柯西不等式的证明

1、柯西不等式的证明作者:日期:柯西不等式的证明及应用(河西学院数学系01 ( 2 )班甘肃张掖7 3 4 000)摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号：0 178Ident i ficatio n and ap p li c ation o f Cau c h y ine q uali t y Ch e n B o(dep art ment of m a t h em a tics , Hexi u ni v ers

2、i t yz hangye ga n su 7 3 4000 )A b stract: Cauchy-ine q uali t y is a very imp o rtant in equa ti o n, flex i b 1 e i nge n i o us a pplication i t, can m a ke some compara tively difficul t p r obl e ms e asily sol v ed . This text prove inequality , so lv e t r iangle r e 1 e v a nt pro b lem, i

3、s it w orth most to a sk, the a p p 1 ica t io n whi ch s o lve s s uch q uestio n s as the eq u at i on , e tc. p rov i d es several e xamp 1 es.K e y w o rd ：inequat ion p r ove ap p lication柯西(C u uch y)不等式1 右式=&ba1bl a2 b22a22 222an b1b2aibiR, i 1,2 n等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立（k为常数,1,2 n）现将它的证明介

4、绍如下：证明1：构造二次函数f(x)a1x b|a2x b2a/bn 22a12a2IIInan2 a1blIIIanbn xb2HIbnII 2彳a12a2nanf x0恒成立2I 4 a, a2b2，H anbn即 a1bl a2b2| anbn 2a2当且仅当 aix bx 0 i 1,2“|n 证明(2)数学归纳法2(1)当n 1时 左式二&b4 a2a；an打2 b； b：0a2| an b2 Ib2 | bnn即电返ID电时等号成立bib2 川bn显然 左式=右式当 n 2 时，右式22222 22. 22. 2aa2bb2a1ha2b2a2 bab?22a2b22a1a2

5、b|b22aBa2 b2右式仅当即a2blab2即 二时等号成立bib2故n 1,2时不等式成立（2）假设nk k ,k2时，不等式成立即aibi a2b2 aE当bikai, k为常数，i设a2 a； I" a2Ca1bl a2b2 ah则 a2 ib； i2a； a2 "J ak b12 b2 I" bki,2“|n或为 a2 HI ak 0时等号成立 bi2 b2 I" bka2a2I"a2a21b2b2b；及1aiba2b22a；bka；也 i当bikai,k为常数，i 1,2|n或aa2 a；0时等号成立即 n k 1时不等式成立综合

6、（1） （2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：1）证明相关命题例1.用柯西不等式推导点到直线的距离公式3。22已知点x0, y0及直线l : x y C 00设点p是直线l上的任意一点，则x x C 0(1)i122Pi P2 x x° xiy yi点Pi P2两点间的距离PiP2就是点P到直线l的距离，求（2）式有最小值，有XoXiy。yiX。Xiy。yiX。y。 CXiyiC由(1) (2)得:|rP2Xoy。C|即PiP2当且仅当PiP2lPi

7、P2Xoy。(3)v。yi ： XoXi(3 )式取等号 即点到直线的距离公式XoyoC2)证明不等式例2 4已知正数a,b,c满足a b c i 证明3,3a b2,22b c证明：利用柯西不等式2,2a bc2 2b2b23a23b23c2b3又因为b2c2 abbc ca在此不等式两边同乘以一 r ,2. 22,再加上a b得：ab23,332,22a b c ?3 a b c故a3b33)解三角形的相关问题例3设p是内的一点，x, y, z是p到三边a,b,c的距离，R是外接圆的半径，证明、x M工 L a2 b2 . 2R882622242x2证明：由柯西不等式得故不等式成立。4）求

8、最值予;v ab bc 2R.ax by cz|ca例4 5已知实数a,b,c ,d满足22a 2b3c2解:由柯西不等式得，有_2_ 22b 3c6d2即 2b2 3c26d22,22、a b c6d2 5试求a的最值由条件可得,解得，1 a2当且仅当、 3c,1 316 d1 6时等号成立,代入b 1,c11一，d 一时,36amax21b 1，c 3，d 3 时amin 15）利用柯西不等式解方程例5.在实数集内解方程2229x y z 一48x 6y 24y 39解:由柯西不等式彳导62248x 6y224y9264 36 4 14439242又 8x 6y 24y392222o 22

