高中数学求函数值域解题方法大全

1、一、观察法： 从自变量x的范围出发，推出y f (x) 的取值范围。【例 1】 求函数 y x 1的值域。【解析】x 0 ， x 1 1 ， 函数 y x 1的值域为1,) 。1 y 【例2】 求函数x 的值域。10【解析】x 0 x 显然函数的值域是：(,0) (0,)【例3】 已知函数y x 1 2 1 ， x 1,0,1,2 ，求函数的值域。【解析】因为x 1,0,1,2 ，而 f 1 f 33， f 0 f 20， f 11 所以： y 1,0,3注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为xR，则函数的值域为 y|y 1 。 配 方 法 ： 配 方 法 式 求 “二 次

2、函 数 类 ”值 域 的 基 本 方 法 。 形 如 F(x) af 2(x) bf (x) c的函数的值域问题，均可使用配方法。21】求函数 y x2x 5,x 1,2 的值域。将函数配方得：由二次函数的性质可知：当 x=1 -1,2时，当时，【变式】已知，求函数【解析】由已知，可得函 数 。 将 二 次 函 数 配 方得故函数的值域是：4 ， 8的最值。是定义在区间上的二次，其对称轴方程，顶点坐标2 所示。函，最大值为【例2】若函数 f(x)x2 2x 2,当 x t,t 1时的最小值为g(t)，(1)求函数g(t)( 2)当 t -3,-2时，求g(t)的最值。(说明：二次函数在闭区间上

3、的值域二点二分法，三点三分法)【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为(1， 1)，图象第 37 页 共 25 页取得最小值如图 2 所示， 若顶点横坐标在区间上时， 有时，函数取得最小值如图 3 所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即时，函数取得最小值(t1)21,t1综上讨论，g(t)= f(x)min 1, 0 t 1t21t0t2 1(t 0)(2)g(t) 1(0 t 1)t(,0时， g(t)t21 为减函数2t2 2t 2(t 1)在 3, 2 上， g(t) t2 1 也为减函数g(t)min g( 2) 5， g (t)max g( 3) 103】已知 f (x) x2

4、 2x 2，当 x t， t 1(t R)时，求 f (x) 的最大值【解析】由已知可求对称轴为x 1 2f (x)minf( (t1)当t t 2t1 时， 3， f(x)maxf (t 1) t2 2( 2)当t 1 t 1 ，即0t 1 时，0t1根据对称性， 若 t t 11 即2 时， f (x)maxf (t) t 2t 322tt1 11若 22 即 2 时， f (x)max f (t 1) t 22( 3)当t 1 1即 t 0 时，f (x)max f (t) t 2t 3综上， f (x)maxt 22,t1221 t22t3,t2观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种

5、情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解， 不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：b1f (m)，(m n)(如图1)时 f (x) maxb2a 12f (n)，(m n)(如图2)2a 2bf (n)，n(如图3)2a

6、bbf (x)min f ()， mn(如图4)2a 2abf (m)，m(如图5)2af (n)，bn(如图6)2abbf (x) max f ()， mn(如图7)2a 2af (m)，bm(如图8)b1f (m)，(m n)(如图9)2a 2f (x) minb1f (n)，(m n)(如图10)2a 2(1)二次函数的对称轴方程为x a ，11当 a 即 a 时， f (x )max f ( 2 ) 4a 5 ；21a即212a 2,a2 f( x)max14a 5,a22a2 aaaaa(2)函数 y (x ) 图象的对称轴方程为x ，应分 11 ，1 ，1242222即 2 a 2

7、， a 2和 a 2这三种情形讨论，下列三图分别为( 1) a 2；由图可知f(x)max f ( 1)a2) 2 a 2；由图可知f (x)max f (a)max 23) a 2时；由图可知f(x)maxf (1)f( 1),a2ay最大f(a) , 2 a 2；即2f (1) , a 2(a 1),a22ay最大, 2 a 24a 1,a 25】 已知二次函数f( x) ax( 2)令f( 2) 3 ，得 a 1 1此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a 1 符合题意；2 (2a 1)x 1 在区间3 ,2 上的最大值为3，求实数 a 的值。【分析】这是一个逆向最值问题，

8、若从求最值入手，需分a 0 与 a 0 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：2a 11( 1 )令f() 3 ，得 a2a2此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2 ，且 23 ,2 ，故 1 不合题意；2232( 3)若 f( ) 3，得 a232此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a 2 符合题意。312综上， a 或 a解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只

