高中数学函数知识点总结(完整版)

1、高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合A x | y lg x ， B y | y lg x， C （x, y） | y lg x ， A、B、 C中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，C表示的却是函数上的点的轨迹2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A x|x2 2x 3 0 ， B x|ax 1若 B A，则实数a的值构成的集合为（答：1，0，1 ）3显然，这里很容易解出A=

2、-1,3. 而B最多只有一个元素。故B只能是-1 或者 3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0, 不要把它搞忘记了。3. 注意下列性质：（1）集合a1 ，a2，an 的所有子集的个数是2n；要知道它的来历：若B为 A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a 3, an,都有2 种选择，所以，总共有2n种选择，即集合 A有 2n 个子集。当然，我们也要注意到，这2 n种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2n 1 ，非空真子集个数为2n2（2）若A B A B

3、A， A BB；（ 3）德摩根定律：CU A BCUACUB ，CU A B CUA CUB有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax250的解集为M ，若 3 M 且 5 M ，求实数axa的取值范围。 a·35（3M ，a 20aa 1 ，59 ，25 ）5M ，a · 55052 a注意， 有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f（x）=ax 2+bx+c（a>0） 在 （,1） 上单调递减，在 （1,）上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1. 或者，我说在

4、上，也应该马上可以想到m， n 实际上就是方程的 2 个根5、熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“ 或 ” （ ）， “ 且 ” （ ）和 “ 非 ” （ ）.若 p q为真，当且仅当p、 q均为真若 pq为真，当且仅当p、 q至少有一个为真若p为真，当且仅当p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）A x | x 满足条件 p ， B x | x 满足条件 q ，若；则p 是q 的充分非必要条件A B ；若；则p 是q 的必要非充分条件A B ；若

5、；则 p 是 q 的充要条件A B ；若；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ；7. 对映射的概念了解吗？映射f： A B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n 个元素，则从A到 B的映射个数有nm个。如：若 A 1,2,3,4 ， B a, b,c ；问： A到 B 的映射有个， B 到 A的映射有个； A到 B 的函数有个，若 A 1,2,3 ，则A到 B 的一一映射有个。函数 y（x） 的图象与直线x a 交点的个数为个。8. 函数的三要素是什么？

6、如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致（ 两点必须同时具备）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数y x 4 x2 的定义域是（答：0，22， 33， 4 ）lg x 3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数ytanxxR, 且xk , k2余切函数ycotxxR, 且xk, k反三角函数的定义域函数y arcsinx 的定义域是 1, 1， 值域是， 函数y arccosx 的定义域是 1, 1 ， 值域是 0, ，

7、函数y arctgx的定义域是R ，值域是. ，函数 y arcctgx 的定义域是R ，值域是(0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f(x)的定义域是a， b ， b a0，则函数F(x) f(x) f ( x)的定义域是 。(答：a，a )复合函数定义域的求法：已知y f (x) 的定义域为m, n ，求 y f g(x) 的定义域，可由m g(x) n 解出 x 的范围，即为y f g(x) 的定义域。例 若函数 y f (x)的定义域为1 ,2 ，则 f

8、 (log 2 x) 的定义域为。2111分析： 由函数 y f (x) 的定义域为,2 可知：x 2 ；所以 y f (log2 x) 中有 log 2 x 2 。1解： 依题意知：log2 x 222解之，得2 x 4f (log 2 x) 的定义域为x | 2 x 411 、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例 求函数 y= 的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例、求函数y= x -2x+5 ， x -1 ， 2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法

9、进行化简，不必拘泥在判别式上 面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂a . y b 2 型：直接用不等式性质k+xb.y例：2 x 型 , 先化简，再用均值不等式x 2 mx nx11y 1+x 212x+xc. yd. yx 2 m x n 型 通常用判别式x 2 mx n2x2 mx n 型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉例：4、反函数法x 2 x 1(x+1 ) 2 (x+1 ) +1x1x1(x+111211x18 数形结合法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x 4例 求函数 y= 值域。5x 65、函数有界性法 直接求函

10、数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y= ex1 ， y 2sin 1 ， y 2sin 1 的值域。x ex e1x e1ex11 sin1 cos1y01y2 sin 11 sin| sin|1y2y2 sin 1y2 sin 1y(1 cos1 cos2 sin y cos1 y4 y 2 sin( x) 1 y, 即 sin( x )1y4 y2又由 sin( x )1知 1 y 14 y2解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y= 2x 5

11、 logx12 x 10)的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+ x 1 的值域。其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P( x.y )在圆x2+y2=1 上，(1) y 的取值范围 x2(2)y-2 x的取值范围解 :(1) 令 y k,则 y k(x 2),是一条过(-2,0) 的直线 .x2dR(d为圆心到直线的距离,R为半径)(2