9、x y z 862428x 6y 24z即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得x y z"8 6 "24它与 8x 6y 24y 39联立，可得6918xyz1326136）用柯西不等式解释样本线性相关系数在概率论与数理统计一书中，在线性回归中，有样本相关系数n(x x) V yr= J 1=,并指出 rn2 n2.(k x) V、 yi i 1i 11且r越接近于1 ，相关程度越大，r越接近于0,则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记 a、x、x ,biy、 y,则,na、b、r= r、1 一 ,由柯西不等式有，r 1 pnna2

10、b、2I 、1 i 1n当 |r| 1 时，a、b、1n2a、1bi2此时，-y-y- - k,k为常数。点 x、，y、 x xa、1,2 n均在直线x上,n当 |r| 1 时，a、b、1n n 2.2a、binn n即a、b 2a、2b、2E222,2用 ab ai bii 1i 1 i 12“ajbi1 i j n2aibjajbi0 咐 ajbibiaik,k为常数。此时,此时，yi yX xb k,k为常数ai点xi,yi均在直线y yk x X附近，所以r越接近于1,相关程度越大1 i j n当r 0时，ai，b不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 k,使得点Xi，yi都在直线y

11、y k x X附近。所以，r越接近于0,则相关程度越小。致谢:在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。参考文献：1柯西不等式的微小改动J数学通报2 0 0 2第三期2柯西不等式与排序不等式M 南山湖南教育出版社3普通高中解析几何M高等教育出版社4 1990-年全国统一考试数学13t卷J5李永新李德禄中学数学教材教法M东北师大出版社6盛聚，谢式千，潘承毅概率与数理统计 M 高等教育出版7用用柯西不等式解释样本线性相关系数J数学通讯2 0 04年第七期2 004 年柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法 证明了柯西不等式，并

12、给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数 最值、解方.程、解三角与儿何问题等方面的应用，最后用其证明了点 到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要 介绍著名不等式柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用儿种不同的方 法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函 数最值、解方程、解三角与儿何问题等方面的应用。一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理 设4,"eM = L2,，则（£她） /=!旧 J=l当数组E,加, b

13、” b2,b.不全为0时，等号成立当且仅柯西不等式有两个很好的变式:等号成立当且仅当h = Zq（l Si"小变式2设新b1同号且不为。（i=L 2,，n）则将二、柯西不等式的证明;常用的证明柯西不等式的方法有;1）配方法：作差；因为这功（力明-（£哂）2 修 ，=11=1=（2叁砌）-色哈&e） 3=1；=1i=l J=1三力力悯-£纳*i=l >=1i=l /=!=；也£。海+£ f 01M 一 2七之。力产力） / 1=1 ；=10 ；=1；=1 月=；£ W刚-2叫哨十。弼）/ a >1=£力（哂

14、4 >1所以（£吊）（£号）-（£>o，即（£>）（£»女了i=l /W3=1»=4户 IR即（4勺 +%62 +4也）2 V （q2 +&； +«；）（* +b； +必） 当且仅当a4。丸=0（i, j = 1,2,）即4=生。=12./;J = 12刀也不 0）时等号成立。hi hj2）利用判别式证明（构造二次函数法）若£°： =0,则=%=. = 4 =0.此时不等式显然成立。若£端N0,>=|鼻 1构造二次函数/（无）=a,2 «x2-

15、2 f她x+f好二次（用一）之0对于</=1 JI 修 /'=:1=1”r恒成立，所以此二次函数y（x）的判别式awo,即得证63）用数学归纳法证明i）当 =1时，有（*y=q用 不等式成立。当n=2时，励+地 = a低+ q况+ 2*砧（4+ W涸+记）=劭2十记+后+讯 O因为a港+域月2 2贴&% ,故有（afy + a也产M+力脑、片）当且仅当哂=4办，即？=当时等号成立。h %ii）假设刀二无时不等式成立。即（0占 + a也 + + a也尸 W （a： + a；+a； ）（b： + 片 + 十 硝当且仅当？=会=?时等号成立。A A hn那么当"=上十

