数学必修五1.1.1

1、第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理看书，翻页的一瞬间，发现左手的手指甲长了，整个手略显细长，迎着看书，翻页的一瞬间，发现左手的手指甲长了，整个手略显细长，迎着阳光一看，第一次发现自己的手也可以如此美妙！阳光一看，第一次发现自己的手也可以如此美妙！我欣喜的拿出存放了很久的指甲油，准备精心的涂上去，摊开两手，准我欣喜的拿出存放了很久的指甲油，准备精心的涂上去，摊开两手，准备比对着挑选一种适合的颜色，才发现，两只手放在一起如此不协调。左手备比对着挑选一种适合的颜色，才发现，两只手放在一起如此不协调。左手美丽、修长、甚至还有点俏皮；而右手粗短、皱巴、略带沧桑，我嫌恶的看美丽、修长

2、、甚至还有点俏皮；而右手粗短、皱巴、略带沧桑，我嫌恶的看了一眼右手，觉得是她拖累了左手的美丽，带走了我这美丽心情。了一眼右手，觉得是她拖累了左手的美丽，带走了我这美丽心情。指甲油到底是没有涂上，因为我鄙夷这右手的丑陋，甚至觉得他不配这指甲油到底是没有涂上，因为我鄙夷这右手的丑陋，甚至觉得他不配这美丽的色彩，可是只涂一只手显然有些另类，估计会更显得右手的粗笨，所美丽的色彩，可是只涂一只手显然有些另类，估计会更显得右手的粗笨，所以索性又把指甲油藏起来了，觉得如果右手不变的漂亮一点，我这辈子恐怕以索性又把指甲油藏起来了，觉得如果右手不变的漂亮一点，我这辈子恐怕都没有信心再拿出这美丽的瓶瓶。都没有信心

3、再拿出这美丽的瓶瓶。爱美是女人的天性，追求完美是每个人的天性。我自然也不能免俗，我爱美是女人的天性，追求完美是每个人的天性。我自然也不能免俗，我仅仅是期待自己的右手可以漂亮一点而已，却发现很难。洗衣服，用力揉搓仅仅是期待自己的右手可以漂亮一点而已，却发现很难。洗衣服，用力揉搓的是右手，切菜切肉，拿刀用力的是右手，拎东西、扶栏杆等也都是右手在的是右手，切菜切肉，拿刀用力的是右手，拎东西、扶栏杆等也都是右手在扮演着老大。扮演着老大。突然间，我觉得自己很可恶，一度很不屑外貌协会的作风，如今自己却突然间，我觉得自己很可恶，一度很不屑外貌协会的作风，如今自己却倾倒在里面不能直立，不可思议的是并非针对别人

4、，而是对始终陪伴自己辛倾倒在里面不能直立，不可思议的是并非针对别人，而是对始终陪伴自己辛苦劳作的一只手。第一次心疼的拿出右手来观察，发苦劳作的一只手。第一次心疼的拿出右手来观察，发1.1.正弦定理正弦定理在一个三角形中在一个三角形中, ,各边和它所对角的各边和它所对角的_相等相等, ,即即 =2R(R=2R(R为三角形的外接圆半径为三角形的外接圆半径).).asin Abcsin Bsin C正弦的比正弦的比2.2.解三角形解三角形(1)(1)定义定义: :一般地一般地, ,把三角形把三角形_和它们的对边和它们的对边a,b,ca,b,c叫叫做三角形的元素做三角形的元素. .已知三角形的几个元素

5、求已知三角形的几个元素求_的过程叫的过程叫做解三角形做解三角形. .(2)(2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题: :已知任意两角与一边已知任意两角与一边, ,求其他两边和一角求其他两边和一角. .已知任意两边与其中一边的对角已知任意两边与其中一边的对角, ,求另一边的对角求另一边的对角, ,进一步求进一步求出其他的边和角出其他的边和角. .三个角三个角A,B,CA,B,C其他元素其他元素1.“1.“判一判判一判”( (正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)正弦定理只适用于锐角三角形正弦定理只适用于锐角三角形. .( ()

