第十九章含参量积分

1、教岁今行数嚓第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含 参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性 的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：10学时§ 1含参量正常积分一.含参积分：以实例初方和冷声引入.定义含参积分八"劝和 g）="冗板.含参积分提供了表达函数的乂一手段.我们称由含参积分表达的函数为 含参积分.1 .含参积分的连续性：Thl9. 5 若函数 八兀出在矩形域上连续，则函数砂在以1上连续（证）P172T

2、hl9. 8若函数 以羽出在矩形域门=心刈刈c,d上连续，函数为（力 和 当口）在即打上连续，则函数。（乃=二：/5,切功在即列上连续. （证）P1732 .含参积分的可微性及其应用：教学合析数案-12-Th 19. 10若函数/（右力及其偏导数 人都在矩形域2 =心加义",刈上 连续，则函数了=（/（X,7）处在a力上可导，且八元/）0 = /九（上力/（即积分和求导次序可换）.（证）P174Th 19.11设函数/（兀7）及其偏导数 人都在矩形域。=巴刈刈瓢口上 连续，函数外（力和打（刈定义在即列，值域在cl上，且可微，则含 参积分出力=人天）功在以力上可微，且办MG（力元川十川

3、环川一九口抽.（证）P"4例1计算积分I =产0 7金.P176.J） 1 + X2例2设函数/（x）在点方=。的某邻域内连续.验证当|x|充分小时，函数的H-1阶导数存在,且 评）=%）.P177.§ 2 含参反常积分一.含参无穷积分：1 .含参无穷积分：函数1®川定义在即Bx? + 8）上（以力 可以是无穷区间）.以 了（乃=（几7）次为例介绍含参无穷积 分表示的函数ZW.2 .含参无穷积分的一致收敛性：逐点收敛（或称点态收敛）的定义：步,¥>0, 3M>c, 使工：了（见川的卜£.引出一致收敛问题.定义（一致收敛性）设函数/&

4、quot;J）定义在。田乂 "/CO）上.若对 V£>0,3>c,使/冲£对 ,成立，则称含参无穷积 分了（兀）功在a（关于X）一致收敛.Th 19. 5 （ GucAp收敛准则）积分我在口步上一致 收敛，OV£>0, 3M>0yA1,A2>Mr O /八尤力打 £对 以e以力成立.例1证明含参量非正常积分j手。在5, +8）上一致收敛，其中50.但在区间（0,+ 8）内非一致收敛.P1803 .含参无穷积分与函数项级数的关系：最厚今折放嗓Th 19. 6 积分了=/配加功在口上一致收敛，O 对任一数列 4）（4=

5、0，4/ +8,函数项级数，广加,叱当如在 W刈上 一致收敛. （证略）二.含参无穷积分一致收敛判别法：1. %£"S5&SS M判别法：设有函数gj）,使在a/xj + co）上有I /（3）口（>）若积分0）功<+8，则积分广了（兀回/在 4 一致收敛.例2 证明含参无穷积分在-03 <y <+8内一致收敛. P1822. Dirichlet判别法和Abel判别法：P182三.含参无穷积分的解析性质：含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质.1. 连续性：积分号下取极限定理.Th 19.7设函数 八九#在a/x j + s）

6、上连续.若积分 /（6=，（兀切在口力上一致收敛，则函数 以月在上连续.（化 为级数进行证明或直接证明）推论在Th. 7的条件下，对以HL1,有士 9士 9才9 f1Hm f /（3所如（元力忸2. 可微性：积分号下求导定理.-12-教岁今行数嚓Th 19.8 设函数/和/在即切乂"，+ 8)上连续.若积分了(乃=八几刃我在力上收敛,积分人(")功在以力一致收敛.则函数*方在即刈上可微，且 =”)我.3. 可积性：积分换序定理.Th 19.9 设函数/(3y)在。油乂"，+ 8)上连续.若积分/(6=方在口力上一致收敛，则函数 以月在上可积，且 有（曲fx,y）d

7、y =如f/（xj）的.例3计算积分P_吃 sin hi - sin ax , 外dx,（尹 ）0, b>a） P186四.含参瑕积分简介:§ 3曲_Zer积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数，即(s)和它 们统称为反积分.在积分计算等方面，它们是很有用的两个特殊函数.一. Gaarna函数($)£uIftr第二型积分：1. Ga她&函数：考虑无穷限含参积分产1尸dx ,(s0)当0<sl时，点穴=0还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为 j +0来讨论其敛散性.，:s21时为正常积分.0<s<1时，/，一丫 >0.利用非负函数

