第2节 一元线性回归效果的显著性检验

1、1第二节第二节2 上述方法得到的模型是否具有实际意义（事上述方法得到的模型是否具有实际意义（事实上任何一组数据代入都可以得到经验公式），实上任何一组数据代入都可以得到经验公式），需要建立一个合理的检验方法需要建立一个合理的检验方法. . 常用的方法有常用的方法有 F 检验检验, ,t 检验检验, ,R 检验方法检验方法. .不不难证明，三种方法是一致的难证明，三种方法是一致的. .本节主要介绍本节主要介绍 F 检验检验. .3一、平方和分解公式一、平方和分解公式 ：可以分解成如下两部分可以分解成如下两部分观察值观察值iy)(iiiiyyyy )()( iiiiyyyyyy 则则oyXYiyix

2、xbay yyi iiyy yyi 4 , xbay 即即,xbya 由于由于)()(iiiiyyyyyy 因此有因此有)(1iniiixbayyxba niiiiyyyy1)()(1iniiixbxbyyxbaxba niiiixxbyyxxb1)()( niniiiixxbyyxxb112)()(0 xxxylblb 50)(1 niiiiyyyy所以所以 niiiiyyyy12)()( niiyyyyl12)( niiiiniiiniiyyyyyyyy11212)(2)()( ,)()(1212 niiiniiyyyy.QUlyy ,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ记记则

3、则6,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ niixban1)(1 ,y ., )(2112的分散程度的分散程度就是就是故故nniiyyyyy ，个个数数的的平平均均数数这这是是即即nyyyyn,21的的，因因此此，是是回回归归直直线线上上的的纵纵坐坐标标又又 , 21niyyyy ,21的分散性的分散性分散性来源于分散性来源于nxxx niiyn11 niixnba11由于由于,xbya 的相关关系引起的，的相关关系引起的，因此因此 U 称为称为回归平方和回归平方和. .它是通过它是通过 x 对对 Yoyiyixxbay yyi iiyy yyi XY7 niiniiniiyyy

4、yyy121212) ()()( Q 表示除去表示除去x 对对 Y 的线性影响以的线性影响以外的所有其他影响之和，因此外的所有其他影响之和，因此 Q 称为称为残差平方和残差平方和或或剩余平方和剩余平方和. .oyiyixxbay yyi iiyy yyi XY.QUlyy 从图上看有从图上看有)() (yyyyyy 两端平方后求和有两端平方后求和有总平方和总平方和（SST）回归平方和回归平方和（SSR）残差平方和残差平方和（SSE）,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ niiniiniiyyyyyy121212) ()()(总平方和总平方和（SST）回归平方和回归平方和（SSR）

5、残差平方和残差平方和（SSE）yyl即即1 1. . 总平方和总平方和(SST)反映因变量的反映因变量的n个观察值与其均值的总离差个观察值与其均值的总离差2 2. . 回归平方和回归平方和(SSR) 即即 U 反映自变量反映自变量 x 的变化对因变量的变化对因变量 y 取值变化取值变化的影响，或者说，是由于的影响，或者说，是由于x与与y之间的线性关系引之间的线性关系引起的起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和的取值变化，也称为可解释的平方和3 3. . 残差平方和残差平方和(SSE) 即即 Q 反映除反映除x以外的其他因素对以外的其他因素对y取值的影响，取值的影响，也称为不可解释的平方和或

6、剩余平方和也称为不可解释的平方和或剩余平方和8 完完全全线线性性相相关关；与与，）（ ,01xYlUQyy . , 02无无关关的的离离差差与与不不相相关关，与与，）（xyxYlQUiyy 的的线线性性对对越越小小，则则越越大大，一一定定时时，当当 YxQUlyy影响越大，反之，则越小影响越大，反之，则越小. . 特别地，特别地， niiniiniiyyyyyy121212) ()()(总平方和总平方和（SST）回归平方和回归平方和（SSR）残差平方和残差平方和（SSE）910 niixbaxba12)(xxlb2 Ulyy niiyyU12)( niixxb122)(,xylb niiiyy

7、Q12)(.xyyyl bl 关于关于 U 和和 Q 的计算公式：的计算公式：11二、二、F 检验检验)2/( nQUF 比值比值U/ /Q反映了反映了 x 与与 Y 之间的线性相关关系与随之间的线性相关关系与随机因素对机因素对Y 的影响的大小，比值越大，说明线性相关的影响的大小，比值越大，说明线性相关关系越强，但大到什么程度就能说明关系越强，但大到什么程度就能说明x 与与 Y 有线性相有线性相关关系呢？关关系呢？用假设检验的方法进行检验，通常选用用假设检验的方法进行检验，通常选用作为检验量作为检验量. .12,)2(,) (,)(2 nQEaaEbbE , ,2, 2的的无无偏偏估估计计量量