6、)(2)(2)在在ABCABC中必有中必有asinA=bsinB.asinA=bsinB.( () )(3)(3)在在ABCABC中中, ,若若AB,AB,则必有则必有sinAsinB.sinAsinB.( () )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .正弦定理适用于任意三角形正弦定理适用于任意三角形. .(2)(2)错误错误. .结合正弦定理有结合正弦定理有asinB=bsinA.asinB=bsinA.(3)(3)正确正确. .由由AB,AB,得得ab,ab,由正弦定理由正弦定理2RsinA2RsinB,2RsinA2RsinB,从而有从而有sinAsinB.sinAsinB.答案答案

7、: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.“2.“做一做做一做”( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)已知已知ABCABC外接圆半径是外接圆半径是2,A=602,A=60, ,则则BCBC边长为边长为. .(2)(2)在在ABCABC中中,a=3,b=5,sinA= ,a=3,b=5,sinA= ,则则sinB=sinB=. .(3)(3)在在ABCABC中中, ,已知已知a= ,sinC=2sinA,a= ,sinC=2sinA,则则c=c=. .513【解析】【解析】(1)(1)因为因为 =2R,=2R,所以所以BC=2RsinA=4sin 60BC=

8、2RsinA=4sin 60=2 .=2 .答案答案: :2 2(2)(2)由由 知知 即即sinB=sinB=答案答案: :(3)c= a=2a=2 .(3)c= a=2a=2 .答案答案: :2 2BCsin A33absin Asin B351sin B3，5.95.9sin Csin A55【要点探究】【要点探究】知识点知识点 正弦定理正弦定理1.1.对正弦定理的四点说明对正弦定理的四点说明(1)(1)适用范围适用范围: :正弦定理对任意的三角形都成立正弦定理对任意的三角形都成立. .(2)(2)结构形式结构形式: :分子为三角形的边长分子为三角形的边长, ,分母为相应边所对角的正分母

9、为相应边所对角的正弦的连等式弦的连等式. .(3)(3)揭示规律揭示规律: :正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式弦之间的一个关系式, ,它描述了三角形中边与角的一种数量关它描述了三角形中边与角的一种数量关系系. .(4)(4)主要功能主要功能: :正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化转化. .2.2.正弦定理的常见变形正弦定理的常见变形(1)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB.(1)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC

10、=csinB.(2)(2)三角形的边长之比等于对应角的正弦比三角形的边长之比等于对应角的正弦比, ,即即abc=sinAsinBsinC.abc=sinAsinBsinC.(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA= ,sinB= ,(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA= ,sinB= ,sinC= (RsinC= (R为为ABCABC外接圆的半径外接圆的半径).).(4)(4)a2Rb2Rc2Rabcabc.sinAsinBsinCsin Asin Bsin C【微思考】【微思考】(1)(1)由方程的思想由方程的思想, ,用正弦定理解

11、三角形时需要哪些已知条件用正弦定理解三角形时需要哪些已知条件? ?提示提示: :需要三个需要三个, ,任意两角及其一边或任意两边与其中一边的对任意两角及其一边或任意两边与其中一边的对角角. .(2)(2)在在ABCABC中中, ,若已知三个角若已知三个角A,B,C,A,B,C,可以解其他元素吗可以解其他元素吗? ?提示提示: :不可以不可以, ,在在ABCABC中中, ,必须有必须有“边边”的元素加入的元素加入, ,否则无法否则无法确定三角形的大小确定三角形的大小. .【即时练】【即时练】1.1.有关正弦定理的叙述有关正弦定理的叙述: :正弦定理只适用于锐角三角形正弦定理只适用于锐角三角形;