8、积的 0。灯判别法，注意到lim产s(/1 -s < 15 => 0<s<l时积分f 收敛.(易见s = o时，仍用a“c加判别法判得积分发散).因此so时积分 ，收敛.广 ：1=/1尸1 0,(N+CO)对MS U斤成立，.因此积分 对WseR收敛.综上，s>0时积分/夫小收敛.称该积分为小】打第二型积分.%1时第二型积分定义了 se(U, + co)内的一个函数，称该函数为Gs 函数， 记为，即(s)=/1尸版,(s>0).一函数是一个很有用的特殊函数.2. -函数的连续性和可导性：G)在区间(。，+ 8)内非一致收敛.这是因为s = o时积分发散.这里

9、利 用了下面的结果：若含参广义积分在ye 内收敛，但在点沙=«发散， 则积分在内非一致收敛.教学合析数案但厂区）在区间（0,+8）内闭一致收敛.即在任何应句u（0”co）上, 抬）一致收敛.因为0<口<8时，对积分f ,有 产】尸4产展"而积分 j/7 r以收敛.对积分 广,/3«产上，而积分丁产】k办收敛.由J一判法，它 们都一致收敛，今积分/联加了在区间凡句上一致收敛.作类似地讨论，可得积分.（7-%-*）；公也在区间（。，+8）内闭一致收 敛.于是可得如下结论：的连续性:在区间（0,+8）内连续.G）的可导性：G）在区间（。，+ 8）内可导，且&

10、#39;（s） = J （xff ）dx = J X5-10-yLn.同理可得：（s）在区间（0,+ 8）内任意阶可导，且（s） = J办.3. 凸性与极值：P（s）=0 /（In刈2dx >0,今 在区间（。，+ 8）内严格下凸.=e2）=1 （参下段）,=> 厂区）在区间（。，+ 8）内唯一的极限小 值点（亦为最小值点）介于1与2之间.4. （$）的递推公式一函数表：的递推公式：3 +1) = S，(S0).证 (s +1)=0xdx =Wdx =-x'-，X"尸dx = sj x$%_xdx = s(s).=产欧=尸必=1.于是，利用递推公式得:(2) =(

11、1 +1) = 1(1) = 1 ,(3) =(2 + 1) =2(2) = 27 = 21,(4) =(3 + 1) =3=321=31 ,一般地71,(加 + 1)=为(力)=n(n - l)r(« T)=典 I.可见，在Z+上，G)正是正整数阶乘的表达式.倘定义sl=(s + l), 易见对s7,该定义是有意义的.因此，可视(s + 1)为(7,+ 8)内实数 的阶乘.这样一来，我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了(-1,+ 8)内的所 有实数上，于是，自然就有01 =(。+1)=(1)=1,可见在初等数学中规定 0!=1是很合理的.一函数表：很多繁杂的积分计算问题可化为-函数来

12、处理.人们仿三 角函数表、对数表等函数表，制订了-函数表供查.111-函数的递推公式 可见，有了-函数在0<s<1内的值，即可对YsO,求得的值. 通常把l.U04s4 2.00内一函数的某些近似值制成表，称这样的表为一函 数表 也有在0s41.00内编制的一函数表.)12教学合析数案教律今折放嗓5. -函数的延拓：s>o时，（$ + 1）= s（s）, => r（ff）= 该式右端在-i<s<o时也 3有意义.用其作为-l<ff<OW（S）的定义,即把G）延拓到了（T,O）u（O, + g）内.-2（s<T时，依式小）=至士工，利用延拓后

13、的S，乂可把心）延拓到（一2,-1）（一1,0）（0”8）内.依此，可把6）延拓到（-8,+8）内除去兀=-冏（/= 0,12）的所有点.经过如此延拓后的（$）的图象如P192图表19一2.例 1 求0.85）, H0.85）, H-2.15）.（查表得r（1.85） = 0.94561.）解 f（4.85） = 3.85f（3.85） = 3.85x2.85r（2.85） =3.85x2.85 xl.85r（1.85）= 3.85x2.85x1.85x0.94561 = 19.19506.r（1.85） = 0.85r（0.85）, =>H0.85） = 1.11248 .0.850.