12、) 令 y-2x b,即 y 2x b 0,也是直线d d R例求函数y=22(x 2) + (x 8)的值域。解：原函数可化简得：y= x-2 + x+8上式可以看成数轴上点P( x)到定点A( 2) ， B( -8 )间的距离之和。由上图可知：当点P 在线段 AB上时，y= x-2 + x+8 = AB =10当点 P 在线段AB的延长线或反向延长线上时，y= x-2 + x+8>AB =10故所求函数的值域为：10 ， +)例求函数y=x2 6x 13 +4x 5 的值域2222解：原函数可变形为：y= (x 3) (0 2) + (x 2) (0 1)上式可看成x 轴上的点P(x

13、，0)到两定点A(3，2)，B(-2 ， -1 )的距离之和，P 为线段与x 轴的交点时，ymin= AB = (3 2)22(2 1) = 43，故所求函数的值域为 43 ， +)注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法利用基本不等式a+b 2 ab ， a+b+c 3 3 abca， b， c R ) ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例： x 22 (x 0)x211211=x3 3 x3xxxx( 应用公式a+b+c 3 3 abc 时，注意使3 者的乘积变成常数)=x2(3-2x)(0<

14、x<1.5)x (3-2x)xx+3-2x3xx-x)31应用公式abc (3a b c ）3 时，应注意使33 者之和变成常数）1 x1 x1f (x)x x0倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况x2例 求函数 y=的值域x3x2x320 时，x21y x2x 20时， y =00 y121 x2x220 y12多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调 性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定

15、义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如： f x 1 exx，求f (x).令 t x 1，则t 02xt 1f(t) et2 1 t21x2f(x) e1 x21 x 013. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解x；互换x、 y；注明定义域）1xx0如：求函数f （x）x0在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004. 全国理 )函数 y x 11(x 1) 的反函数是(B )Ay=x22x+2(x&

16、lt;1)By=x22x+2(x1)Cy=x22x (x<1)Dy=x22x ( x1)当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：原函数定义域为x =1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D. 现在看值域。原函数至于为y>=1, 则反函数定义域为x>=1, 答案为 B.我题目已经做完了，好像没有动笔(除非你拿来写* 书) 。思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反

17、函数中的x 对应原函数中的y)2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x)3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点(x,y )和点(y， x)关于直线y=x对称互为反函数的图象关于直线y x 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设 y f(x) 的定义域为A，值域为C，a A， bC，则f(a) = b f 1(b) af 1 f(a) f 1(b)a，f f 1(b) f(a) b由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如4( 04. 上海春季高考)已知函数f (x) log3(2) ，则方程f 1 (x) 4的解 x .x15 .

18、如何用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负)判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系可以变形为求f (x1 )f (x2 ) 的正负号或者f (x1) 与 1 的关系x1x2f (x2 )(2) 参照图象：若函数f(x) 的图象关于点(a ， b) 对称，函数f(x) 在关于点(a， 0)的对称区间具有相同的单调性；(特例：奇函数)若函数f(x) 的图象关于直线x a对称，则函数f(x) 在关于点(a ， 0) 的对称区间里具有相反的单调性。(特例：偶函数)(3) 利用单调函数的性质：函数 f(x) 与 f(

19、x) c(c 是常数 ) 是同向变化的函数 f(x) 与 cf(x)(c 是常数 ) ，当c> 0 时，它们是同向变化的；当c< 0 时，它们是反向变化的。如果函数f1(x) ， f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x) 和它们同向变化；(函数相加)如果正值函数f1(x) ， f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与 f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化；(函数相乘)函数 f(x) 与 1 在 f(x) 的同号区间里反向变化。 f (x)若函数u (x) ， x ， 与函数y F(u) ，

20、u ( )， ( ) 或 u ( ), ( ) 同向变化，则在 ， 上复合函数yF (x) 是递增的；若函数u (x),x ， 与函数 y F(u) ， u ( ) ， ( ) 或 u ( )， ( ) 反向变化，则在 ， 上复合函数y F (x) 是递减的。(同增异减)f(g)g(x)fg(x )f(x)+g( x)f(x)*g(x)都 是 正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减若函数y f(x) 是严格单调的，则其反函数x f 1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如：求 y log1x2 2x 的单调区间2ux 2 2x，由 u 0则 0 x2且 log 1 u ， u x

21、 11，如图：y2x (0， 1 时， u ，又 log 12x 1， 2)时， u ，又 log16. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间a， b 内，若总有f'(x) 0则 f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f'(x) 0呢？上是单调增函数，则a的最大如：已知 a 0，函数f(x) x3 ax在1，值是()A. 0f'(x) 3x2 a 3 x则 xa或 x3a3f(x)在 1，)上为增函数，则a 1，即 a 33 a 的最大值为3)17. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？( f(x) 定义域关于原点