16、1时，眄4 +他+叫与+尸= ««+%+。也）2+ 2。川晨1 （afy +）+ aLhLi（fl? + aj+Cxa'+片+厅） + 2%.向“（0« + &4+岫）+电鼠工（4 +吊+ 4短烦”4 +片）:年b"b：a£ +4a网包:用片.卢及=（用十片+ 十aL）g2十记十十改尸+d）（年+片+*）当且仅当a1bm =/口=也外”.，。% =也%时等号成立，即？=会=善=#时等号成立.4 % 仇 ”4.1于是=无十1时不等式成立°由i） ii）可得对于任意的自然数n,柯西不等式成立。4）用向量法证明 设粗9（%,

17、.,4），£=（“也,.也），其中 %吗 ,4；4,阳.也为任意两组实数。山向量的长度定义，有向=""抬十一.十°； |,仰二曲十笈+乂由内积的定义，a >n =|可问co§”其中白是,，石的夹角，且有办 =a1b2 ”他4 44也。因|cos|41,故卜叼工同年于是| 丐毋 + %4 + + a/n Ja； +zz +a： 十及 十 十"；即（咽 +地+ a也）2 V （a； + + °：）（* 十与 * + 峪当且仅当I cos。|=1时,即G与，共线时等号成立。tla, b 共线可知 0t=也, M = &

18、;（A eR）即g=g= tl（4 *0,i =1,2,hn由以上，命题得证。5）利用均值不等式当W+W + +端）（髭+记+.+阳=。时不等式显然成立当（M+4 +明传+收+.+片产0河西不等式可化为>（。1 + a 力2 +。也）7 （埠+。；十十年购2十年十十幻山均值不等式可知（她+她+。也F（埠+C +叫傍+h2 j + F）/忧a：叩+ + 了+城+环+瓦+汇M+姆+其牙+片+短2当且仅当glj ?（哂 + 吁2 + +。也）1 （嫁+埠+*（甲+医j+幻?=善=*（产0,”1,2,./）时等号成立。从而柯西不等式得证。4 2 b.而变式一二可山柯西不等式稍加变形容易得到。利用

19、柯西不等式证明问题例工 L1 已知 a>b>c>d,求证！ + -L+-> - a -b b-c c-口 ad证 因为a-d=(a-h) +(h-c) + (c-d) >。，由柯西不等式知(a-d(- 十-! 4-) ab Zj -c ca=(a-b) + (b-c) + (e-d) +! +a fl nc c a>(l + l + l)2=9从而_+ 4 +_占_。 a-h b o £ -a a -a例3.1.2,例知.+ ：九*47月+y+£ =1求 Ul* s OjJC + + aj>，1证法一：<常用证法）1十司仁2叩

20、c”，（ja + x,皂口:工门鼻” +jcn > 2al/r”.把上面用个不等式相加，得2 2 2媒得（裙 十诏十*口：）+I玉2十君 + .十尤）> 2。丙 十2?匹十+2a;fill十正？十十三七J 01rl +a；x3 d心 鼻工 41证法二；（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点,可构造如下两组数； 的，“士，* n,*，山柯西不等式（A）有（0汨 + a3r3 +t+djpxB）2 <（0； +修；+ . + 小：）（片 +工；+工）J. OjJft + ajX2 +* 十 口0.<1例3. 1. 3,设七e /?* (i-1, 2,n)且£

21、 * = 1,求证,2% 12 £4当 Ml 1 +七1=1&D。证注意到恒等式2 z中广只需要证明 g<jj力石，（Z X J - Z X；即（Z x J 4 Z W 十名 X上式左边二（£向由层<（£z（l+z）（£六）二Z%:+£f, 得证。r=1例3.L4：设实数s,c, /满足 , no, b* Z求证ahc ./ +, -1= + -1= > 2jM-V+c Jlc-V+a 以一产+b证因为会，>0,由均值不等式得7I"二丙二可0"F晨同理可得，«!，J/IC-/2 故2

