线性代数考试题及答案解析

1、WORD 格式整理2009 2010 学年第一学期期末考试线性代数试卷答卷说明： 1 、本试卷共6 页，五个大题，满分100 分， 120 分钟完卷。题号一二三四五总分分数2 、闭卷考试。评阅人 : 总分人：（ 每小题 3 分 , 共 24 分 ）31111311】 1. 行列式11311113(A) 0(B)1(C)2(D)】 2. 设A为3阶方阵，数2， A 3，则 A(A) 24(B)】 3. 已知 A, B,为 n 阶方阵，则下列式子一定正确的是24 (C)6(D)6(A) AB BA (B) (A B)2A2 2AB B2(C) AB BA (D) (A B)(A B) A2 B2】

2、 4. 设 A为 3阶方阵, A a 0，则 A234(A) a( B) a (C) a (D) a】 5. 设矩阵A与 B 等价，则有专业技术参考资料(A) R(A) R(B) (B)R(A) R(B)(C) R(A) R(B) (D)不能确定R(A)和 R(B)的大小】 6. 设 n 元齐次线性方程组Ax 0 的系数矩阵A的秩为r ，则 Ax 0有非零解的充分必要条件是(A)r n (B)r n (C)r n (D) r n】 7. 向量组 a1,a2 ,am(m 2) 线性相关的充分必要条件是(A) a1 ,a2 , am 中至少有一个零向量(B) a1 ,a2 , am 中至少有两个向

3、量成比例(C) a1 ,a2 , am 中每个向量都能由其余m1个向量线性表示(D) a1 ,a2 , am 中至少有一个向量可由其余m 1 个向量线性表示】 8. n 阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是(A) R(A) n(B)A有 n个互不相同的特征值(C) A有 n 个线性无关的特征向量(D) A一定是对称阵得分二、填空题。( 每小题 3 分 , 共 15 分 )1. 已知 3 阶行列式D 的第 2 行元素分别为1,2, 1 ，它们的余子式分别为1, 1,2 ，则2. 设矩阵方程0142X103. 设 x 是非齐次线性方程组Ax b 的一个特解，1 , 2 为对应齐次线性方程组Ax 0

4、的基础解系，则非齐次线性方程组Ax b的通解为.4. 设 m n 矩阵 A的秩 R(A) r ，则 n 元齐次线性方程组Ax 0的解集 S的最大无S0的秩Rs0。5. 设 是方阵A的特征值，则是A2的特征值（ 每小题 8 分 , 共 40 分 ）.1 计算行列式112102521310134212. 已知矩阵A 24021 3 ，求其逆矩阵A 1 。183. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 1 , 2, 3是它的三个解向量且234. 求矩阵2225. 用配方法化二次型f x12x2 5x32x1x2 2x1x3 6x2x3 成标准型。得分（ 每小题 8 分 , 共 16 分 ）

5、1. 解下列非齐次线性方程组2x1 x2 x3 x4 14x1 2x2 2x3 x422x1 x2 x3 x4 12. 已知向量组123a12 , a23 , a313116求 (1) 向量组的秩；(2) 向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。得分五、证明题(5 分)证明：设n 阶方阵A满足A2 A 2E 0，证明A及 A 2E 都可逆，并求 A 1及 (A 2E) 1。（ 每小题 3 分 , 共 24 分C 4 B 5 C 6 C 7 D ( 每小题 3 分 , 共 15 分 )242.43. xc1 1c2 2(c1,c2R) 4.n r 5.（ 每小题

6、 8 分 , 共 40 分 ）.1.解：2. 已知矩阵112 分）=0511202 分）104023 ，求其逆矩阵8511202 分）A1。2 分）2 分）4 分）100112201040100161118001r1解：(A,E )241122则 A 1401 (6112 分）3. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 1 , 2, 3是它的三个解向量且23解：由已知可得：对应的齐次线性方程组Ax 0 的解集S的秩为4 3 1 ，因此齐次线性方程组Ax 0的任意非零解即为它的一个基础解系。3 分）令 2 1( 23)则 A A2 1 ( 23 ) 2A 1 A 2 A 3 2b b

7、b 0所以 （3,4,5,6）T 0 为齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系。（ 3 分）Ax b 的通解为：R)2 分）214. 求矩阵 A的特征值和特征向量。12解：A的特征多项式为：21A E（1）（3）12所以 A的特征值为11, 2 3。（4 分）1）当 11 时，对应的特征向量满足1111 xx2100，解得：x1x2则 1 1 对应的特征向量可取p1112 分）2）当13 时，对应的特征向量满足1111 xx2100，解得：x1x2则 13 对应的特征向量可取p212 分）2225. 用配方法化二次型f x12x2 5x32x1x2 2x1x3 6x2x3 成标准型。解： f x

8、12 2x1x2 2x1x3 2x22 5x32 6x2x3222(x1 x2 x3) x2 4x3 4x2x3(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2(4分)y1 x1 x2 x322令y2 x2 2x3 则把 f 化成标准型得：f y1y2 (4 分)y3 x3四综合题（每小题8 分 , 共 16 分 ）1. 解下列非齐次线性方程组2x1 x2 x3 x4 14x1 2x2 2x3 x4 22x1 x2 x3 x4 1解：对增广矩阵B 作初等行变换2111 1 211015 分）rB4 221 20 00 1 021111 000 00R)3 分）2. 已知向量组123a12 , a23 , a313116求 （1） 向量组的秩；（2） 向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。123r1072 分）解： A231015(3116000则 RA 2 ，（2 分）故向量组的最大无关组有2 个向量，知a1 ,a2为向量组的一个最大无关组。（2 分）且 a37a1 5a2（2 分）五、证明题（5 分）21证明：设n 阶方阵 A满足A2 A 2E 0 ，证明 A及 A 2E 都可逆，并求A 1及（A 2E） 1 。证明：1（ 1） 由