22、对称)若 f ( x)f (x) 总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称若 f ( x) f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论：( 1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。( 2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。x如：若 f(x)a· 2 a 2为奇函数，则实数a2x 1( f(x)为奇函数，x R，又0 R，f(0) 00a· 2 a 220 10 ，a 1)2x又如： f(x)为定义在( 1， 1)上的奇函数，当x (0， 1)时， f (x)，4x 1求

23、 f(x)在1， 1 上的解析式。x 1， 0 ，则 x0，2x1 ， f( x) x4x 1又 f (x)为奇函数，f(x)2x4x2x1 4x又 f ( 0)0 ，f(x)2 4x 2x( 1，0)04x 10，1判断函数奇偶性的方法定义域法. 若函数的定义域不关于原点对称，则函数为一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件非奇非偶函数.奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f ( x) ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0f(x)1 f(-x)奇函数偶函

24、数偶函数复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x )f(x)+g( x)f(x)*g( x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟悉周期函数的定义吗？(若存在实数T( T 0)，在定义域内总有f x T f (x)，则 f (x)为周期函数， T 是一个周期。)如：若 f x a f(x)，则f(x) 是周期函数，T 2a为 f(x)的一个周期)我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：f (x) f(x 2t)f (x) f (x t) 0f (x t) f(x 2t)0同时可能也会

25、遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数 f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如，f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线x=a 对称。又如：若f ( x)图象有两条对称轴xa，x b即 f (a x) f (a x)， f (b x) f (b x)f (x)f (x)f (2 a x)f (2 b x )f (2 a x ) f (2 b x)令t 即f所以 ,函数 f ( x)以 2 | b a | 为周期(因不知道为保守起见,我加了一

26、个绝对值f(x) 与 f( x) 的图象关于y轴 对称a , b的大小关系如：19. 你掌握常用的图象变换了吗？联想点(x,y ) ,(-x,y)2a x,则 2b x t 2b 2a, f (t) f (t 2b 2a)(x) f (x 2b 2a)f (x)与 f (x)的图象关于x轴对称 联想点( x,y) ,(x,-y)f(x) 与 f ( x) 的图象关于原点 对称 联想点( x,y ) ,(-x,-y)f (x)与 f 1(x)的图象关于直线 y x 对称 联想点( x,y) ,(y,x)f (x)与f(2a x)的图象关于直线 x a对称 联想点( x,y) ,(2a-x,y)f

27、(x) 与 f (2a x) 的图象关于点 (a， 0) 对称 联想点( x,y ) ,(2a-x,0)将 y f(x)图象左移a(a0)个单位yf(xa)右移a(a0)个单位yf (xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b下移b(b0)个单位yf(xa)b(这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x) 得到， 可以直接令y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)注意如下“翻折”变换：f ( x)| f (x ) | 把 x 轴

28、下方的图像翻到上面f ( x)f (| x |) 把 y 轴右方的图像翻到上面如： f(x) log2 x 1作出 y log2 x 1 及 y log2 x 1 的图象19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？x=a( 1)一次函数：y kx b k 0 (k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点 )( 2)反比例函数：y k 0 推广为 y b k 0 是中心O'( a， b)xxa的双曲线。( 3)二次函数y ax2 bx c a 0 a x b 4ac b 图象为抛物线2a 4ab2a2顶点坐标为，对称轴 x2a 4a开口方向：a 0 ，向上，函数24 ac by min4a

29、根的关系：x1x20，向下，y max24ac b4a2abc, x1x 2,| x1aax2a|二次函数的几种表达形式：(x)(x)(x)(x)ax 2 bxc(一般式)a(x m )2 n (顶点式，(m，a ( xx1 )( xx2 )( x1 , x2是方程的a ( xx1 )( xx2 ) h(函数经过点(n ）为顶点2 个根）x1 , h)( x2 , h)应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2 bx c0，0时，两根x 1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴ax2bx c 0 （ 0）解集的端点值。求闭区间m， n上的最值。区间在对称轴左边

30、（区间在对称轴右边（区间在对称轴2边b) 2ab2a bf max f ( m ),f max f ( n ),min fmin f(n)(m)2am）24ac bf min4a也可以比较m, n 和对称轴的关系，（ 只讨论a 0 的情况）, f max max( f (m ), f (n )距离越远，值越大求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程ax2bx c 0的两根都大于k0b k2af(k) 0一根大于k，一根小于k f（k） 0在区间（m， n）内有2根在区间（m， n）内有1根m bn2af(m) 0f(n) 0f(m)f (n) 04）指数