22、2a 十 h + c > 2a 2b 2c “方_ 产 +c Vac-A2 +a 4a-入2 +b 3 + 勿 c-h2a a + 2b由柯西不等式可知。伍+2c)+(c + %)+c(o +功)+ 十之2(a+c从而 2a 2b 2c >2(a +1+ c)z 2(a + z> + c)z方+ 2c c + 2a a + 28 -+ 2c)+b(c + 2a)+c(a/2/) 3(万 + 力c + ac)乂 2( +/?+c)2=6(d/>+hc+ac)+(h-c/ + (c-)2+(一/>/> 6(ab+bc + a。)故3_+q_+3L =2 即=/

23、b引十 2c c + 2a a 十 2Ab一尸 +c 5/c-x2 + a当且仅当a = =c = "时等号成立。例3. 1.5：已知/心,.0为互不相等的正整数，求证：对于任意的 正整数n,有不等式*+$+&21+；+ +!。证明：由柯西不等式：+n2 a n+2- 2a - 2+<-71一 4 + +/¥+乌p是于+1 - 2+o>-47+1- w+1%+1 - q又因为4通,.也为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于* 2发O次小的数不小于2,最大的不小于，J这样就有 111 + 一十十一?«_>11 1 1 "+十)-

24、 a-十1 1 +-所以有(1+-+ )1%之1+不 + -O2 n1 . 1 . 12n十十十“ a24, 1 1因为，+1 乙111+-+-女匕,.一小工 J a24I 1+< + -而(1+"-31二+2 1+1+124 % %所以有名 十 §十十，之|十十+ -012n 2n例 3. 1. 6：设q*0(i = L2,71),则证明：证明：由柯西不等式，对于任意的个实数斗孙.，天，(父+工；+)(12 + 12+12)(Xj+x2+七)2即父+片+田 丝仝+&)n于是 £J(£g)y n £义;)-4/(”-D f-i y

25、 /«i 1r 加=I-= / £(£%)-q =V«-l(a1+a2+<3fl) o4v w 1iw yjn - 1 i=万MB例3. 1.7:设天，弓此>0,£毛=1，贝lj£*=之蓼。5 3=1i=l J1 -再 Vn-l证由柯西不等式变式1,得- Vn 1n .«271左边二E备N七=i yi-演 i=i'1一项 日乙yi - 日2/r-(x4(E(1 r 炉工片不-g)二* > (EJ(E(if)FM"T 内26Ji-例3. 1.8 (第42届IMO预选题)设冷、,.八是任意实数

26、。证明:+ .4证由柯西不等式，对于任意实数01Mz.4有% +/+ + cin W y/n +4 + a；令怎1十尺十只十十xjk=l, 2, n.因此原不等式转换为证明当k22时，有 T WJ + M +x2 + 4 /父（1 +3+ %； +动（1 + x；+岩+ 4 ）当k=l时，Wl-1二，因此 U+切tir-4, W1-T.<1,故原不等式得证。起+K J1+巧+%2+ /例 3. 1. 9 设%>°证山柯西不等式，得 左边二£马不一£尸耳t y1一大 i=i2 71711L(Z%)"(Z(lf )尸(X 若(X(if)FJ -J

27、ij 二五 NJ (-1)J -1例3.1.10.若n是不小于2的正整数，试证;。，一_L正向 72 3 42”1 2n 2 明 证十 1-2 JIK11+ +71 + 22n所以求证式等价于9去由柯西不等式有高+击+吟）口">5叫>工且 111/2n 2腿+ 1 w + 2 In (n +1) + (zr + 2) +.+In 3n + l §+工1 1 W h(»4-1) +(h4-1)(» + 2)+' +(2n-l)(2«)乂由柯西不等式有2）求函数的极值柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由（%+