9、可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。【变式】已知函数f (x)ax2 2ax 1在区间 3,2 上的最大值为4，求实数a的值。2【解析】f (x) a(x 1)2 1 a,x 3,2( 1)若a 0, f (x) 1, ，不符合题意。( 2)若a 0,则 f(x)maxf (2) 8a 13由 8a 1 4，得 a8( 3)若a 0 时，则 f (x) max f ( 1) 1 a由 1 a 4 ，得 a 3综上知 a 或 a 382x【例 6】 已知函数f (x)x在区间 m, n 上的最小值是3m 最大值是3

10、n ， 求 m， n 的值。【解法 1 】讨论对称轴中 1 与 m, m n , n 的位置关系。2f (x) f (n) 3n若，则maxf(x)minf(m) 3m解得m nf (x) f (1) 3n若 m n 1 n ，则(x)max() n ，无解2f (x)min f(m) 3mm n f (x)maxf (1) 3n若 m 1 m n ，则max，无解2f(x)min f (n) 3mf (x)maxf (m) 3n若，则max，无解f (x)minf (n) 3m综上，m4,n 01 2111【解法2】由f (x) (x 1) ，知 3n , n , ，则 m, n (,1 ，

11、2 226f ( x)m a x f ( n) 3n又 在 m ,n 上 当 x 增 大 时 f(x) 也 增 大 所 以解 得f(x)m i n f( m) 3mm 4,n 0评注：解法2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ， n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。【例7】求函数 y x 35 x 的值域 .【解法 1 】 y x 3 5 x 2 (x 3)(5 x) 2 2 1 (x 4)显然y22 2 1 (x 4)2 2,4故函数的值域是：y 2,222解 法 2 】 显 然 3 2 x 1 5, x 3 2sin 2 (0, )5 x 2cos

12、 2y x 35 x 2(sin cos ) 2sin( ) 2,24三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法(分母少，分子多)，通过该方法可将原函数转化为为y k f (x) ( k为 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。x2【例 1 】 求函数 y 的值域x11【解析】利用恒等变形，得到：y 1 ，容易观察知x - 1,y 1 ，得函数的值域为yx1 (- ,1) (1, + )。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。2xxx2x 项，可利用部分分式法；则有2 xx y2x x1x2 x 1 1x2 x 1

13、11不妨令：123(x )241 f(x) (x 2)234,g(x)13( f (x) 0) 从而 f (x), 注意：在本题中应排f(x)4除 f (x) 0，因为f (x) 作为分母。所以g(x)0,3413,12】求函数 y x x 的值域。答案：()值域求下列函数的值域：(1) y3xx12(2) yx2 1x21y (, 13)( 31 ,)()值域y -1,11】 求函数1 2x1 2x 的值域。1 2x1 2xy 1 2x 解得2x1 2x1 y ， 2x 0 ，1 y 0，1y1y1 y 1 函数I 2xII 22x的值域为y ( 1,1)。3x 42】 求函数 y 3x 4

14、 值域。5x 6则其反函数为：，其定义域为：33故所求函数的值域为：(, ) ( , )55ex 13】求函数 yex 的值域。ex 1解答：先证明yex 1有反函数，为此，设x1 x2且 x1,x2 R，y1y2ex11ex1 1ex21ex21x1x22 e1 e2(ex11)(ex2 1)0。y 1 ln 11 xx 。此函数的定义域为所以 y 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：x ( 1, 1) ，故原函数的值域为y ( 1, 1)。4】求函数 y a bx(a 0,b 0,a b,x 1,1)的值域。a bx1 】 -1 x 1a-b a-bx a+b2a2a2aa b a

15、bx a b2aab1y 12aa bx2aabababababa 2aa 2a2】(反函数法)：x a a ,由 -1 x 1 得： 1 x a a 1 ，b b(y 1)b b(y 1)abababab五、 判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F（x,y） 0； 通过方程有实数根，判别式0 ，从而求得原函数的值域，形如为零）的函数的值域，常用此方法求解。ya1x22b1x c1 （a1、a2不同时a2xb2xc2（解析式中含有分式和根式。）1 x x21 】 求函数 y的值域。1 x2【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程, 由于 x 取一切实数，有1 ）当时，解得：2）当y=1 时，

