参数估计与假设检验练习题精

1、第5章 参数估计与假设检验练习题1设随机变量X的数学期望为，方差为:孑,（Xi , X2，Xn ）为X的一个样本,nn试比较E' (Xj-)2)与E(丄' (Xi -X)2)的大小。 n i 4n i 丄（前者大于后者 ）2、设随机变量 X与丫相互独立，已知EX = 3, EY = 4, DX = DY =,，试问：k取何值时,Z = k ( X 2 - 丫 2 ) + 丫 2是c2的无偏估计(16 / 7)3、设正态总体 X N （，/ ），参数，孑均未知，（Xi , X2，,Xn ） （ n 2 ）n为简单随机样本，试确定 C,使得:?2 =C7 （Xjq-Xi）2为C2的

2、无偏估计。i A12(n -1)4、假设总体X的数学期望为L ,方差为二2 , （Xi,X2,Xn）为来自总体X的一个样本,X、S2分别为样本均值和样本方差，试确定常数c ,使得 X2 -CS2为J 2的无偏估计量.（1 / n ）5、设Xi , X2是取自总体N （，匚2 ）（未知）的一个样本，试说明下列三个统计量131111?1 J Xi * 3 X2 , ?2 J X1 1 X2 , % 二"X1X2 中哪个最有效。4422326、设某总体X的密度函数为:f(x,r) -3I 0其它,(Xi , X2，Xn )为该总体的样本,个更有效？Yn = max （ Xi , X2 ,，

3、Xn ），试比较未知参数-的估计量-X与也斗哪33n（n > 1时，詈Yn更有效）7、从某正态总体取出容量为1010的样本，计算出7 Xi= 150102，' Xi = 2720i=1。求总体期望与方差的矩估计 ?和：?2(15 ; 47)8设总体X具有密度f（X；：）x C ，其中参数0 < - < 1，C为已知常数,x乞C且C > 0,从中抽得一样本X1 ，X2，Xn，求参数二的矩估计量1 - CX，其中XXin i 19、设总体X服从0，二）上的均匀分布，其中 二> 0是未知参数,X1 ， X2 ，Xn ）为简单随机样本，求出二的矩估计量 ?，并判断

4、 ?是否为二的无偏估计量1 n(2 X，其中 X = v Xi ;是)n日10、设（X1 ，X2，Xn ）为总体X的一组样本，总体X密度函数为：1f(x七0x : A 0 : x ：1|其它其中二 1且未知。试求该总体未知参数 二的极大似然估计量。 ?M L E= * 1 'Tn Xjn i 二11、设总体X的概率密度为f（x3）r9（1 一x）2X，1），其中臼 0是未知参数,0,XF（O,1）(X1 ,X2，,X n ）是取自总体X的一个样本，试求：总体期望 EX的最大似然估计量值和最大似然估计量n' I n1(-Xi)i生n' I n 1(- xi) - ni 土

5、n'In (1 - Xi)y12、设样本 Xi,Xn为取自分布密度为f （x）的总体，其中f(x)二'?Mx)r0x _0x : 0（r已知），二 0,求参数二的极大似然估计。r _ 1 nL E二二，其中 x = ' Xixn i mr_1 n；?M LE，其中 XXiXn i m13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为3, 4, 3, 0, 2, 5, 1, 0,7, 2, 0, 3。若死亡人数X服从参数为的Poisson分布，求：（1） 的极大似然估计值；（2）利用（1）的结果(1)?MLE =2.5 ;(2) 0.4562)14、设（X1 ,X2，Xn ）为总

6、体X的一组样本，总体X密度函数为：f（x巴）=-e_?2的极大似然估计量；（2）检验其无偏性。（参数CT未知，且ff > 0 ） , （ 1）试求未知参数(1)（2）无偏估计量 ）15、设总体X密度函数为:f (x;9)= x2上e审二2°0x 0其它（参数二> 0且未知），取样本（Xi , X2，Xn ），求总体未知参数、:的最大似然估计量和矩估计量总Mie = X 2 ，其中 X = 1 瓦 Xi、兀n y（呂 x"，0 v x v 116、设总体X具有密度函数f（x® =八x 0二I （其中今为未知参数，且0其匕令> 0 ），取自总体X的一

7、组样本（X1，X2，Xn ），求今的矩估计量和极大似然估计量。nn送 lnXij，其中 X = G Xi订X /n i斗x 0x _0（未知参数 > 0 ），且EX = I。取样本（X1，1 n?me 二 X，其中 XXin im，无偏;Mle =2X21 n，其中 X = ' Xi，n im/ xe17、设随机变量X f（x）=0X2，Xn ），求总体期望J的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。E?mle -2EXJ，有偏 )n丸18、作n次独立重复试验，观察到事件 A发生了 m次，试证明P （ A ） = p的矩估计和极大似然估计均为m / no19、方差匚2已知，置信

