最新版北师大1.1等腰三角形

1、北师大新版八年级第一章第一节 等腰三角形证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求求证证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路(由由“因因”导导“果果”, ,执执“果果”索索“因因”);w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善. 回顾与思考回顾与

2、思考几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考w判断公理判断公理: :三边对应相等的两个三三边对应相等的两个三角形全等（角形全等（SSSSSS）. .ABCABC在在ABCABC与与A AB BC C中中 AB=AB BC=BC AC=ACABCABCA AB BC C（SSS）.几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考w判断公理判断公理: :两边及其夹角对应相等的两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（两个三角形全等（SASSAS）. .在在ABCABC与与A AB BC C中中 AB=AB A=A AC=ACABCABCA AB BC C（SAS）.ABCABC驶向胜利的彼

3、岸几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考w判断公理判断公理: :两角及其夹边对应相等的两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（两个三角形全等（ASAASA）. .在在ABCABC与与A AB BC C中中 A=A AB=AB B=B ABCABCA AB BC C（ASA）.驶向胜利的彼岸ABCABC 几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考w性质公理性质公理: :全等三角形的对应边、对应角相等全等三角形的对应边、对应角相等 ABCABCABCABC AB=AB,BC=BC,AC=ACAB=AB,BC=BC,AC=AC （全等三角形的对应边相等（全等三角形的对应边相等）;

4、;A=A,B=B,C=CA=A,B=B,C=C（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等）. .驶向胜利的彼岸 ABCABC 三角形全等判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（）判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)(ASA)性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。你能用上面的公理证明下面的推论吗？你能用上面的公理证明下面的推论吗？推论：两角

5、及其中一角的对应边相等的两个三角形全等推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)命题的证明命题的证明w推论推论: :两角及其一角的对边对应相等的两个三两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（角形全等（AASAAS）. .证明证明: : A=A,C=C（已知）（已知）B=B（三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 在在ABCABC与与A AB BC C中中 A=A （已知）（已知） AB = AB（已知）（已知） B=B （已证）（已证） ABCABCA AB BC C（ASA）.驶向胜利的彼岸ABCABC w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC和和A AB BC C

6、中中, A=A, C=C, AB=AB.w求证求证: :ABCABCA AB BC C. .几何的几何的三种语言三种语言 回顾与思考回顾与思考w推论推论: :w两角及其一角的对边对应相两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（等的两个三角形全等（AASAAS）. .在在ABCABC与与A AB BC C中中A=A C=C AB=AB ABCABCA AB BC C（AAS）.驶向胜利的彼岸ABCABC w证明后的结论,以后可以直接运用. 1.如图如图:已知在已知在ABCABC和和DEF 中中AC=DF,AB=DE,C=F=100C=F=100, ,则则ABC和和DEF会全等吗会全等吗?若能请

7、证明若能请证明;若若不能请说明理由不能请说明理由.ABCDEF其它条件不变若其它条件不变若B=E=B=E=70100100等腰三角形的性质w你还记得我们探索过的等腰三角形你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗的性质吗? ?w推论推论: :w等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线, ,底边上的中底边上的中线线 底边上的高互相重合底边上的高互相重合( (三线合一三线合一).). 议一议议一议P2w定理定理: :w等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等( (等边对等角等边对等角).).ACB12ACBD几何的几何的三种语言三种语言 议一议议一议P2定理定理: :等腰三角形的两个底角相

8、等等腰三角形的两个底角相等( (等边对等角等边对等角).).ACB如图如图, ,在在ABCABC中中, , AB=AC(AB=AC(已知已知),),B=C(B=C(等边对等角等边对等角).).推论推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合的中线、底边上的高线互相重合( (三线合一三线合一).).ACBD12AB=AC, 1=2(AB=AC, 1=2(已知已知).).BD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）. .AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (已知已知).).1=2,ADBC1

9、=2,ADBC（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(已知已知).).BD=CD, 1=2BD=CD, 1=2（等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）w轮换条件轮换条件1=2, ADBC,ADBC,BD=CD,BD=CD,可得可得三线合一三线合一的的三种不同形式的运用三种不同形式的运用. .证明：AB=AC（已知）B=C（等腰三角形等角对等边）又BC=AC,AB=BC（已知）A=B，A=C（与上同理）A=B=C（等量代换）而三角形内角和为180即：A=B=C=601.证明证明:等边三角形的三个角都相等等边三角形的三个角都相等,并且每个并且每个

10、角都等于角都等于60.已知：已知：ABC中，中，AB=AC=BC求证：求证：A=B=C=60ABC2.如图如图,在三角形在三角形ABD中中,C是是BD上的一点上的一点,且且ACBD,AC=BC=CD.(1) 求证求证:ABDABD是等腰三角形是等腰三角形(2)(2)求求ABDABD的度数的度数ABCD开拓思维1.将下面证明中每一步的理由写在括号内将下面证明中每一步的理由写在括号内:已知已知:如图如图,AB=CD,AD=CB.求证求证:A=C.A=C.证明证明:连接连接BD,在在BADBAD和和DCB中中, AB=CD( ) AB=CD( ) AD=CB( ) AD=CB( ) BD=DB( )

11、 BD=DB( ) BAD DCB( ) :A=C ( )ABCD2.已知已知:如图如图,点点B,E,C,F在同一条直线在同一条直线上上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证求证:A=DA=DABCDEF 等腰三角形等腰三角形ABC,AB=AC,BDAC探索探索2与与A之间关系之间关系?ABCD122+C=90，C=（180-A）/2想一想想一想 在等腰三角形中，有三条高，三条中线，三条角平分线，其中哪些是相等的？你能证明你的结论吗？例1证明：等腰三角形两底角的角平分线相等【演示】：议一议AEDCB如图1-5，在ABC中，AB=AC,点D、E分别在边AC与AB上，（1）如果ABD= ABC

12、, ABD= ABC, 那么BD=CE吗？ 3131如果ABD= ABC, ABD= ABC,那么BD=CE吗？由此你能得到一个什么结论？ 4141如果AD= 1/3 AC, AE= 1/3AB,那么BD=CE吗？由此你能得到一个什么结论？ （2）如果AD= 1/2 AC, AE= 1/2AB,那么BD=CE吗？ 想一想想一想等边三角形是等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 你会证明吗？动手做一做。AEGFDBC能力训练能力训练如图，ABC与ABD都是等边三角形，点E、F都在BC、AC上，BE=CF,AE与BF交于点G.(1)求AGB的度数（2）连接DG,求证：DG=AG+BG随堂练习1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。2.如图，在ABC中，D、E是BC上的三 等分点，且ADE是等边三角形，求BAC的度数AEBDC回味无穷 理解证明的必要性和规范性. 理解几