几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复

1、几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略初中数学传统上分为几何和代数(以下简称“几代”)两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的重点、难点与焦点。几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。下面就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：一、几代综合题的复习要点1、基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水几代综合题是基于几何、代数基本知识之上，

2、它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对于几代综合题的复习至关重要。其包含的基础知识主要有：代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定(含全等三角形) 理与三角函数、圆中的位置关系及其判定。勾股定【例1】已知，在Rt4AB中，ZOAB=90 , BOA =30 ,AB=2.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴,建立如图1所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内.将Rt4AB沿OB折叠后，点A落在点C处.(1 )直接写出A的坐标；2(2)右抛物线y ax

3、bx 求此抛物线的解析式；(3)若(2)中抛物线的对称轴与 DB上一点，过P作y轴的平行线， 在这样的点P,使得四边形CDPM(a 0)经过C、A两点,OB交于点D ,点P为线段交抛物线于点 M.问：是否存为等腰梯形？若存在，请求出此时点简析：(1 )利用特殊三角形的性质直接写出A的坐标是解直角三角形的最基本的知识。(2)通过解直角三角形求点 C的坐标，并利用待定系数法求解析式是确定解析式的基本方法。(3)在作好图形的基础上， 探索要使四边形 CDPM为等腰梯形，只需CM=DP ,从而转化为方程问题并求解, 这也是对于等腰梯形判定的最低要求。由此可见，基础知识的复习是解题的基础，实不可忽视。2

4、、数学思想方法及其灵活运用永远是数学复习的重点内容，也是几代综合题解法的关键所在对于初中阶段常见的数学思想、方法应熟练地掌握，并灵活地运用。如：数形结合、分类讨论、运动变化、 方程、不等式、函数、转化化归等数学思想；待定系数法、面积法、配方法、图象法、公式法、反证法等数学方 法。【例2】28如图2一，已知直线l1：y x 与直线l2：y 2x 16相交于点C, l1、I2分别交x轴于a、 33B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线11、I2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合. yf(1)(2)(3)求点B、点D的坐标;求 ABC的面积；若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒

5、长度的速度平移，设移动时间为 t(0 W t W 12)秒，矩形 ABC重叠部分的面积为 S ,求S关于t的函数关系式, 相应的t的取值范围.简析：(1) (2)略1个单位DEFG 与并写出e d/A O(图2一)、把问题转化为当00t 3时，(如2)等三种情况并加于解决，其中还(3)解题的关键是利用数形结合，结合运动变化思想，通过分类讨论图2一)、当3 t 8时，(如图2)、当8 t 12时，(如图 用到了方程思想、图象法等数学思想方法。yty+v*所以数学思想方3、应体现列彳对于初中阶段常她握、灵活运用函数必基础，方程是核【例3】如报函数应该做到八准 及巢性周飞映海关问畛才 彩花x ABC

6、D品合题解题的灵魂。数是纽带， 加海利用通法和必作用的观点,要的皮万上寺茂)解各类方程，熟练掌OG MDX5,另苫ZAGJO 疝B 米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.(1)请求出底边BC的长(用含x的代数式表示)；(2)若/BAD =60 ,该花圃的面积为 S米2.求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围)S=93j3时x的值；如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是(1)布列代数式：BC=40-AB-CD= (40-2x )(图2)多少？简析:(2)利用几何计算求出解析式和自变量的取值范围:S= 1(40-2x+40-x),33-x=x(80-3x)=v13x

7、2 20(0x20),同时转化为方程33x2 20J3 93x/3 并求解。 4在利用不等式求取值范围的前提下，利用二次函数的图像和性质求最值。所以，复习时要特别注意代数的各部分知识间的相互联系，互相补充，形成系统，才能更好的 解决几代综合题。4、应熟练掌握几何计算的方法与途径几何的计算从广义上讲大都可以转化为线段的计算，因此几何计算是顺利解决几代综合题的关键环节，应充 分关注：利用勾股定理布列方程计算、利用三角函数布列方程计算、利用相似三角形的方程计算、利用坐标的几何意义进行计算、利用面积法进行计算等重要而常见的几何计算方法与途径, 【例4】如图4一，在平面直角坐标系中，直线 l : y 2

8、x b与从而为几代综合题的解题提供保障。与y轴交于点B.(1)填空：b(2)已知点P是y轴上的一个动点,，以P为圆心，3为半径作。P.若PA=PB,试判断。P与直线l的位置关系，并说明理由.当。P与直线l相切时，求点P与原点O间的距离.简析：(1) b 8;(2)在RtAAOP中，利用勾股定理布列方程并求出圆心到直线的距离 与r的关系判定。P与x轴相切.(3)分“当点P在点B下方时”和“和当点 P在点B上方时”，两种_ - ,MP1)：既可由 BMP1sBOA得一1OABP1L,也可在 Rt OAB和 Rt MP1BABMP1 OAtan ABO -1 列方程，并解得 BP, 3d5 ,并求得

9、OP，同理BP1 ABN图4一OP,并通过d情况(如图4-求OP2由此可见，几何计算在几代综合题中占着重要的地位和作用。5、应关注几何变换在解题中的应用新课程把“几何变换”的问题作为初中数学的教学内容来研究，凸显了它的意义和作用。平移、对称、旋转 是生活中常见的活动，而平移、对称、旋转又是几何的重要组成部分，因为平移、对称、旋转等几何变换既能充 分体现合情推理和演绎推理的有机结合，又能与代数充分结合在一起，因而以几何变换为背景的几代综合题也成 了综合题的一个亮点。【例5】如图5一，在6X12的方格纸 MNEF中，每个小正方形的边长都是 1。RtMBC的顶点C与N 合，两直角边 AC、BC分别在