16、而故函数的值域为2】 求函数 y x x（2 x） 的值域。【解析】两边平方整理得：（ 1）解得：但此时的函数的定义域由，得由 ，仅保证关于x 的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间0 ， 2 上，即不能确保方程(1 )有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程(1 ) 解得：即当时， 原函数的值域为：注： 由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。解法二：y x x(2 x) x 1 (x 1)sin( ) 1原函数的值域为： ，令 x 1 sin

17、, y 1 sin cos 12 sin( )3】 已知函数f (x)22x ax bx2 11 ， 3，求a, b 的值。22x ax by2x2 122(y 2)x ax y b 0 a 4(y 2)(y b) 04y2 4(2 b)y 8b a2 0。f (x)22x ax bx2 11 ， 3，故上式不等式的解集为 y|1 y 34y1 y22 b 1 32a28b ay1 y23 b 244】求函数 yx2 x2x1 2 的值域。1 】先将此函数化成隐函数的形式得：yx2 (2y 1)x 2y 1 0， (1)这是一个关于x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1

18、) 的判别式故原函数的值域为：2(2y 1)2 4y(2y 1) 0，解得：y 2。2】当 x -1x+1<y 21 , 21 。时yx2x2x1 211(x 1)x10 时， (x 1)112 ，即 y 12 ,0)x11x+1 >0 时， (x 1)2 ，即x1y (0, 12考虑到 x=-1 时 y=0故原函数的值域为：y 21 , 21 5】mx n4，最小值为 1 ，则 m =n=mx ny2x2 122y x mx n y 0 m 4y(y n) 0224y 4ny m 0f (x)22x ax bx2 1 1 ， 4，故不等式1 的解集 为 y| 1 y 4y1y2y

19、1 y2n32 m4m4m3m 4n36】求函数x2x2 2x 3【解析】y x2 (y 1)x 3y 2 01 y=0 得 x=-2, 从而 y=0 是值域中的一个点；2 y 0 (y 1)2 4y(3y 2) 02y y ) y R ，由 1 2 得函数的值域为R.y 48 0六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 y ax b cx d( a、 b、 c、 d 均为常数，且 a 0)的函数常用此法求解。对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数

20、换元；当根式里是二次式时，用三角换元。【例 1】 求函数 y 2x 1 2x的值域。1 t2【解析】令t 1 2x( t 0)，则 x 1 t ，215135 y t t 1 (t ) 当 t ，即 x 时，ymax，无最小值。242845 函数 y 2x 1 2x的值域为(, 。4【例 2】 求函数 y 2x 5 log3 x 1(2 x 10) 的值域。【解析】令 y1 2x 5,y2 log3 x 1 则 y1,y2在 2， 10上都是增函数所以 y y1 y2 在 2， 10上是增函数31ymin 2 log3 2 1当 x=2 时，8当 x=10 时， y max 2 log 3 9

21、331 ,33故所求函数的值域为：8【例 3】 求函数 y x 1 x 1 的值域。y2原函数可化为：x1 x1令 y1 x 1,y2 x 1 ，显然 y1,y2在 1,上为无上界的增函数所以 y y1 ， y2在 1,上也为无上界的增函数所以当 x=1 时，y y1y2有最小值2 ，原函数有最大值显然 y 0 ，故原函数的值域为(0, 24】 求函数 y x 21 (x1)2 的值域。【解析】因 1 (x 1)2 0 即 (x 1)2 1 故可令 x 1 cos ,0, y cos 11 cos2sin cos 12 sin( ) 140,05442sin( ) 12402 sin( ) 1

22、 124故所求函数的值域为0,123 xx y5】 求函数x 2x 1 的值域。y 1 2x 1 x2【解析】原函数可变形为：2 1 x2 1 x22x可令 x tg ，则有1 x2sin 2 , xcos21 x2k28 时，y maxk28 时，y min而此时 tan 有意义。11,故所求函数的值域为4 42 的值域。6】 求函数 y (sin x 1)(cos x 1) ，12y (sin x 1)(cos x 1)sin xcosx sin x cosx 112sin xcosx (t 1)令 sin x cosx t ，则21212y 2(t2 * 4 1) t 1 2(t 1)2