12、;正弦定理不适用于钝角三角形正弦定理不适用于钝角三角形; ;在某一确定的三角形中在某一确定的三角形中, ,各边与它的对角的正弦的比是定值各边与它的对角的正弦的比是定值; ;在在ABCABC中中,sinAsinBsinC=abc.,sinAsinBsinC=abc.其中正确的个数是其中正确的个数是( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42.2.已知已知b=6,c=9,B=45b=6,c=9,B=45, ,求求C,a,A.C,a,A.【解析】【解析】1.1.选选B.B.正弦定理适用于任意三角形正弦定理适用于任意三角形, ,故故均不正确均不正确; ;由正弦定理可知由正弦定理可知,

13、 ,三角形一旦确定三角形一旦确定, ,则各边与其所对角的正弦的则各边与其所对角的正弦的比就确定了比就确定了, ,故故正确正确; ;由比例性质和正弦定理可推知由比例性质和正弦定理可推知正确正确. .故选故选B.B.2.2.因为因为sinC= 1,sinC= 1,所以本题无解所以本题无解. .csin B9sin 453 2b64 【题型示范】【题型示范】类型一类型一 已知两角和一边解三角形已知两角和一边解三角形【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015郑州高二检测郑州高二检测) )在在ABCABC中中,AB= ,A=45,AB= ,A=45,C=75,C=75, ,则则BCBC等于等于

14、( () )A.3-A.3-B.B.C.2C.2D.3+D.3+(2)(2)在在ABCABC中中, ,已知已知a=8,B=60a=8,B=60,C=75,C=75, ,求求A,b,c.A,b,c.3323【解题探究】【解题探究】1.1.在题在题(1)(1)的的ABCABC中角中角A A和和C C的对边各是什么的对边各是什么? ?2.2.题题(2)(2)中如何求角中如何求角A?A?【探究提示】【探究提示】1.1.角角A A的对边是的对边是BC,BC,角角C C的对边是的对边是AB.AB.2.2.由由B+C+A=180B+C+A=180, ,得得A=180A=180-(B+C).-(B+C).【自

15、主解答】【自主解答】(1)(1)选选A.A.由正弦定理有由正弦定理有 得得BC=3- .BC=3- .故选故选A.A.(2)A=180(2)A=180-(B+C)=180-(B+C)=180-(60-(60+75+75)=45)=45, ,由正弦定理由正弦定理 得得b=b=由由 得得c=c=ABBCsin Csin A，3basin Bsin A，asin B8 sin 604 6sin Asin 45，acsin Asin C，268asin C8 sin 7544( 3 1)sin Asin 4522 【方法技巧】【方法技巧】已知两角一边解三角形的思路已知两角一边解三角形的思路(1)(1)

16、若所给边是已知角的对边时若所给边是已知角的对边时, ,可由正弦定理求另一角所对边可由正弦定理求另一角所对边, ,再由三角形内角和定理求出第三个角再由三角形内角和定理求出第三个角. .(2)(2)若所给边不是已知角的对边时若所给边不是已知角的对边时, ,先由三角形内角和定理求出先由三角形内角和定理求出第三个角第三个角, ,再由正弦定理求另外两边再由正弦定理求另外两边. .【变式训练】【变式训练】在在ABCABC中中, ,已知已知a=10,B=75a=10,B=75,C=60,C=60, ,试求试求c c及及ABCABC的外接圆半径的外接圆半径R.R.【解析】【解析】因为因为A+B+C=180A+

17、B+C=180, ,所以所以A=180A=180-75-75-60-60=45=45. .由正弦定理由正弦定理, ,得得 =2R, =2R,所以所以c=c=所以所以2R=2R=所以所以R=5 .R=5 .acsin Asin C310a sin C25 6.sin A22a1010 2.sin A222【补偿训练】【补偿训练】一个三角形的两个角分别等于一个三角形的两个角分别等于120120和和4545, ,若若4545角所对的边长是角所对的边长是4 ,4 ,那么那么120120角所对边长是角所对边长是( () )A.4 B.12 C.4A.4 B.12 C.4 D.12 D.12【解析】【解析

