高二圆锥曲线知识点及典型例题

1、高二数学圆锥曲线知识整理及典型例题知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用 代人法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。dPid-e'enO、d1、三种圆锥曲线的研究(

2、1 )统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：F为定点，d为P到定直线的距离，FF ,如图。因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当0vev1时，点P轨迹是椭圆；当e>1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。(2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:P|PFiHPF 2|=2a , 2a>|FiF2|>0, R、F2为定点,双曲线(P|PFiHPF2|=2a, |RFz|>2a>0, R, F2为定点。(3 )圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称

3、轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。椭圆双曲线抛物线焦距2c长轴长2a实轴长2a短轴长2焦点到对应准线距离2P=2A- cp通径长22a2p离心率C e =a1基本量关系a2=b2+c2C2=a2+b2(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变)举焦点在x轴上的方程如下：椭圆双曲线抛物线标准方程2、，2x %+ =1a2 b2(a>b>0)2、#2 xy=1 a2b2(a>0, b>0)2y=2px( p>o)顶点(i a, 0)(0 * ± b)(土 a,

4、0)(0, 0)焦占八、八、(i c, 0)("0) 2准线2x=± - cX2中心(0, 0)有界性|x| w a|y| w b冈ax> 0焦半径P (xo, yo)为圆锥曲线上一点，R、F2分别为左、右焦点|PF i|=a+ex o|PF 2|=a-ex oP在右支时|PF i|=a+ex o|PF 2|=-a+ex op在左支时|PF 1 |=-a-ex o|PF 2|=a-ex o|PF|=x o+P2总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、直线和圆锥曲线位置关

5、系(1 )位置关系判断：法(适用对象是二次方程，二次项系数不为0)。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下， 消元后关于x或y方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消 元后关于x或y方程的二次项系数为0。(2)直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。例题研究例1、根据

6、下列条件，求双曲线方程。22(1 )与双曲线有共同渐近线，且过点飞，2,3);22(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3.2 ,164分析：22 法一：八)双曲线'L 一916 的渐近线为yx2)。令 x=-3，y=± 4,因 2. 3 : 4， 故点(3，2.3 )在射线4y X (XW 0)及X轴负半轴之间，双曲线焦点在x轴上2 y2设双曲线方程为笃-舄=1 ,a2 b2b 4(a>0, b>0)a3(3)2(2、3产才a2 b2a2 -9解之得：4b2 =4双曲线方程为(2 )设双曲线方程为(a>0, b>0)a2 b2a2 b2 =20(3、2

7、产222 =1a2a =12解之得：b2=8双曲线方程为128法二：(1)设双曲线方程为2二(人工0)(-3)2(2 3)291622X v 1 -双曲线方程为 yJ2(3 )设双曲线方程为-X16-k(3.2产 22=116-k -4 k"=1解之得：k=4VZ2双曲线方程为 y-=i1282评注：与双曲线-言舌/共渐近线的双曲线方程为aX，2a时，焦点在x轴上；当入vO时，焦点在y轴上。与双曲线2与=& (入羊0),当人>0 b匚 =1共焦点的双曲线为b222X_12 2 -1 a k 5"22(a +k>0, b -k>0)。比较上述两种解法

8、可知,引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。22例2、设E、F2为椭圆一y1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、E、F2是94个直角三角形的三个顶点，且|PFi|>|PF 2|，求！八电!的值。1 PF21解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。IPF“+IPF2|=6 法一：当/PF2Fi=90° 时，由 qPFi |a|PF2 |2 +(2c)2 得：c2 =5 144|PFi| , |PF2| = - 33 EFJ_7 |PF22当/ FiPF>=90<，同理求得

9、|PFi|=4 , |PF2|=2 |PFi|2|PF21法二：当/ PF2Fi=90 Xp = 5又 F2（ ,5 , 0） |PF2|= 4 |PFi|=2a-|PF 2l二上JX2 +y2 =&5）2当/ EPF>=90。，由）2 2 得：Xy194P （±）。下略。55评注：由|PE|>|PF 2的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例3、设点P到M （，。），N （ 1，。）的距离之差为2m到x轴、y轴的距离之比为2, 求m取值范围。分析: 根据题意，从点P的轨迹着手/|PM|-|PN|=2m- -点P轨迹为双曲线，方程为又 y=± 2x（

10、 xm 0）2 m2（1 m2）0）联立得：X2人m2 1m21）®22将此式看成是rn加关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到cz取值范围。根据双曲线有界性：|x|>m , x2>mm2（1 -m2）2-m21 -5m2又 °vmv1 1-5m 2>。 | m | 且 mM ° 5m （一彳）（°，¥）评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步,当题目条件有等量关系时,般考虑利用函数思想,建立函数关系式。例4、已知x2+y2=1 ，双曲线（x-1） 2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：与双曲线交于不同两点；与