28、4名+ ”也丫 <（2 +片+片）（4+b； +公）可得刖 +地 +anhn 4（d+W +a；X" +1+4）,如将上式左边当作一个函数，而右边值确定时,则可知afy +a2h2 +。也的最大值与最小值分别是，且取最大值与最小值的充要条件是。？=?=子。1 % bn反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而 其他的因式已知时.，则可求出此函数的最小值。例3.2. h求函数的最大值，并指出/为何值时取 得最大.法一：观察可得X-3+4-X = 1故x-3 = cos294T = sin*从而原函数可化 为1y = 6cos<9 + 8sin。，有三角函数

29、的知识已知以最大值为10但此时不 易确定乂的值。法二：由柯西不等式得y = 67x3 + 8>/4 < (62 + 82)(x-3)+(y-4) = V100 =10 根据等号成立的条件可知，当且仅当= = 7口等号成立此时产3.36故所求函 -3 y4-x数最大值为10此时工=3. 3. 6.例3.2.2：已知为仇c,R为常数，当/+产+2?=僧时，求函数fJ?z) = ax-by-¥czf最大值与最小值。解：由柯西不等式：f2(x,y, z'j = (ax¥hy-¥cz2 < (a2 4-b2 + c2)(x2 A-y2 +2>

30、=<£ +/>2 *，)*故 |/（七 y,z）|+c2 o当且仅当2=3=三=b 即x=m，好尻,2=a。为常数）时等号成立。 a h c将=4/=&代入工工+y二+2？ =R2 （a2 + Z>2 + c2 ）f2 = R2则二± i、， 即 当(x,y,z) = 土 /、"，、 (a4© 时，JcT 十万 +c'a +6 +c/(苍z) = 土Ry/a?十七2 十?分别为所求的最大与最小值。例3. 2. 3已知实数a, b, c, d,满足a+B+c+d=3, a2 +2/+3/+61=5 ,试求a的最值解，由柯西

31、不等式得，有（2房+3,十6屋）B|J 28二十3cF十士（力十c十d）2由条件可得，5-/43-4解得1W,当且仅当警二普二粤时等号成立,代入时ic季哈限=28=1埼=：，=；时“min =13)解方程例3.3. 1：2x+y = 59x2+4/=35解：由柯西不等式，71(3x)2+(2y)2.(-)2+(-)2 > (2x+y)2B|J 9+4/>-5： -=36>35 故方程组无解。 (0 Y)22229例3.3.2：在实数集内解方程组JX2+/+Z2=-54 .+ 6y - 24z = 39解，由柯西不等式:(1)(x2+y2+z2 )(-8)2 +62+(-24)

32、2 > (-8x + 6y - 24z)2因为(x2 +/ + 22 )(-8)2 +62+(-24)2 二？ x (64 + 36 + 4 x 144) = 39?4又因为 9十6y-24z>> = 392 即，+/+ 干)(-出2 +6、(-24)2=(6W24z)2即(1)式取等号。由柯西不等式取等号的条件有二=2 =三(2)-8 6 -24(2)式与一gR + 6y_24z = 39联立，贝府x = 一尸=。132613例 3. 3. 3 解方程xj4-一?= 11 . ,解根据柯西不等式卜(4 一 y2 一*9一z? - zj9</十(-y)，(-zj ”4-

33、丁)十(历司 十(，9-丁)因 Ay/4y2 - yl9z2 z4x 二 11 从而ll2(x2+y+z2)*22-(x2 + /+z2)即(x2+j2+z2)-11J0 M(x2+/+z2)-llJ=0 i(x2+j2+z2)-ll=0X由上述过程的可逆性还得到卜J4-7 -y也-J -zjq-x2)=再根据柯西不等式X，十(-y)，十(-z)2("4-»2)十(加-孑)十(，9-工x = kyj4y2取等号的条件，有且仅有Ly二左内彳(k为常数)将此带如原方程-z = ky/9x1得人(54-歹2)+&-(1”三)+用的丁 ) = 11 即k22(/ + jJ