23、故所求函数的值域为t sin x cosx 2 sin( x / 4)ymax2t 2 时，2 ，当t22 时，232,223412 2可得： 22 t 232 y42令 t x2 5x 425x2999 ，则 t 9 。y t t 821 t2 8t 21 t 4 2 5，9t 9 时，49211ymin45 8 ，值域为y | y 8416169】 求函数 y x 2 1 x 的值域。令 t 1 x ，则 x 1 t 2 ， t 0 ， y 1 t 2 2t t 1 2 2t 0 时， tmax 1 02 2 0 1所以值域为(,1 。【例10】 求函数y x 10x x2 23的值域。【

24、解析】由 y x 10x x2 23 = x 2 x 5 2 ，令 x 5 2cos ，因为 2 x 5 2 02 2 cos201 cos 1 ，0, ，则 2 x 5 2 = 2sin ，5于是： y 2 sin 2 cos 5 2sin5 ， , ，44442sin1，所以： 52 y 7 。24七、 函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。x1【例 1 】 求函数 y x2 1 的值域。x1【解析】 由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ， 对函数进行变形可得22 y1(y 1)x (y 1)， y 1 ， x( x R，y 1

25、)，y1y 1x2 10 ，1 y 1 ， 函数 y 2 的值域为 y | 1 y 1y 1x2 1xe1yx2】 求函数ex 1 的值域。x y1 e【解析】由原函数式可得：y 1y10ex0 y 1 解得：1 y 1 故所求函数的值域为( 1,1)cosxy3】 求函数sin x 3 的值域。【解析】由原函数式可得：ysin x cosx 3y ，可化为：y2 1 sinx(x ) 3y3y sin x(x )即y2 11122 x R sin x(x ) 1,1 即y2 1 解得：4 y 4224,4故函数的值域为444】3 sin x y3 4y1 4y21，4 2cosx1 】 si

26、n( x) y ， sin(x )1 4y23333解得 1y 1即函数值域为：y 1,133332】 y 看作是两点(4,3) 和 (2cos x,sin x) 连线的斜率即过点(4,3) 且与椭圆有交点3 sinx y其斜率取值范围就是4 2cosx 聚会取值范围设 y=k(x-4)+3 代入椭圆方程2x2y14222得 (4k2 1)x2 8(3 4k)kx 4(16k2 24k 8) 0，由 0得答案【例5】已知a>0， x1,x2是方程ax2+bx-a2=0 的二个实根，并且|x 1|+|x 2|=2, 求 a的取值范围以及 b 的最大值。【解析】由韦达定理知：x1x2=-a&

27、lt;0, 故两根必一正一负， x1|+|x2| =2从而|x1 -x2|=2由韦达定理知：4=|x 1-x 2|2=(b 2+4a 3)/a 2从而4a 2-4a 3=b2 0即 4a2(1-a) 0即a 1,注意到a>0，从而a 的取值范围是0< a 1从而 b2 4a2(1 a) 2 a a (2 2a) 2 (a a 2 2a)316327即 b 的最大值为4 3 ，当且仅当a=2/3 时“”成立。9八、 函数的单调性法：确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性，求出函数的值域。【例1】 求函数 y x 1 2x的值域。【解析】当x增大时，1 2x随 x的增大而减少

28、，1 2x随 x的增大而增大，函数 y x 1 2x在定义域(, 1 上是增函数。21 111 y 1 2 ，函数y x 1 2x 的值域为(, 。1【例2】 求函数 y x 在区间 x 0, 上的值域。x【解析】任取x1 ,x20, ，且x1x2，则x x xx 1f x1 f x2，因为 0 x1x2 ，所以：x1x20, x1 x20 ，x1 x21x1x2时，x1x210，则 f x1f x2 ；0x1x21 时，x1 x21 0 ，则 fx1fx2；而当 x 1 时，ymin21y x 在区间 x 0, 上的值域为2,)。x构造相关函数，利用函数的单调性求值域。【例4】 求函数 f

29、x 1 x 1 x 的值域。1x0【解析】因为1 x 1 ，而 1 x 与 1 x 在定义域内的单调性不一1x0致 。 现 构 造 相 关 函 数 g x 1 x 1 x ， 易 知 g(x) 在 定 义 域 内 单 调 增 。gmax g 12， gmin g 12， g x 2， 0 g2 x 2，又 f 2 x g 2 x 4 ，所以：2 f 2 x 4 ，2 f x 2 。【例5】 求函数 y 3x 68 x 的值域。【解析】此题可以看作y u v和 u 3x 6 ， v 8 x 的复合函数，显然函数u 3x 6 为 单 调 递 增 函 数 ， 易 验 证 v 8 x 亦 是 单 调

