小学奥数公因数和公倍数

1、第三讲：公因数和公倍数且隹知识点拨一、公约数的概念与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0被排除在约数与倍数之外。例如：12的约数有：1,2,3,4,6,1218 的约数有：1,2,3,6,9,1812和18的公约数有：1,2,3,6 ,其中6是12和18的最大公约数，记作（12 , 18） =61.求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.例如：231 3 7 11, 252 22 32 7 ,所以（231,252） 3 7 21 ；218 12短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：31_6 ，所以

2、（12,18） 2 3 6；3 2辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公 约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得 第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数， 得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.（如果最后白除数是1,那么原来的两个数是互质的）.例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515 600 2L 315; 600 315 1L 285; 315 285 1L 30 ; 285 30 9L 1

3、5; 30 15 2L 0 ;所以1515和600的最大公约数是15.2.最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数n,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n .二、公倍数的概念与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12,24,36,48,60,72,8418 的倍数有：18,36,54,72,9012和18的公倍数有：36,72，其中36是12和18的最小公倍数，记作12 ,18=361.求最小公倍数的方法分

4、解质因数的方法；例如：231 3 7 11, 252 22 32 7 ,所以 231,252 22 32 7 11 2772;短除法求最小公倍数；218 12例如：39 6 ,所以 18,12 2 3 3 2 36;3 2a,ba b(a,b)2.最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积.两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数， 最小公倍数是较大的数.三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 .两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果m为A、B的最大公约数，且A ma, B mb,那么a、b互质，所以A、B的

5、最小公倍数为mab,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：A B ma mb m mab ,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是A、B、A B、A B及最小公倍数的约数.2 .两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即（a,b） a,b a b,此性质比较简单，学生比较容易掌握。3 .对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：5 6 7 210, 210就是567的最小公倍数b）偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：6 7 8 336,而6,7,8的最小公

6、倍数为336 2 168性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。目W蚱 例题精讲【例1】两根电线分别长24m和16m,现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余，剪成的 小段最长可以是多少米？【巩固】求12和18的最大公因数。【例2】找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？ 4和20 6和36 7和8 6和19【巩固】说出下面各组数的最大公因数。4 和 1615 和 22【例3】用一个数去除30、60、75,都能整除，这个数最大是多少？【巩固】一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？【例4】有

7、三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小 段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？ 一共可以截成多少段？【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10个，第三道工序每个工人每小时可完成 5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为240cm, 200cm, 480cm,如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？例5 一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成一块正方形，而且正 方形边长为整厘米数，有

8、几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【巩固】把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁几块？【例6】用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没 有剩余，这些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法）【巩固】用辗转相除法判断1547和3135是否互质。【例7】用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。【巩固】求1008、126R 882和1134四个数的最大公约数是多少？【例8】求21672和11352的最小公倍数。【例9】已知两个自然数的最大公约数为 4,最小公倍数为120,求这两个数.【巩固】两个

9、数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？【巩固】已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？【例10】 两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少？【巩固】已知两数的最小公倍数是210,它们的积是1260,它们的和是72,求这两个数的差？【例11】 两个自然数的和是125,它们的最大公约数是25,试求这两个数.【例12】甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他们三人正好在图书馆相会。问至少再过多少天他 们三人又会在图书馆相会？【巩固】1路、2路和5路都从东站发车，1

10、路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发 一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有 这三种路线的车同时发车？【巩固】甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，内跑一圈用100秒，问：再过多长时间三人第二次从同时从起点出发？【例13一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形。这所学校至少有多少人？【巩固】有一批乒乓球，总数在1000个以内，4个装一袋，5个装一袋或6个、7个、8个装 一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？【例14】学校六年级有若干同学排队做操，如果 3人一行

11、余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少有多少人？【巩固】一袋糖，平均分给15个小朋友或20各小朋友后，最后都余下5块。这袋糖至少有 多少块？【巩固】一个数能被3、5、7整除，但是被11除余1,这个数最少是多少？【例15】一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150-200颗之间，问共有多少颗？【巩固】五一班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人，请你算一算，五一班有多少位同学？【巩固】有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。这批水果至少有多 少个？【例16】从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50,米，现在要改成每两根之间相距 60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根 不必移动？【巩固】插一排红旗共2