10、MN、NE上，且AC=3, BC=2。现RtAABC以每秒1个单位长的速度向右平移， 当点B移动至点E时，RtMBC停止移动。(1)请在图5中，画出RtMBC向右平移4秒时所在的图形；t;(2)如图5一，在RtAABC向右平移的过程中， AABF能否成为直角三角形？如果能， 请求出相应的时间 如果不能，请简要说明理由；,其外接圆与直线 AF、(3)如图5一，在RtBC向右平移的过程中(不包括平移的开始与结束时刻)t的范围(不必说理)即4ABF 为 RtA线BF分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间 简析：(ii)当AB2 AF2BF 2时，由勾股定理的逆定理得，/ BAF

11、=90o,即：(丫行 2 32 (12 t)2(10 t)2 62,解得 t=7.5RtAABC向右平(3)关注几何变换，动静结合，把握临界位置，显然有：当t=7.5时，直线AF与RtMBC的外接圆相切；当0 t7.5或7.5 t10时，直线 AF与RtAABC的外接圆相交。当t=1时，直线BF与Rt MBC的外接圆相切；当0 t1或1 t10时，直线BF与RtMBC的外接圆相交。“静中有动”的思想，特别关注几何变换所以，在解以几何变换为背景的几代综合题时要本着“动中有静” 前后的位置变化和“变与不变量”，在画好图形的基础上解决问题。6、关注几代综合题与生活实际的联系，体现数学来源于生活而又应

12、用于生活的新课程理念 几何与代数都是来源于生活，几代结合也必更有利于生活中实际问题的解决。在几代综合题的复习时，要更 加关注生活背景，通过数学建模，从生活到数学，再通过问题解决使数学回归生活。6一所示的自动通风设施.该设施的下【例6】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图部ABCD是矩形，其中 AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点.脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) 始终保持和AB平行的伸缩横杆.,MN是可以沿设施边 EMN是由电框上下滑动且(1 )当MN和AB之间的距离为 0.5米时，求此时 EMN(2)设MN与AB之间的距离为x米，

13、试将4EMN的面积 的函数；(3)请你探究4EMN的面积S (平方米)有无最大值，若有, 没有，请说明理由.简析：请求出这G个最大值；若的面积；S (平方米)表示成关于x(1)从生活中抽象出几何图形,算出面积。(2)在分类讨论的基础上，抽象出图6(0VXW1)和图6(1vxv1求得:(3)把问题转化为一次函数和二次函数的最值问题并求解。DA E B图6一3 )两个图形并利用几何知识C数学建模是生活走向数学的必由之路，数学问题的解决也必将促使生活问题的解决。从而体现数学的实用价 值。几代结合是解决生活问题的重要方法之一，在总复习时应充分关注。7、应关注问题解决的全过程与综合解题能力的提升新课程要

14、求重视学生数学的学习与研究过程，并在过程中获取知识，提升能力。几代综合题的复习更应关注分析信息的能力、实践操作能力、数学建模能力、(7),四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(6, 0), (0, 2),点D是线段BC上的【例71如图若改变，请说明理由学生的解题全过程和学生综合能力的提升。包括：获取信息、 数学思考和问题解决能力等等。分的面积是否会随着 E点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积; 简析：(1) m 3；(2)学生必需充分获取信息、在系统整理、有效分析信息的基础上,进行把问题分为： “点E在OA上时，2 m3 (如图7一)”“点E在BA上时，3 m 5 (如图7)

15、”两种情况加于解决。(3)学生应具有所必需的作图、识图能力，其中作好图形是关键，然后将探索问题转化为规则图形面积的计算问题。所以要培养学生最基本的获取信息的方法、识图、作图能力、分析问题、解决问题的能力，这是几代综合题 复习的一个重点，也是一个难点，同时也达到学生综合解题能力的提升的目的。8、应熟练掌握常见题型的基本解法，达到知己知彼对于常见题型要做到心中有底，脑中有方向、胸中有思路、手上有方法。如最值的求法、面积与周长的处理 方法、圆的各种关系的判定方法，存在性问题，操作探索型问题等等。例8 如图8,已知抛物线y ax2 bx c与x轴交于 gA、B两点，与y轴交于点C, D为OC的中点，直

16、线 AD交抛物线(飞于点E (2, 6),且4ABE与9BC的面积之比为 3 : 2.(1)求这条抛物线的函数关系式；，公(2)连结BD,试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；/.(3)连结BC交直线AD于点M ,在直线AD上，是否存在这样的力口 工点N (不与点M重合)，使得以A、B、N为顶点的三角形与 ABM相似？,若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.简析：对于本题的解决必需对于常见题型：存在性问题、位置关系判定等了然于胸，才能水到渠成。二、几代综合题的复习策略1、树立信心、迎难而上，不要望而生畏，自我放弃。2、要注重规范解题，步步为营，稳扎稳打。如先看清题意，再画好图形，进而寻求突破途径。3、注重阅读理解等获取信息的方法，在信息的获取中寻求解题的突破口。要十分关注“加括号的说明”和 “加着重号的标注”，它们往往就是解题的突破口。4、几何综合题的复习要让学生经历“做一听一改一反思一顿悟”几个环节。做题要求精、求透、不求多、求全，要求以点带面， 不求面面俱到，要严禁“题题都做(全而不对)、题题都未做完(对而不全)”、“只听不做”、“只做不听” 、 “只做不改”等不良现象的出现，以提升复习实效。5、应力求在运算的熟练程度、思想方法的应用和综合能力的提升上有所突破，这三者都是解几代综合题的关键。6、注重在系统的高度上复习几代综合题的解法，不为复习几代综合题而复习