二（t ）：； ；：；= 0.03cos（4二tx：；爲）.205（3）由于点C的相位比点A超前，故点C的振动的表达式为AC13yc =0.03cos4二（t ） = 0.03cos4二（t）u2013 = 0.03cos（4：t）.5而点D的相位落后于点 A，故点D的振动表达式为yD 二 0.03cos4二（t -AD）u9=0.03cos4二（t 一 ）20二 0.03cos（4二t）.（4）由于BC间的距离厶'bc=Xbc2 8 =1.6 二102 二XCD扎2 二22 =4.4二10

8、根据波形求解振动的表达式和波动表达式一列沿x正向传播的简谐波，在t0和t 0.25S时刻的波形如图一所示。（1）P点的振动表达式；（2）波动表达式；0.2（3）画出0点的振动曲线。解：（1）由图可知，kZXi = 0 t -0.25$试求:?； =0.6m,u=0.6m/S,T0.25P点的振动表达式为2兀yp = Acos（ 丁 t "o）由于在t=0时，心。弓)p 0,故V或者JT-），2ityP =0.2cos（2：t）.2(2)在t=0时，0点的振动位置 y =0,(鱼)0 : 0dt故初相位'0疋，振动表达式为-,2瑁2瑁x 木10兀y =0.2cos(2°

9、;) = 0.2cos(2二t 一T&(3) O点的振动曲线如图二所示。TL32）求解波的能量密度和声强大小一平面简谐波在空气中传播，波速u =340m/S,频率为500 HZ。到达人耳时，振幅A = 10° cm,试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强的大小，声压幅为多大？此声强相当于多少分贝？已知空气的密度为 -1.29kg/m3.解：声波的平均能量密度为_ 1A2 2 =6.37 106J/m3.21声强为 | =丄：入2 2u 二 一 u =6.37 10340 =2.17 10W/m2.2声压幅 Pm 二'uA=1.38Fa.或者 Pm = 2uf =1.3

10、8Pa.I217工 10声强级 L| =10log1010log10 歪93.4 dB.I 010求解因干涉而静止的点的位置一媒质中有两个波源位于 A、B两点，如图一，其振幅相同，频率均为100 Hz，相位差为二。若A、B两点相距30m，波在媒质中的传播速度为400m/S,试求：A、B连线上因干涉而静止的各点的位置。解：取AB的中点为坐标原点，如图一。设波源 B的初相为'BO，则波源A的初相为 a。二冷。*二。于是波源A、B所发出的波引起的 P点的质元振动的相位分别为+2兀丨1A 二 t( x) A0人2 2兀l.mt(_ X) . B0 二人2.2兀丨.B = t (X)* BO .

11、人2其相位差为A© =% %+皿.4 Jix由干涉的减弱条件，有(2k T)二，k = 0,1,2得到x =(k 1)或者 x - -k .k =0,1,22 2依据已知条件，=U = 400 = 4m.所以得到在 A、B间因干涉而静止的点的位置为v 100x 二-14,-12,-10,-8,七,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14(m),共15个静止点。运用干涉条件求解几个关系如图一所示，地面上的一波源S与一探测器D之间的距离为d。在D处测得从S直接发出的波与从S出发又经高度为 H的水平层B反射后的波的合成信号强度最大。当水平层 逐渐升高h距离时，在D处测到的信号消失。

12、设波在水平层的反射角等于入射角，不考虑 大气的吸收，求波长 与D，h, H的关系。解：由于在B、C处反射的情况相同，所以两次测量不会由于反射引起不同效果，故可设波在B、C处反射时都有半波损失。 这样， 在B点反射的波与直射波在 D处加强的条 件为Z SB BD SD k .2k =0,1,22. H2(°)2 d 。V22在C点反射的波与直射波在 D处相消 的条件为 Z -ZSC CD SD = (2k 1).22k 71,2即 2 (H h)2(D)2 -2 H2_:2 D 2(2 d 2，4 (H h) (?) H (2)2 .4(H h)2 d2 - . 4H2 d 2 .求解

13、驻波中反射波的表达式和合成波的表达式设入射波的表达式为t Xyi = A cos 2 (),在x=o处发生反射,T 二反射点为固定端，求：（1）反射波的表达式；（2）合成波的表达式；（3）波腹和波节的位置。解：（1）由于反射点为固定端，所以这点必是波节。入射波和反射波在此点引起的振 动是反相的，所以反射波的表达式应为t Xy2人昭（2）入射波和反射波相遇，叠加成驻波，其表达式为y = yi y2=Acos2 二(TX) Acos2二(上X兀tTt=2Acos(2)cos(2).人 2T2X TT(3)波腹的位置：2n二,九 21人x =(n -H-,(n =0,1,2)2 2波节位置：2. n

