高等数学：1-6 无穷小的比较

1、第六节第六节 无穷小的比较无穷小的比较 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都都是是无无穷穷小小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在 );(, 0lim)1( o 记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设定义定义;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同

2、阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC; , 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地 .),0, 0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCCk 解解3 :0,4 tan.xxxx例1 证明 当时为 的四阶无穷小430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx .sintan,0 2的阶数的阶数关于关于求求时时当当例例xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小

3、为为xxx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当x用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:, 1lim , 0lim ),( o 即即).( o 于于是是有有例如例如,).(sinxoxx ,sinxx,arcsinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx ,1xex .21cos12xx 等价无穷小替换等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证明证明 lim)lim( limlimlim.lim 20tan 2 lim.1 cosxxx例3 求解解,0时时当当 x22

4、021)2(limxxx. 8 ,21cos12xx .22tanxx xxxcos12tanlim20 30tansin lim.sin 2xxxx例4 求解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx.161 xxxx2sinsintanlim30注意：对于代数和中各无穷小不能分别替换注意：对于代数和中各无穷小不能分别替换. . 0tan5cos1 lim.sin3xxxx例5 求解解,55tanxx.33sinxx,21cos12xx 原式原式.35 )3sincos13sin5tan(lim0 xxxxx xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 xxxxxx32lim35lim200 01tan1tan lim.1xxxxe例6 求解解1 ,xex(1)1