最新导数难题(含答案)

1、精品文档精品文档、单选题1.已知可导函数f x的导函数为f '02018,若对任意的xR,则不等式f x2018ex的解集为(A. 0,B.-12,eC.D.,02.定义在R上的偶函数f x的导函数为0,xf2f0.则()f eA.4B. 9fC.D.3.已知f为定义在0,上的可导函数,xf' x恒成立,r ,2 ,21则不等式x f - f x 0 x的解集为(A. 1,B.,1C. 2,D.,2lnx a Rx a ,求a的取值范围二、解答题24 .已知函数f x ax(1)讨论f x的单调性；(2)若存在x 1, f5 设函数 f xx2ax 2 x2x lnx （ 1）

2、当 a 2 时，讨论函数f x 的单调性；（ 2） x 0, 时， f x 0 恒成立，求整数 a 的最小值一一1a6 .已知函数 f x x alnx, g x a R .x若a 1,求函数f x的极值；设函数h x f x g x ,求函数h x的单调区间；若在区间1,e e 2.71828 上不许在x0,使得f x0g x0成立，求实数a的取值范围精品文档7 已知函数f x x a lnx, a R .（ 1）当 a 0 时，求函数f x 的极小值；a 的取值范围（ 2）若函数 f x 在 0, 上为增函数，求精品文档28 已知函f x x ax axe精品文档(1)讨论f X的单调性；

3、(2)若a 0,2 ,对于任意x1,x24,0 ,都有f x1f x24e 2 mea恒成立，求m的取值范围精品文档参考答1. A. 一 .f x【解析】令g x g x ef x f xx0，g 0 e2018因此 f x 2018exf-x- 2018 g x (g 0x)0,选 A.e点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造构造辅助函数常根据导数法则进行：如f x f x构造g xf x, f x f x 0 构造 exg x e f x , xf x f x 构詹 g xf x,xf x f x 0 构造 g x xf x 等 x2. D【解

4、析】根据题意，设 g (x) =x2f (x),其导数 g' (x) =(x2)' f(x)+x2?f(x) =2xf(x)+x2?f (x) =x2f (x)+xf(x),又由当 x>0 时，有 2f (x) +xf (x) <0 成立，则数 g' (x) =x2f (x) +xf (x) <0 ,则函数g (x)在(0 , +8)上为减函数,=g (x),若 g ( x) =x2f (x),且 f (x)为偶函数，则 g (-x ) = (-x ) 2f (-x ) =x 2f (x)r-e 一 "r f e即g (x)为偶函数，所以 g

5、 e g 2 即f 22因为f x为偶函数,e故选D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数的奇偶性与单调性的应用,关键是构造函数g(x)并分析g (x)的单调性与奇偶性.3. A【解析】令gxf xx xfxf0,即gxfx f x2 0在0,上恒成立x0,上单调递减 x2f 1 xf x，即 x故选A点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和 函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.11 14. （1） f X在0,=上递增，在-,上递减.；（2）,-.2a2a2【解析】试题分析：（1）对函数f x求导，再根据 a分类讨论，即可求

6、出 f x的单调性；（2）将f xa化简得a X2 1 lnx 0 ,再根据定义域x 1,a分类讨论，a 0时，满足题意，_.2a 0时，构造g x a x 1 lnx ,求出g x的单倜性，可得 g x的取大值，即可求出 a的取值 范围.11 2ax2试题解析：（1） f x 2a -,x x当a 0时，f x 0,所以f x在0, 上递增,1当a 0时，令f x 0 ,得x -=,2a人广1人11令 f x 0,得 x 0,；令£ x 0,得 x2a. 2a1 一， 1，所以f x在0 二上递增，在 上递减.; 2a2a '(2)由 f xa,得 a x2 1 lnx 0

7、 ,因为 x 1,，所以 lnx（0,x2 1）0,当a 0时,2a x 1 lnx 0满足题息,1当a 一时，设g x 22a x 1 lnx(x 1), g x2ax2 1 八0,所以g x在1,上递增，所以g x g 10 ,不合题意,人一 m1,v g x 0,4 1,2a-1 .一一 1当0 a 一时，令g x 0,付x2.2a .1所以g x g max d2a,g x 0,综上，a的取值范围是点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒

8、成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数 问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会5. (1) f (x)递增区间为(0, 1), (1, +8),递减区间为(工，1); (2)1.22【解析】试题分析：(1)求出函数f (x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为a>x-2 (x-1 ) lnx恒成立，令g (x) =x-2 (x-1 ) Inx ,根据函数的单调性求出 a的最小 值即可.试题解析：(1 )由题意可得f (x)的定义域为(0, +8),当 a=2 时，f (x