11、圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。分析：选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线” “切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。法一：当斜率不存在时，X=-1满足；当斜率存在时，设 :y=kx+b与0 0相切，设切点为M则|OM|=1一ibi一二Jk2122b =k +1y =kx +b22由 J。，,得：(1-k )x-2(1+kb)x-b (x_1)2_y2=1=0当 k 工土 1 且Za >0 时，设 A （Xi, yj , B（X2, y2）,则中点 M （x。，y。）,Xix。二中1 k1 k y o=kxo+b=21 k/ M在O O上22. x

12、o +y0=1 (1+kb) 2+(k+b) 2=(1-k2)2K =3_ _h _ 2由得：j" 1 3kjb叮3:TV”或 v法二：设 M pc。，y。)，则切线 AB 方程 xox+yoy=1当yo=O时，xo=± 1，显然只有 x=-1满足；当y0M 0时，y二一y。 yo代入(x-1) 2-y 2=1 得：(y o2-x o2)x 2+2(Xo-y 0) 2x-1 =022M/ y o+Xo=1可进一步化简方程为:(1 2x 02)x，2(X o+Xo-1)X- 1 =0由中点坐标公式及韦达定理得:2XoXo-11 -即 2Xo3-Xo4-2Xo+1=O2X 0

13、21解之得：Xo=± 1 (舍)» Xo=一23y o= 。卜略2评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件(“相切”和“中点”参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的例5、A B是抛物线y2=2px( p>0)上的两点，且0M OB(1 )求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)(3)求证：直线AB过定点；(4)(4)求弦AB中点P的轨迹方程；(6)(5)求A AOB面积的最小值；(6)。在AB上的射影M轨迹方程。分析：设 A(Xi,yi), B( X2,y2),中点 P(x0,y o)转化为关于rH(1) kOA koBX

14、i/ OA _L OBX2/ k o koB=-1/ x 1X2+7172=022y 1 =2pxi, y2 =2px222n 及2p 2pT y 1工 0, y2Aoa2 y 1y2=-4pu2XiX2=4p(2) t y 1 =2pxi, y2=2pX2(yry 2)(y i+y2)=2p(x i_x 2)yi-y2_2pXi X2yi y2k AB2Pyiy2直线AB：y =即(x _xi)a +y22PxiV'、22px y = a yi2pxVi -2pxi ymV、N2yi2 =2pxi, y 2 - -4p2 y=型yi 目 2 yi y2y连(x_2p)yi /2 AB

15、 过定点(2p, 0),设 M(2p, 0)设。A： y=kx，代入 y2=2px 得:x=0，x='同理，以一_1代 k 得 B(2pk，-2pk)kxo =p(k2 +冷)r卜yo =p (k) kY PT%=(X0)22P即 yo2=pxo-2p2中点M轨迹方程y2=px-2p(4) S AOB = S . AOM ' S BOM = l0MI (Iyl1 Bly2D = P(lyi |1 y 2。A 2p _|yiy21 =4p2当且仅当|y i|=|y 2|=2p时，等号成立评注：充分利用(1)的结论。(5)法一：设 H (X3,y 3)，则 k oh 二竺X3k-X

16、3K AB y3 AB: y _y3 -A(x _x3)V32即 X 二-空(y -ys) Xs 代入 y【2p 得 y2 B2pyA y 一坐2PXa0X3X 3 X 32由(1)知，ay2=-4p2 -竺-2px3=4p2X3 22整理得：X3+ys-2pX 3=0 -点H轨迹方程为x2+y2-4x=0(去掉(0, 0)法二：-/ OHM=90又由(2)知0M为定线段 H在以0M为直径的圆上- 点H轨迹方程为(xp)，y2=p2,去掉(0, 0)2例6、设双曲线x2J1上两点A、B, AB中点M(1 , 2)2(1)求直线AB方程；CD是否共圆,(2 )如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于

17、C、D两点，那么A、B为什么？分析：(1)法一：显然AB斜率存在设 AB： y-2=k(x-1)y 二 kx 2 -k222由 2 y2 得：(2-k )x _2k(2-k)x-k+4k-6=0x1L2当A >0 时，设 A(Xi,y 1), B(X2,y 2)贝 y 二X2二 一2 k)、一 2_2-k2 k=1 ，满足 >0直线 AB: y=x+1法二：设 A(Xi,yi), B(X2,y 2)则2上TI 24+一，小1两式相减得：(X1-X2)(X 计 X2) = (y 1-y 2) (y i+y2)2X1I X2Vi-V2 2 (Xi X2)Xi X2yi y2k ABAB： y=X+i2代入x2 2 i得： >0 2评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件么>0是否成立。(2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于OOM因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|y =x +i由2y2 得：A(-i , 0), B(3, 4)