高等数学课件：8-2 数量积 向量积 混合积

1、2022-1-121第二节 数量积 向量积 *混合积 第八章第八章 （Scalar Product, Vector Product and Mixed Product of Vectors）四、小结与思考练习四、小结与思考练习一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积*三、向量的混合积三、向量的混合积2022-1-1221M一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s2022-1

2、-123,0时当a上的投影为在ab记作记作故,0,时当同理babj rPb2. 性质性质为两个非零非零向量, 则有Prjabcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba2022-1-124(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc()abbabcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacbPrj ()cab3. 运算律运算律2022-1-1

3、25ABCabccos2222abbac证证:则cos2222abbac如图 . 设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,例1 证明三角形余弦定理2022-1-126设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,5. 两向量夹角的余弦的坐标表示两向量夹角的余弦的坐标表示 , 得4. 数量积的坐标表示数量积

4、的坐标表示2022-1-127)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故例例2 已知三点2022-1-128二、两向量的向量积引例引例 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 2022-1-129定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设

5、ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右图三角形面积abba21S1. 定义定义2022-1-1210为非零向量, 则，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:2. 性质性质2022-1-1211)(kajaiazyx)(kbjbibzyx设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(

6、kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式2022-1-1212kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式计算见行列式计算见 课本附录课本附录) 向量积的行列式计算法2022-1-1213, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积。解解: 如图所示,CB

7、ASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三例3 已知三点2022-1-1214解解: 记368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj1(8 03)73, , bb1(8 03)73, , bb2022-1-1215证明证明: 由三角形面积公式ABACSABC21BCBA21CACB21AcbsinBacsinCbasin因ABACBCBACACBBbAasinsinCcsin（注意与课本证法不一样）（注意与课本证法不一样）2022-1-12

8、16内容小结设1. 向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa（结果是一个标量）（结果是一个标量）叉积叉积:kjixayazaxbybzbba2022-1-12172. 向量关系向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba课后练习习题习题8-2 1；3；6；8；92022-1-1218思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .ba,2jibkjia,baba及2. 已知向量的夹角,43ba ,且.

9、 |ba 求, 2|a, 3|bABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .3.答案答案答案答案答案答案2022-1-1219)3, 1, 1 (,321cos1211sin,1baba1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .ba,2jibkjia,baba及答案答案2022-1-122022343cos322)2(17解：解：2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba2. 已知向量的夹角,43ba ,且. |ba 求, 2|a, 3|b2022-1-122122200)2(211ABCD3.在顶点为三角