巧用旋转法解几何题

1、巧用旋转法解几何题巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图 形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等 于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的 线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要 用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证 题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、 等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何 证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。例1.如图，在RtZXABC中,点，E, F分别AC和BC上, 求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看,NC=

2、90。，D 是 AB 的中 且 DE1DF,令人联想到勾股定理,但注意到EF, AE, BF三条线段不在同一个三角形中,由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将 BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形， 问题便迎刃而解。证明：延长FD到G,使DG=DF,连接AG, EG2yG . AD=DB / ADG= BDF ./ADG3/BDF (SAS . / DAG= DBF BF=AG .AG/1 BC/ C=90EAG=90 . EG=AE+AG=AE2+BF2/DEL DF .EG=EFeF=aE+bF例 2,如图 2,在/ABC中，/ACB=90 , AC=BC P 是/ABC内

3、一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/BPC勺 度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一 个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故 可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于/ ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C为旋转中心。解：作 MCL CP 使MC=CP连接PM BM . /ACB=90 ) / PCM=90，/ 1=/ 2; AC=BC = / CA国 / CBM(SAS . MB=AP=3 , PC=MC / PCM=90 . / MPC=45由 勾 股 定PM = =PCMC =V2PC2 =2我)在/MP冲，pB+pM= (2”)2+12=9=BM丁/M

4、P喔直角三角形 /BPCW CPM+ MPB=45 +90° =135°例3,如图3,直角三角形 ABC中，AB=AC/BAC=90 , Z EAF=45 ,求证：eF=bE+cF分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接 用勾股定理，可通过旋转变换将 BE, CF转移到同一 个直角三角形中，由于/ BAC是等腰直角三角形，不 妨以A为旋转中心，将/ BAE和/CAF合在一起，取 零为整。证明：过 A作APIAE交BC的垂线CP于P,连结PF , / EAP=90 )/ EAF=45.二 / PAF=45 , / BAC=90 . / BAEWPAC; AB=AC. /

5、B=/ ACB=/ ACP=45，/AB草 /ACP (ASA，PC=AE, AP=AE，/AEF/APF (SAS .EF=PF故在 Rt/PCF中,pP=cF+pC,即 eF=cF+aE例4,如图4,正方形ABC冲，E, F分别在ARDC上，且/ EBF=45 , BML EFT M,求证：BA=BM分析：本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有化45°角，可利用相同的方法，将/ ABE和/CBF“散为整”来构造全等三角形。证明：延长FC到N,使CN=AE 连结BN四边形ABC奥正方形 .AB=AC / BAC=90 / EBF=45 °. / ABE+/CBF=45由/

6、AB。/CB用口 BE=BN /CBN=ABE/CBN+CBF=45 ,即/ EBW NBF 又 BE=BN BF=BF ，/EB监/NBF(SAS，BM=BC.BM=BA例5、如图6,五边形ABODES, AB= AE, BO+ DE= OR / ABO / AED=180° o 求证：/ ADtE= /ADO解析：条件中有共点且相等的边 AE和AB,可将A ADEI乂点A为中心，顺时针方向旋转/BAE的角度到 AFB的位置，如图7。这宗使已知条件/ ABO /AED= 180°和BC+DE= CD1过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。由 4AD孳 AAFES,彳4/A

7、ED= /ABF / ADE= Z AFB,ED= BF, AF= AD由/ABO / AED= 180° ）得/ ABO / ABF= 180°。所以G B、F三点共线。又 OD= BC+ DE= BU BF= OF,故/ OFD= / CDF 由 AF= AD,得到/ DFA= /FDA. / ADE = / AFB = / OFD + / DFA = / CDF+ / FDA = / ADO o例6、如图，P是等边三角形AB8的一个点，PA=ZPB=2./3, PC=4 求 ABC的边长。分析：PA PR PC比较分散，可利用旋转将PA PR PC放在一个三角形中，为

8、此可将 BPA绕B点逆时 针方向旋转60°可得 BHG解：把ABPA B点逆时针方向旋转60°得至IJZXBHC因为 BP=BH Z PBH=60所以 BP偎等边三角形时以/ BPH=60 ,所以 BP=PH2V3又因为 HC=PA=2 PC=4所以 PC J HP J HCa所以HC羯RtZ所以/ CHP=90又因为HC=2 PC=4所以/ HPC=30又因为/ BPH=60 ,所以/ CPB=90在 RtZXBPC中，BC2 = BP。PC J Q 忑Y +42= 12+16=28,BC 2万）那么 ABC的边长为2行。例7、如图2, O是等边三角形ABC内一点，已知：

9、 /AOB=115 , / BOC=125 ,则以线段 OA OB OC 为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将 BO凝B点按逆时针方向旋转60°可得 BMA因为 BO=BM / MBO=60 所以ABO娓等边三角形， 所以/ 1=2 2=60°又因为/ AOB=115 ,所以/ MOA=55又因为/ AMB= COB=125所以/ AMO=65又因为 AM=OC MO=BO所以AMQE好是以AO OC BO为边组成的三角形 所以/ MAO=180 (55° +65° ) =180° 120° =60°即：以线段OA OB

10、 OC为边构成三角形的各角的度数分别为 55°、65°、60°例8、如图4, P是正方形ABCD一点，将 AB隙点B顺时针方向旋转能与cbp'重合， 若PB=3求pp'的长。分析：将4人8噬点B顺时针方向旋转能与cbp'重合，实际上就是把 ABP顺时针方向旋转90可得 CBP; 即 PBP' 90° 。解：因为BP BP', PBP' 90° o所以PP' BPPP'B2<32""32 3v,2 o例9、如图5, P为正方形ABC加一点，且PA PB:PC

11、=1 2: 3,求/APB的度数。分析：PA PB: PC=1 2: 3,不妨设PA=1, PB=2 PC=3而这些条件较分散，可设法把PA PB PC相对集中起来即把 BC畸B点顺时针方向旋转90°得到 BAE解：因为 BP=BE / PBE=90所以PE2 22 22)所以PE 2 2又在 APE中,AE CP 3, PA2 PE2 AE2即 12 (2 2)2 32所以/ APE=90即/APB=90 +45° =135°所以/ APB=135例10、如图，正万形ABCD勺边长为1, AB AD上各 存一点P、Q若APQ勺周长为2,求/ PCQ勺度数。解：把 CD选点C旋转90因为 AQ+AP+QP=2又 AQ+QD+AP+PB=2到 CBF勺位置，CQ=CF所以 QD+BP=QP又 DQ=BF 所以 PQ=PF所以QCP FCP所以/ QCP= FCP又因为/ QCF=90 ,所以/