34、+ /)=11,而%二 J"/(x2+/+z2)-ll=0从而k=l因此卜=内二7求得原方程的解为-z = J9jc2X=/2, y = Jz = J74)解三角与儿何问题(a1 +/> +cN36斤例3.4.1在AABC中，设其各边长为a, b,g外接圆半径为R求证? *5 + 5 siiT / sin B sin' C证山柯西不等式可知+e：i sin2 A sin2 B sin2 Ca h c+ -+ ；sin Asin B sin C2| 二(2K + 2K + 2R)2=36RZ,证必。例3.4.2设P是aABC内的一点，x,kz是P到三边amc的距离，R是A

35、BC外接圆的半径，证明G必4加EH证明：由柯西不等式得,4x+fy+4z=6后 + 技+ 代 4 4 y/ax + fy + cz 记S为aABC的面积，则ax + by +=2嗤=ahc 1r= J ah -+he + ca M ' / J a1 + b2 +/J2R屈故不等式成立。例3,4.3：在三角形/BC中，证明-5亩幺+疝1曲+5曲。口证明，山柯西不等式:(sin nA + sin nB + sin nC)2 = (1- sin 月 +1 sin十 1 sin C)2<(l2 + l2 + l2Xsin2 nA + sin2 nB + sin2 nC)BP (sitin

36、g4-sin nB + sin jiC)2 < 3(sin2/i4 + sin2nB + sin2 nC)(1)因为 sin2 nA + sin2 nB + sin2= 1 - cos2 nJ +1 - cos 2nB 1 - cos 2nC= 2-cos27l4- (cos 2nB + cos 2nC)= 2-cos2hJ -cos(nB + C)cos(3 C)<2-cos2/l4 + I + nC) - C)|2 - cos，tl4+1 oos(力 A+C)|故 sin2 nA+sin2 nB+sin2 nC 2cos2 nA +|cos(8+C)|乂因为 2-cos2 ,M

37、+|cos(3 + C)| =2+|cos,M|(l|cos，M)4 2 4产 sM + O-JcosM) 1 T因而1 92-cos2+|cos/i| <2+=Q将(3)代入(2)得sin2nA + sin2nB + sin2nC< 4(4)Q将(4)代入(1)得(sinnJ + sin8 + sinC)2 4 3x 4即4 sin 泊 + sin nB + sin nC 4。22例3. 4. 4：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的 小万倍，即其中凡4c为三角形的三边长，S为三角 形的面积。证明：山海伦秦九韶面积公式：S2 = s(s a)(s-b)(sc), 其

38、中 s = " " + c。2于是 16s2 =(a + b + c)(/> + c-aXc + a-)m+-c)=2(h2c2 +c2a2 + a2h2)-a4-b4-c4由柯西不等式：(h2c2+c2a2+a2b2)2 4 (b4 + c4 + a4)(c4 + a4 + Z>4) = (a4 + h4 +c4)2当且仅当"=M=/，即时等式成立。 c2 / h2于是 4(a，+Af* + c“)N4(62cz + c?。？+ aT/1) b变形得：a" 十方，+ c，+ 2Z>2c2 + 2c2a2 4- 2a2h2 之 3(2护

39、/ + 2c2a2 + 2a2h2 a4 A4 -c4) o即g、+d)2,3xl6S (s是三角形的面积)故有+/ >4735 ,当且仅当a = = C时等号成立。例3. 4. 5：设aABC为任意三角形，求证:分析：从所要证明的不等式出发，构造如下两组数：ABC 111织耳,见万，汉5，1, 1, 1山柯西不等式，有吆今1 +次*1 +如今）“（吆号+火学+织25卜+12 +12）Rl|lf A B CA" 2A2C即织 +织 +织工织2 g2g2Z l / /rJ/»乙把上面这个不等式与求证的不等式比较，可知如果能推导出也4+也与+ rgg =0 ,问题就解决了,但是,，g4+fg?+吆§工G ,所222222以，这样构造的两组数不能证明求证的不等式成立，因此应修改所构造的两组数如下：ABC B C A由柯西不等式（A）,有（A B B C C （ 2A 2B ,CY oB 2C