8、分分别别是是即即 banQba 可以证明，可以证明，.2 2 nQS记记13,0 aYb，则，则如如亦即亦即x、Y 之间不存在线性相关关系；之间不存在线性相关关系；说明说明x 对对 Y 没有线性影响，没有线性影响，反之，若反之，若 ，x、Y 之间存在线性相关关系之间存在线性相关关系. .0 b因此提出假设因此提出假设.0:0 bH )2, 1( )2( nFnQUF可以证明，若可以证明，若H0 0成立，则统计量成立，则统计量因此可用因此可用 F 检验法进行检验检验法进行检验. .14;0:10 bH）提出假设）提出假设（ )2, 1()2(20，成立时，统计量成立时，统计量）在）在（ nFnQ

9、UFH ；分分布布分分位位数数表表得得临临界界值值，查查由由给给定定的的显显著著水水平平 F , 3的的值值；）计计算算（FQU,40HFF，则则否否定定的的值值，若若与与）比比较较（ F 检验的具体步骤：检验的具体步骤：即认为即认为x、Y 之间存在线性相关关系；之间存在线性相关关系；若不能否定若不能否定H0 0，则没有理由认为，则没有理由认为x、Y之间存在线性之间存在线性相关关系相关关系. .xO )(xf 115例例3 3 价格与供给量的观察数据见下表：价格与供给量的观察数据见下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (吨吨) 15 20 25 30 35 45

10、60 80 80 110解解已求得回归方程：已求得回归方程：, 4286. 64288. 1xy ;0:)1(0 bH，成成立立时时，在在)8 , 1( (2)0FFH 32. 5 ,05. 0；分分布布表表，得得临临界界值值查查对对 F试检验回归效果试检验回归效果. .)05. 0( 16,1350 xyl,61.8678 ,39.22161.86788900 ,6 .313 ，故否定故否定 0Hxyl bU 13504286. 6 UlQyy )2/( nQUF39.22161.86788 , 32. 56 .313 (4) F, 4286. 64288. 1xy ,8900)( (3)

11、1012 iiyyyyl32. 5 即回归效果显著即回归效果显著. .17例例4 4 求下表中营业税税收总额求下表中营业税税收总额 Y 对社会商品零售对社会商品零售总额总额 x 的线性回归方程，并对回归效果作显著性检的线性回归方程，并对回归效果作显著性检验验.(.(单位：亿元，显著性水平单位：亿元，显著性水平 序号序号社会商品零售额社会商品零售额 x税收总额税收总额 Y1142.083.932177.315.96 3204.687.854242.889.825316.2412.516341.9915.557332.6915.798389.2916.399453.4118.45)05. 0 18

12、解解 912,49.85843)(91iixxxxl,80.1191,95.28891, 99191 iiiiyyxxn ,67.4178)(9191 iiixyyyxxl ,33.211)(91912 iiyyyyl.0487. 02675. 2xy ,2675. 2 xbya,0487. 0 xxxyllb所以回归方程为所以回归方程为19;0:)1(0 bH，成成立立时时，在在)7 , 1( (2)0FFH 59. 5 ,05. 0；分布表，得临界值分布表，得临界值查查对对 F93.181 , 33.211 yyl,0487. 02675. 2xy 再检验回归效果：再检验回归效果：, 67

13、.4178 xyl,50.203 xyl bU,83. 7 UlQyy)2/( nQUF,59. 5 ，故否定故否定 0H即回归效果显著即回归效果显著. .20三、相关系数三、相关系数yyxxxyniiniiniiilllyyxxyyxxR 12121)()()(定义定义称统计量称统计量为为相关系数相关系数. .在进行回归效果检验时，也可采用上述统计量在进行回归效果检验时，也可采用上述统计量. .21应应较较小小，应应较较小小，从从而而为为真真，从从直直观观上上看看，如如| | 0RbH |0，较大时，就应拒绝较大时，就应拒绝当当HR,|cR yyxxxyniiniiniiilllyyxxyy

14、xxR 12121)()()(,yyxxyyxxxyllblllR 故拒绝域可取为故拒绝域可取为.| cRP给定时，给定时，即在即在22相关系数检验的具体步骤：相关系数检验的具体步骤：;0:10 bH）提提出出假假设设（;, (2)的的值值计计算算构构造造统统计计量量RllbRyyxx . )2(00HHnRR，否否则则接接受受，则则应应拒拒绝绝如如 ;)2( )3( nRR 表表，得得临临界界值值查查23例例5 5 对例对例4 4中的回归方程作中的回归方程作 R 检验检验. .)05. 0( ;0:10 bH）提出假设）提出假设（; (2)yyxxllbR 构构造造统统计计量量解解,664. 0)7( 05. 03 RR表表，得得，查查）对对（, 98. 0 R经计算得经计算得,0.664 98. 0 R因因为为，故否定故否定 0H即回归效果显著即回归效果显著. .24.1)2(22RRnF xxxyll2 , )1(2Rlyy .1)2(22RRn xyl bU ,2Rlyy UlQyy QUnF)2( 于于是是事实上，上述两种检验方法是一致的事实上，上述两种检验方法是一致的. .这是