9、) = - x2+2x+2 (x2-x) lnx ,所以 f ' (x) = - 2x+2+2(2x - 1 ) lnx+2(x2 x) ?工=(4x 2 ) lnx ,由 f (x) > 0 可得：(4x 2 ) lnx > 0 ,r 4x-2>0 -2<0所以或Un寞<0 ,L解得x > 1或0vxZ;由 f (x) v 0 可得：(4x 2 ) lnx < 0 ,所以f 4-2<CI Lnx>0解得：2 <x<1 .综上可知：f (x)递增区间为(0, £), (1 , +8),递减区间为(2,1).(2

10、)若 x C ( 0 , +8)时，f (x) >0 恒成立，即 a > x - 2 (x - 1 ) lnx 恒成立，令 g (x) =x - 2 (x 1 ) lnx ,贝U a>g (x) max .因为 g' (x) =1 - 2 (lnx+ K ) = 2lnx 1+ 工，所以 g' (x)在(0 , +8)上是减函数，且 g'(1)>0,g'(2)V0,故存在。e ( 1 , 2 )使得g (x)在(0 , x°)上为增函数，在(x0 , +8)上是减函数，x=x0 时，g (x) max =g (x0) =0,1

11、a>0 ,又因为 a C Z ,所以 amin =1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若f x0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f x .0,min )若f x 0恒成立，转化为f x 0; max '(3)若f x g x恒成立，可转化为f xmin g x max. 一一 e2 16. (1)极小值为f 11; (2)见解析(3)2 a e 1【解析】试题分析：(1)先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值(2)先求导数，求导函数零点，讨论1 a与零大小，最后根据导数符

12、号确定函数单调性(3)正难则反，先求存在一点x0,使得f % g % 成立时实数a的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数a的取值范围，最后取补集得结果试题解析：解：（I）当a 1时,x x Inx1,列极值分布表f x在（0,1 ）上递减，在（1）上递增，的极小值为f 1(II ) h x x alnx当1时,h' x当1时,h' x0,在（0,）上递增;在（0,1a）上递减，在(III先解区间由（II）当a1时,当a1时,0时,hminhmin1 a,上递增;1,e上存在一点 刈，使得f x0g x0 成立g x 0在1,e上有解 当x 1,

13、e时，h xh x在1,e上递增，hminh x在（0,1 a）上递减，在 1h x在1,e上递增,hminmina,1时，h1时,上递增x在1,e上递减h x 在 1,12 a aln 12 a无解e2 1a e 1a上递减,a,e上递增令Fa2 a aln 1 a21 In 1 a ,则 F ' a aF a在0,e 1递减,2F a F e 10 , F a 0 无解,e 1即 hmin2 a aln 1 a0无解;综上：存在一点X0,使得f X0g X0成立，实数a的取值范围为:世一 1-2所以不存在一点X0,使得f X0 g X0成立，实数a的取值范围为点睛：函数单调性问题，

14、往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的 问题(有解，恒成立，无解等)，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数 最值问题.7. (1)1 (2)e【解析】试题分析：(1)当a 0时，得出函数的解析式，求导数，令 f ' X 0 ,解出x的值，利用导 数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；(2)求出f' x ,由于函数f X在0, 是增函数，转化为 f ' X 0对任意X 0,恒成立，分类参数，利用导数 g x xlnx X的最小值，即可求实数 a的取值范围.试题解析：(1)定义域为 0,.当 a 0时，f x xln

15、x , f' x lnx 1 .11令 f ' X 0 ,得 X 1 . e1当x 0,1时，f ' X 0 , f X为减函数； ，e1当x 1, 时，f ' X 0 , f X为增函数.一 . 11所以函数f x的极小值是f -ee（2）由已知得I x lnx x恒成立,因为函数f x在0,是增函数，所以f' x 0对任意x 0,由f' x0得lnx -a 0 ,即xlnx x a对任意的x 0,恒成立.x设g x xlnx x ,要使“xlnx x a对任意x 0,恒成立“，只要 a g x min一,_.，r1因为 g' x ln

16、x 2,令 g'x 0,得 x . e1当x 0,二时，g x 0, g x为减函数； e1当x , 时，g' x 0, g x为增函数. e1所以g x的最小值是g -2 e故函数f x在0, 是增函数时，实数 a的取值范围是点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数f x在0,是增函数，所以f' x 0对任意x 0, 恒成立是解答的关键.1 e28. （1）见解析；（2） m -3.e【解析】试题分析：（1）求出f ' x，分三种情况讨论，分别令f ' x 0求得x的范围，可得函数f x增区间，f ' x 0求得x的范围，可得函数 f x的减区间；（2）由（1）知，f x max f 2 a 4 e一一 一 4一 一f 4 3a+16 e a f 0f x1 f x24e 2 mea 恒成立，即 a e2 1 4e 2 4e 2 mea 恒成立，即 m 二 e 2 1 恒成e立，利用导数研究函数的单调性，求出 且e 2 1的最大值，即可得结果.ea试题解析：（1） f x x 2 x