8、度为1 - :，为使正态总体均值 的置信区间长度不大于 L，样 本容量至少为多少？不小于4CT22-U ：./2的最小正整数20、设总体X N （,102 ）（未知），若要使的置信度为0.95的双侧置信区间的长度 为4，求样本容量n最小应为多少？(97)21、由总体X N （，/ ）（仝 未知）取得一个样本 Xi，X2，X9，计算出一x = 10,1 9 2丄（Xi -10）2，试求的双侧置信区间（:=0.05 ）。9 i±（8.847,11.153 ）22、从一批钉子中随机抽取16枚，测得平均长度为 2.125 cm，样本标准差为0.01713 cm， 假设钉子的长度X服从方差为0

9、.012的正态分布，求总体X的均值的置信度为90%的置信区 间（计算结果保留小数点后三位有效数字）。（2.121 , 2.129 ）23、从一大批电子元件中随机抽取100只，测得元件的平均寿命为 1000小时，如果电子元件的寿命服从正态分布，且均方差二=40小时，求:=0.05时，电子元件平均寿命的置信区间。(992.16,1007.84 )24、设总体X容量为4的样本为0.5, 1.25, 0.8, 2.0,已知Y = lnX服从正态分布 N (,1 ),(1)求总体X的数学期望；(2)求J的置信度为95%的置信区间。(1)；(2)( - 0.98,0.98)25、假设钢珠的直径服从正态分布

10、，现从钢珠的生产线中抽取容量为9的样本(单位：mm),测的直径的平均值X = 31.05，s2 = 0.252，试求：总体 和，的双侧置信区间(:=0.05；t 0. 025 ( 8 ) = 2.306，t 0. 05 ( 9 ) = 1.8333,尤爲5(9) = 3.325, X爲5(9) = 16.919，7-0.025(8) = 17.535,0.975(8) =2.18 )。(30.858,31.242 );( 0.0285,0.2294 )26、设总体X N (，子),参数 , c2均未知,(X1,X2，Xn )为简单随机样本,1 n-X)2 ,若假设 H0 :=0, H1 :11

11、次0。试写出假设检验时使用的统XXi , W2 二' (Xin i a计量的表达式-X)2)1 n o" T W/. n(n 一1),其中 XXi , W?八(Xin i mi =127、 设某批产品的某项质量指标服从正态分布，并且方差根为150 ,从该批产品中抽取容量为25的一组样本，并测得该项指标的平均值为1645 (单位)，问是否可以认为这批产品得该项指标值为 1600 (单位)？ (: = 0.05 ; t :. / 2 ( 24 ) = 2.064 ,：0 ( 1.96 ) = 0.975 , t ： ( 25 ) = 1.708 )(U -检验法，双侧，接受H。，

12、可以)28、 某灯泡厂所生产的灯泡的使用寿命'N ( J ,匚2 ),如果生产正常时,J = 2000 (小时)， 现在抽检25个灯泡后，得"x = 1832 , s = 498,试问生产是否正常(:=0.05 )?（t -检验法，双侧，接受Ho，正常）29、 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定当标准重量为 250克，标准差不超过3克时，机 器工作正常。每天定时检查机器情况。 现抽取16罐，测的平均重量为252克，样本标准差为4克， 假定罐头重量服从正态分布，试问该机工作是否正常（:=0.05）？（不正常 ）30、 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 25位考

13、生的成绩，算得平均成绩 为81.5分，标准差为15分。试问：在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成 绩为85分？并写出检验过程。（t -检验法，双侧，接受 H。，可以）31、 设某校高中二年级的数学考试成绩服从正态分布，第一学期全年级数学考试平均分为80 分，第二学期进行了教改，随机抽取25名学生的数学成绩，算得平均分为 85分，标准差为10分。 问：教改是否有效果（:-=0.05） ？（t -检验法，右侧，否定H。，接受H1，有效果）32、某工厂生产一种金属线，抗拉强度的测量值X N （，子），且知丿=105.6 kg / mm2，现经过改进生产了一批新的金属线，从中随机

14、地取10根作实验，测出抗拉强度值，并计算得均值x = 106.3 kg / mm2，标准差s = 0.8 kg / mm2，问这批新线的抗拉强度是否比原来金属线的抗拉 强度高（:=0.05）？（t -检验法，右侧，否定H。，接受H1，是 ）33、某工厂采用一种新的方法处理废水。对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度X （ N（J ,3），测量10个水样，得到以下数据：_x = 17.10，s2 = 2.902。而以往用老方法处理废水 后，该种有毒物质的平均浓度为19。问新方法是否比老方法好（:=0.05，计算结果保留小数点 后一位有效数字即可）？(t -检验法，左侧，否定Ho ,接受Hi，是 )34、某厂生产的电子元件寿命服从方差为co2 =10 000 (小时2 )的正态分布。现采用一种能提高元件效率的新工艺进行生产，并从生产线随机抽取26只元件测出其寿命的样本方差为s2 = 12 000 (小时2 )，试根据显著性水平:-=0.05，作如下显著性检验 H。：二2 = C02 ，Hi : <r2HB2。(附：瞪025 (25) =40.646，