30、递 增 函 数 ， 故 函 数y 3x 68 x 也是单调递增函数。而此函数的定义域为 2, 8 。当 x 2 时， y 取得最小值10 。当 x 8 时， y 取得最大值30 。故而原函数的值域为10, 30 。九 . 图像法(数型结合法)：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离，直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。1】 求函数 y | x 3| | x 5 |的值域。y2x 2 (x 3)8y |x 3| |x 5|8( 3 x 5)

31、，82x 2 (x 5)-3 o 5 x y | x 3| | x 5 |的图像如图所示，由图像知：函数y | x 3| | x 5 |的值域为8,)2】 求函数 y (x 2)2 (x 8)2 的值域。y |x 2| |x 8|上式可以看成数轴上点P( x)到定点A( 2)，B( 8) 间的距离之和。P 在线段 AB 上时， y |x 2| |x 8| |AB | 10P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，y | x 2 | |x 8 | |AB | 10故所求函数的值域为：10,3】 求函数 y x2 6x 13 x2 4x 5 的值域。【解析】原函数可变形为：y (x 3)2 (0

32、2)2 (x 2)2 (0 1)2上式可看成x 轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2), B( 2, 1) 的距离之和，22由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin |AB |(3 2)(2 1)43 ，故所求函数的值域为 43,十、 基本不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。kx221】 求下列函数的值域：(1) y x 3 (k>0);(2) y。xx21(1)若 x>0 时，则 y x k 3 2 x k 3 3 2 k ,等号仅当x=k/x，xxx k 时成立

33、；kk若 x<0 时，则 y x 32 x () 3 3 2 k ,等号仅当-x=-k/x ，即xxx k 时成立；故， y (,3 2 k 3 2 k ,)2(2) 解法一：y x 2 = x2 12，故 y 2,)x2 1x2 11解法二：令tx2 1 ,则y t 1 (t 1) 即方程f (t) t2 ty 1 0 在 1,+ )上有解所以t1t21从而 f(x)=0 在区间 1,+ )只能有一根，另一根在(0,1)内，从而f(1) 0,即y 2.22】 若 4 x 1 ，求x 2x 2的最小值2x 2x2 2x 21 (x 1)2 12x 22 x 1112(x 1) x 111

34、 (x 1)2(x 1)4x10 (x 1) 311(x 1)31从而 (x 1) 2(x 1)12 (x 1)11(x 1)1(x 1)1 ，即 x=-2 时 ”=”成立(x 1)2x2 2x 22x 2min33】 求函数 y 2x23,(x 0)的最小值xy 2x2 32x233332x2 3333 93336x2x2x2x 2x 222x23 即 x 3 62xymin 3 3 3624】 求 y= 14 (x (0, ) )的最小值。cosx sin x 2y>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x=(tan2x+1

35、)+16(cot2x+1)+822cos x sin xcosxsinx=17+(tan x+4cot x+4cot x)+ (16cot x+ 4tan x+4tan x)1 (3 16)3 33 tan2 x 4cotx 4cotx 33 16cot2 x 4tanx 4tan x=1 31632tan x 4 cot x 4cot x 即216cot x 4tanx 4tan xtan3 x 4 an x （这是两个相同的方程）4cot3 x 1即当 x=arctan 3 4(0, ) 时，“= ”成立（达到最小值）。5】 若函数 y=f（X） 的值域为1110 ,3 ,则函数F(x)

36、f (x) 的值域是2, 2f (x)3解析： f(x)>0, F (x) f (x)1112 ,并且当f(x)=1 时等号成立。而g(t) t 在 t 1 时f(x)t 2,111单 调 递 减 , g(t) t 在 t 1 ， 3时 单 调 递 增 。 从 而 g(t) t 在 区 间 ,1 上 的 值 域 为151g(1), g( )2, ; g(t) t 在 区间 1,3 上的 值域 为 g(1),g(3)=2,10/3. 综合 知 F(x) 的 值域 为22t2,130x26】 求函数 y x 2 的值域。x3，则综上所述，函数的值域为：1）当时，2）当t=0 时，y=0。注：先换元，后用不等式法性质 1 若当且仅当时等式成立性质 2平行时左边等式成立。性质 3