14、851 .（一0.15）=17（0.85）-2.15 -1.15 -2.15x1.15 -0.150.945612.15x1.15x0.15=-2.549676. r-函数的其他形式和一个特殊值：某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为一函数.倘能如此，可 查-函数表求得该积分的值.常见变形有:i > 令工=加（0）, 有 （$）=（ /4-"小= p'J； 2'-!中山,因此，J if-/公=,（7）> 0, s > 0）.ii> 令 x =/2,=>（s） = 2Z禽-1"威.注意到P7的结果-”加=弓，得（s）的一个特殊值

15、5-1/】出.取A=l,（；） = 2 r7% = 2告=后%1.772454.iii> 令矛= 21n£ （4>。），得 心）=农h-G）= j卜;dt=卜山2严力.例2 计算积分丁三7立， 其中«eZ+.解I上M脸"" +品；,宁吗尸亨而二.胡3函数8（应）Euler第>一型积分：1. %3函数及其连续性：称（含有两个参数的）含参积分行仪以（声>0, q>0）为Eider 第一型积分.当尹和q中至少有一个小于1时，该积分为瑕积分.下证对 p0”0,该积分收敛.由于 乙01时点芯=0和x = l均为瑕点.故把 积分j分成和

16、'考虑教学今折数嗓/ : 21时为正常积分；时； 点尢=。为瑕点.由被积函数 非负，产/尹一】（1一1尸一】7 1,（/70+）和1一户<1,21（由Cue加判法）今积分C收敛.（易见#=0时积分/发散）.I« 21时为正常积分；0 cpe1时，点万=1为瑕点.由被积函数非负,（1-力1（1-幻上】#-111,6 - 1一）和1-<?<1,（由Que加判法）今积分收敛.（易见m=0时积分发散）.综上，/> >0, <? >0时积分，收敛.设D=闯）|0 < P < +8 , 0 < < +8,于是，积分j定义了

17、 内的一个二元函数.称该函数为物"函数，记为 B3,g）,即B®q）;（元川。一幻”公 （p>0,Q0）不难验证，£-函数在内闭一致收敛.乂被积函数在内连续，因此， B -函数是内的二元连续函数.2. B-函数的对称性：以= Bq,p）.证 取p,q）="1（1 _为"以= =_ J（1-）”】*% = gr(i-y-M =£©/).由于3 -函数的两个变元是对称的，因此，其中一个变元具有的性质另一 个变元自然也具有.3. 递推公式：班7+1 , g+1)= +1应).证 3(尹 + 1国 +1) = J；N(1 刈,

18、 Hx =)"(”+】)=(ixp 犬t ；+工 f/+】(i _念=工一 打户以,*Jp + 1P1J。p + lJ)而,尹虱(1 -而2dx = j/ /(1 一 X)(l-乃8公=j/(l-兀以= 3(p + l,4)-E+l,c + l),代入 *)式，有 3(p + l ,4+ 1)=3(尸+l,g)-=0(声+1 , q+1),p +1r + 1解得 3(p + l , q + l)= 一巩7+1 国). 声乜+ 1山对称性，乂有 80 + 1,4 + 1)=-80,4 + 1).。+q + 14. 3-函数的其他形式：i> 令丁 =/，有 j/Q-/杰=因此得jp

19、 -二）工=ii> 令 y = cosx,可得sin* 矛cos'xdx =特别地，iii>iv>v>（1-封阿一】方=田 a上。1, a，% 1),a十1"T"«+1"T"/十121 4尸一->0,月)-1. aa >TQ-L/1,*9令工=士，有8（国尸行仪以二Jdi = B(p.q), (1+Z 严令2 =二-二，可得6 - a b - a（PO，qO）U威, ("叱£（了一幻2侬一力标】办=（5一严*1与想瑜，烟0, « >0.产一严1dx =4壬 0,-1;> 0 , « > 0.一函数和8-函数的关系：-函数和8-函数之间有关系式(召 +1)教学今折数嗓以下只就声和q取正整数值的情况给予证明.尹和q取正实数值时，证 明用到-函数的变形和二重无穷积分的换序.证 反复应用3-函数的递推公式，有n/ 、修一 1八方一 1履一 21 八/ _=-1） = ,）,施十力- 1加十足一1 搐十一2 加十1而 B(m9X) = ,=>加m附一 2洲+%一 21.1 (摩7)! m +1 m (m -1)!（活