18、】选选D.D.由正弦定理可得所求边长为由正弦定理可得所求边长为 sin120sin120=12.=12.334 6sin 456类型二类型二 已知两边和一角解三角形已知两边和一角解三角形【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014湖北高考湖北高考) )在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c.a,b,c.已知已知A= ,a=1,b= ,A= ,a=1,b= ,则则B=B=. .(2)(2)在在ABCABC中中,c= ,C= ,a=2,c= ,C= ,a=2,求求A,B,bA,B,b6336【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)欲

19、求欲求B B的大小的大小, ,需先知道什么条件需先知道什么条件? ?2.2.题题(2)(2)可按什么顺序求解此三角形可按什么顺序求解此三角形? ?【探究提示】【探究提示】1.1.欲求欲求B B的大小的大小, ,可根据条件并结合正弦定理求出可根据条件并结合正弦定理求出sinBsinB的大小的大小, ,再根据再根据B B的范围求出角的范围求出角B.B.2.2.可根据条件先求出可根据条件先求出sinA,sinA,进而求出角进而求出角A,A,再求角再求角B,B,最后求最后求b.b.【自主解答】【自主解答】(1)(1)由正弦定理由正弦定理 得得sinB= sinB= 又又B B 且且ba,ba,所以所以

20、B= B= 或或 . .答案答案: : 或或absin Asin B，bsin A3a2，5(0)6，323323(2)(2)因为因为 所以所以sinA=sinA=因为因为ca,ca,所以所以CA.CA.所以所以A= .A= .所以所以B=B=acsin Asin C，asin C2.c2456 sin5csin B12b3 1.12sin Csin3， 【方法技巧】【方法技巧】已知两边一角解三角形的方法已知两边一角解三角形的方法(1)(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. .(2)(2)如果已知的角为大边所对的角时如果已知的角为大边所对的角时, ,由

21、三角形中大边对大角由三角形中大边对大角, ,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角, ,由正弦值可由正弦值可求锐角求锐角. .(3)(3)如果已知的角为小边所对的角时如果已知的角为小边所对的角时, ,则不能判断另一边所对的则不能判断另一边所对的角为锐角角为锐角, ,这时由正弦值可求两个角这时由正弦值可求两个角, ,要分类讨论要分类讨论. .【知识拓展】【知识拓展】已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数的已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数的方法方法(1)(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断应用三角形中大边对大角的性质以及正

22、弦函数的值域判断解的个数解的个数. .(2)(2)在在ABCABC中中, ,已知已知a,ba,b和和A,A,以点以点C C为圆心为圆心, ,以边长以边长a a为半径画弧为半径画弧, ,此弧与除去顶点此弧与除去顶点A A的射线的射线ABAB的公共点的个数即为三角形的个数的公共点的个数即为三角形的个数, ,解的个数见下表解的个数见下表: :A A为钝角为钝角 A A为直角为直角A A为锐角为锐角abab一解一解一解一解一解一解a=ba=b无解无解无解无解一解一解ababsinAabsinA两解两解a=bsinAa=bsinA一解一解absinAab,ab,所以所以AB,BAB,B为锐角为锐角,B=

23、30,B=30. .C=180C=180-(A+B)=105-(A+B)=105. .由正弦定理由正弦定理 得得c=c=【误区警示】【误区警示】本题易出现忽略本题易出现忽略abab而导致角而导致角B B有两解的错误有两解的错误. .acsin Asin C，asin C2sin 10562.sin Asin 452【补偿训练】【补偿训练】1.1.ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,a,b,c,若若c= ,b= ,B=120c= ,b= ,B=120, ,则则a a等于等于( () )A. B.2 C. D.A. B.2 C. D.【解析】【解析】选选

24、D.D.由正弦定理由正弦定理因为因为cbcb所以所以CB,CAC,ABAC,所以所以CB,CB,所以所以C=60C=60或或120120, ,故故ABCABC有两个解有两个解. .3ABACsin Csin B，13ABsin B32.AC12类型三类型三 三角形形状的判断三角形形状的判断【典例【典例3 3】(1)(1)在在ABCABC中中,sinA=sinB,sinA=sinB,则则ABCABC是是( () )A.A.直角三角形直角三角形B.B.等腰三角形等腰三角形C.C.等边三角形等边三角形D.D.锐角三角形锐角三角形(2)(2)在在ABCABC中中, ,若若sinA=2sinBcosC,