31、函数：y ax a 0， a 15）对数函数y logax a 0，a16）“对勾函数”yx）x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）20.你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：a01 (a 0)， a p1p (a 0)amm1an n am (a 0)， a n (a 0)nma对数运算：loga(M N) loga Mloga N M0， N 0Mn1loga loga M loga N， loga n M loga MNn对数换底公式：loga b logc b log m bn n log a blog c a a m1loga

32、xlogxa21. 如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)如：(1) x R， f(x)满足 f(x y) f(x) f (y)，证明f(x)为奇函数。(先令 x y 0 f (0) 0再令yx，)( 2) x R， f(x)满足f(xy) f(x) f (y)，证明f(x)是偶函数。(先令 x y t f ( t)( t)f(t· t) f( t) f( t) f(t) f(t) f ( t) f(t)(3)证明单调性：f (x2 ) f x2 x1x2(对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、 代 y=x，2、 令 x=0 或 1 来求出 f(0) 或 f(1

33、)3、 求奇偶性，令y= x；求单调性：令x+y=x 1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数f （ x± y） f（ x）± f（ y）f ( x)kx( k 0) 2. 幂函数型的抽象函数f ( x)xa 3. 指数函数型的抽象函数f（ xy）f（ x） f（ y） ； f（ x ） f （x）y f（y）f （ x）ax f( x y)f( x) f( y) ； f( x y)f （x）f （y）f ( x)lo gax( a>0 且 a 1)5. 三角函数型的抽象函数4. 对数函数型的抽象函数f( x· y)f( x) f( y) ； f()

34、 f( x) f( y)yf （ x） t gxf （ x y）f （x） f （y）1 f （x） f （y）f ( x )cot xf ( x y)f(x)f(y) 1f(x) f(y)例 1 已知函数f（x）对任意实数x、y 均有f（xy）f（x）f（ y） ，且当x>0时，f （x）>0， f （ 1） 2求 f（x） 在区间 2,1上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）f （x2x1）x1f（x2x1） f（ x1） ） ；再根据区间求其值域.例 2 已知函数f（x）对任意实数x、y均有 f（ x y）2f（x）f（y），且当x>0时，

35、f（x）>2，f（3） 5 ，求不等式f（a22a 2） <3 的解 .分析：先证明函数f（ x）在R上是增函数（仿例1 ） ；再求出f（ 1）3；最后脱去函数符号.例 3 已知函数f（x）对任意实数x、y都有 f（xy）f（x）f（ y） ，且 f（1 ）1，f（ 27）9，当0x<1 时， f（ x）0，1 .（1） 判断f（x）的奇偶性；（2） 判断f（x）在0 ，上的单调性，并给出证明；（3） 若a 0 且 f （ a 1 ）3 9 ，求 a 的取值范围.分析： （ 1 ）令y1；x1x1（ 2）利用 f（ x1）f（· x2）f（） f（ x2） ；x2x

36、2（ 3） 0 a 2.例 4 设函数 f（ x）的定义域是（，），满足条件：存在x1x2，使得f（x1）f（x2）；对任何x 和y，f（xy）f（x）f （ y ）成立 . 求：（ 1） f（ 0） ；（ 2） 对任意值x，判断f （ x）值的符号.分析： （ 1 ）令 x= y 0； （ 2）令y x 0.例 5 是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x）>0,xN；f（ab）f（a）f（b），a、bN；f（2）4. 同时成立？若存在，求出f （ x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f （ x）2x；再用数学归纳法证明.例 6 设 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数

37、，满足 f（ x·y）f（x）f（ y） ， f（3）1 ，求：（ 1） f（1） ；（ 2） 若 f （x）f （x8）2，求x的取值范围.分析： （ 1 ）利用31× 3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例 7 设函数yf （x）的反函数是yg（x）. 如果 f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正确，试说明理由 .分析：设f （a）m，f（ b） n，则g（m）a，g（n）b，进而mnf （a）f （b）f （ ab） f g（m）g（n） .例 8 已知函数f （ x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、 x2是定义域中的数时，有f（ x1 x2）f (x1) f(x2) 1f (x2) f (x1) f （ a） 1 （ a> 0， a 是定义域中的一个数）； 当0< x< 2a 时，f （ x）<0.试问：（ 1） f （ x）的奇偶性如何？说明理由；（ 2） 在（0， 4a）上，f （ x）的单调性如何？说明理由.分析： （ 1 ）利用 f （ x1 x2） f （ x1 x2） ，判定 f（ x）是奇函数；（ 3） 先证明 f （ x）在（0， 2a）上是增函数，再证明其在（2a， 4a）上也是增函数对于抽象函数的解答题