14、 ,人 22kx =n ,(n=0,1,2)2求解驻波的波腹和波速一弦上驻波的表达式为 y =0.02cos16xcos750t,式中各量单位为SI单位。（1）组成此驻波的各行波的波腹和波速为多少?（2）节点间的距离为多大？（3） t =2.0 10：S时，位于x=0.05m处的质点的速度为多少?解：（1）与驻波的标准式比较2兀2兀y =2Acos xcos t入T得到各行波的波腹、波长和周期为0.022.2兀=0.01m,T162 二750所以波速u严伽/S7501（2）波节的位置满足关系式：16x =（n 丄）二2所以波节间的距离为ji=x0.2m.16（3）质点的振动速度为V 二叢=0.

15、02 cos16x( -750 sin750t) dt=T6cos16xsin 750t,将 x=0.05m, t =0.2 10"S 代入，得到V = -10.4m/S.求解驻波中入射波和反射波以及合成波的特点在一根线密度 亍=10kg/m和张力T =10N的弦线上，有一列沿 x轴正方向传播的 简谐横波，其频率为=50HZ，振幅A = 0.04m.已知弦线上离坐标原点 x 0.5m处的质A元在t=0时刻的位移为，且沿y轴方向运动。当波传播到 x2 =10m处的固定端时，被2全部反射。（1）试写出入射波和反射波的波动表达式；（2）求入射波和反射波叠加的合成波在0岂x乞10m区间内波腹

16、和波节处各点的坐标。解：（1）由题给数据，可得到波长为10050,丄兀在x 0.5m处质元振动的初相为1.3设原点处的初相为0，则二.x10.2二卷亠2二広九 32所以，入射波的波动表达式为xx 5 -y =Acos2(t )。 = 0.04cos100二(t ) mu1006因为在X2 =10m处反射有半波损失，所以，反射波在X2处的振动表达式为x 5y2 =0.04cos100 二(t )100 611兀= 0.04cos(100 二 t).6反射波的波动表达式为xx211 兀y =0.04cos100二(t-)u 6x-1011兀= 0.04cos100二(t)100 6x11= 0.0

17、4cos100二(t)m.100 6（2）因波节间的间距离为1m.，而x2 =10m处为波节，所以波节点的坐标为2 2x = 0,1,2,.10m.波节与波腹间的间距为0.5m,所以波节点的坐标为4x=0.5,1.59.5m.描写合成驻波两人各执长为丨的绳的两端,以相同的角频率和振幅在绳上激起波动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前'0,试以中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不必考虑反射，并设绳上的波速为u.解：设左端的振动表达式为Acos t ，则右端的振动表达式为y20 =Acos(，to).设右行波的波动表达式为y_j = ACOS，（t - X） ,u左行波的波动表达

18、式为y2 =AC0S（t -）2,u由题意，当x = -丄时，y10 = Acos t,即2Acos (t )1 = Acos t2u故1八L.2ux = 时，y20 二 Acos( t 0).即 Acos，(t 丄)2 =Acos(，t 0)2u故0 T2u于是两波的波动表达式为x coly1 = Acos (t -)-u 2ux时-y2 =Acos .(t )0u2u , X ："|-' . l合成波 y = % y2 = 2Acos(一°)cos( t -°).u 22u 2当 = 0时，x = 0处为波腹；当 冷二二时，x=0处为波节。求解驻波的有

19、关参量平面简谐波沿x轴正方向传播，在 t=0时，原点O处质元的振动是经过平衡位置向一 11 负方向运动。在距离原点0为x0二4图一。设入射波和反射波的振幅都为A，处有一波密介质的反射面，波被垂直界面反射,频率都为。试求：(1)入射波和反射波的波动表 达式；(2)合成波的波动表达式；(3)在原点到反射面间各个波 节和波腹点的坐标；(4)距反射面为一的Q点处质6兀的合振动的表达式。解：(1 )设入射波在原点 0的振动 表达式为比。二 Acos(2t °),由于在t=0时，原点处质元的位移yo7(dy)o心可得到n因而 yi0 = Acos(2t ).2入射波的波动表达式为x 兀yi 二

20、Acos2二(讥).九 2反射波在O点的振动是入射波传到反射面在传到O点的，所以反射波在 O点的振动相位比入射波落后2 (2xo).二-12二,左式中后一项二是考虑到波在波密媒质面上反射发生相位突变而加上反射波的波动表达式为x23xnyr 二 Acos2二（、.t） =Acos2二（t ）.九2&2（2）合成波（驻波）的波动表达式为2rx兀讨二 y yr = 2 A cos cos（2 = t ）.（3）波腹点坐标满足的条件为2 二xn二，n= 0,1,2%23 2波节点坐标满足的条件为即 x 二（2n1）, x =4411 42 二x5忖“2由上可知，原点 O为波腹，反射点为波节。（