25、sinA=2sinBcosC,且且sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C,C,试判试判断断ABCABC的形状的形状. .【解题探究】【解题探究】1.1.在题在题(1)(1)ABCABC中中, ,若若sinA=sinB,sinA=sinB,则则A A与与B B一定相一定相等吗等吗? ?2.2.在题在题(2)(2)ABCABC中中, ,由由sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C C能得出什么结论能得出什么结论? ?【探究提示】【探究提示】1.1.一定相等一定相等. .因为若因为若A+B=180A+B=180, ,与三角形内角和与三

26、角形内角和定理矛盾定理矛盾. .2.2.结合正弦定理结合正弦定理, ,由由sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C C得出得出a a2 2=b=b2 2+c+c2 2, ,从而有从而有A=90A=90. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选B.B.由正弦定理由正弦定理 =1,=1,可得可得a=b.a=b.所以所以ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .(2)(2)在在ABCABC中中, ,根据正弦定理根据正弦定理 =2R.=2R.因为因为sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C,C,所以所以即即a a2 2=b=b2 2+

27、c+c2 2. .所以所以A=90A=90, ,所以所以B+C=90B+C=90. .asin Absin Babcsin Asin Bsin C222abc()()()2R2R2R，由由sinA=2sinBcosC,sinA=2sinBcosC,得得sin90sin90=2sinBcos(90=2sinBcos(90-B),-B),所以所以sinsin2 2B= .B= .因为因为B B是锐角是锐角, ,所以所以sinB= ,sinB= ,所以所以B=45B=45,C=45,C=45. .所以所以ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .1222【延伸探究】【延伸探究】若本例若本例(

28、2)(2)中的条件中的条件“sinA=2sinBcosC”sinA=2sinBcosC”改为改为“sinsin2 2A=2sinBsinC”,A=2sinBsinC”,其他条件不变其他条件不变, ,试判断试判断ABCABC的形状的形状. .【解析】【解析】由由sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C,C,得得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .所以所以A=90A=90. .因为因为sinsin2 2A=2sinBsinC,A=2sinBsinC,所以所以a a2 2=2bc,=2bc,所以所以b b2 2+c+c2 2=2bc.=2bc.所以所以b=c

29、,b=c,所以所以ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .【方法技巧】【方法技巧】判断三角形形状的两种途径判断三角形形状的两种途径(1)(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系利用正弦定理把已知条件转化为边边关系, ,通过因式分解、通过因式分解、配方等得出边的相应关系配方等得出边的相应关系, ,从而判断三角形的形状从而判断三角形的形状. .(2)(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系, ,通过三角函数恒等变形得出内角的关系通过三角函数恒等变形得出内角的关系, ,从而判断出三角形的从而判断出三角形的形状形状, ,此时

30、要注意应用此时要注意应用A+B+C=A+B+C=这个结论这个结论. .在两种解法的等式变在两种解法的等式变形中形中, ,一般两边不要约去公因式一般两边不要约去公因式, ,应移项提取公因式应移项提取公因式, ,以免漏解以免漏解. .【变式训练】【变式训练】在在ABCABC中中, ,已知已知acosA=bcosB,acosA=bcosB,试判断试判断ABCABC的形的形状状. .【解析】【解析】设设 =k,=k,由由acosA=bcosB,acosA=bcosB,得得ksinAcosA=ksinBcosB,ksinAcosA=ksinBcosB,所以所以sin2A=sin2B.sin2A=sin2B.所以所以2A=2B2A=2B或或2A+2B=1802A+2B=180, ,即即A=BA=B或或A+B=90A+B=90. .所以所以ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形. .【误区警示】【误区警示】在解三角形时在解三角形时, ,要注意分类讨论要注意分类讨论, ,否则会漏解否则会漏解. .basin Bsin A【补偿训练】【补偿训练】在在ABCABC中中, ,