21、4）Q点的坐标为1U 九 31 ,Xq =4 612因而，Q点处质元的合振动的表达式为31扎12兀yQ =2Acos2二 12 cos（2二 tH2ACOS31 二 cos（2二 t ） =、j3Asin2t.6 2求解潜艇的速度一固定的超声探测仪，在海水中发出一束频率匸-18000H z的超声波，被一向着探测仪驶来的潜艇反射回来。探测仪测得反射波和入射波的频率相差为220 HZ.求：该潜艇的速度。已知超声波在海水中的波速为1500m/S.解：声源不动，潜艇向着声源运动，潜艇接收到的频率（潜艇相当于观察者） U Vr-'0，U潜艇反射超声波，此时潜艇相当于声源，发射频率为的超声波，声源

22、在运动，而接收器不动，故探测仪接收到的频率为U（亠。.u -Vru-Vr根据题意，得到u +vr2Vru Vr0.八=（讥：u -Vr代入数据，得到V=9.1m/S.求解波源的频率(1)一波源振动频率为 2040 H Z，以速度Vs向波源接近，如图一，观测者在A点所得的拍频为® =3HZ，设声速为340m/S,求波源移动的速度 VS.(2) 如果(1)中的波源没有运动，而以一反射面代替墙壁， 以速度Vr = 20cm / S向观测者A接近，所得到的拍频为=4HZ，求解波源的频率。解：(1)观测者从波源直接听到的声波频 率为观测者 玻源由墙壁反射的声波频率图一'2=1 U ）、

23、0u -Vs观察者测得的拍频为以上两者之差，即v 二 r -十 2>u S;u us化简，可得八 v2u、VS： ：u2 二 0,解方程，得到U®Vs 0（t0）2F因为 ：0,所以 Vs 二 灶口 1-)2 .-!=-0.25m/S.:八、2-. 020(2)观测者从波源直接听到的声波频率为1 二 0 .反射面接收到的声波频率(反射面相当于观察者，向着声源运动)- Vr0-u由于反射面在运动，此时反射面相当于声源，故观测者所测得的反射面反射的声波频 率为'2 =(亠八(u VrU VrU詔2Vru -Vr得到0 =匚1= 3398Hz2Vr运用多普勒效应求解飞机的飞行

24、高度飞机在上空以速度 V =200m/S作水平飞行，发出频率 讥二2000Hz的声波。静止在地面上的观察者测定飞机发出的声波的频率。当飞机越过观察者上空时，观察者在4S内测 出的频率从 M =2400HZ降为、2 =1600HZ。已知声波在空气中的速度 u =330m/S 。试求：图飞机的飞行高度h.解：设飞机在4S内从A点水平飞行 到B点，飞行高度为h，M为观察者，如 图一所示。声源在 AM 方向的分速度Vam =VcOS，声波在BM方向的分速度 VBM 二 V cos ：。由多普勒效应的公式u - VAM'- 0 0, u v cosot解，得到cos：= 0.275.解，得到co

25、sC"由几何关系，得到AB 二 Vt 二 h（ctg 一八 ctg 1）,可以得到，h二VtVtctg二，ctg：cos：1.31 103m cos21 cos :-1 cos2 :求解观察者听到的声音的频率一声源的频率为、 0 ,若声源与观察者分别以 Vs和Vr在声音的传播方向上作同方向的运动，则观察者听到声音的频率为多少？若空气在流动，风速为VW，且风速方向与VS和Vr 的方向也相同，试问：此时观察者听到声音的频率为多少？解：(1)声源相对媒质与声波同向运动时，声音的波长变短。设T为声源的发声周期,此时声波波长护=uT -VST.观察者相对媒质与声波同向运动，声波相对观察者的传播速度U = U -Vr因此，观察者在单位时间内接收到的波的个数，即听到的声音的频率为U U -Vr-以 _u_VsPvu，媒(2)当空气在流动，即媒质也沿波的传播方向运动，波相对媒质的传播速度为质相对地面的速度为 Vw。因此，波相对地面的传播速度为u，Vw。考虑到声源也作同向运动，此时声音的波长为=(u Vw)T VsT.声源相对观察者的传播速度为U =(U Vw) -Vr.此时，观察者在单位时间内接收到波的个数，即听到声音的频率为u u Vw -Vr2 0 .U Vw Vr求解观测频率的极值如图一，音叉 P沿着半径r =8m的圆以角速度 =4rad