高等数学：D12_5幂级数的应用

1、第五节第五节 一、近似计算一、近似计算 二、欧拉公式二、欧拉公式函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 一、近似计算一、近似计算mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 计算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精确到282811811131!254134105 . 013431518231!254112331!35941解解: 553243240514)1(331)11(432)1ln(432xx

2、xxxx例例2. 计算2ln的近似值 ,使准确到.104解解: 已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展开式中取前四项, 说明说明: 在展开式xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此递推公式可求出任意正整数

3、的对数 . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n为自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3. 利用,!3sin3xxx求9sin误差. 解解: 先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin误差不超过 510的近似值 , 并估计91802015643. 0( 取 例例4. 计算积分xexd21201的近似值, 精确

4、到)56419. 01解解:12xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n!3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn则 n 应满足4nxexd22120则所求积分近似值为欲使截断误差5205. 0,4n取例例5. 计算积分xxxdsin10的近似值, 精确到.104解解: 由于, 1sinlim0 xx

5、x故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 005556. 01上连续, 且有幂级数展开式 :!7714103 . 03528019461. 0二、欧拉二、欧拉(Euler)公式公式)(1nnnviu 则称 收敛收敛 , 且其和为)(1nnnviu 绝对收敛,1nnu)(1nnnviu 收敛 .,1uunn,1vvnn若nnnviu 1. viu 221nnnvu 收敛,若对复数项级数,22nn

6、nvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛则称 绝对收敛绝对收敛. 由于, 故知 定义定义: 复变量yixz的复数项级数)(!1!2112zznzzn易证它在整个复平面上绝对收敛，记为 ez.当 y = 0 时, 它与实指数函数xe当 x = 0 时,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的幂级数展式一致.xixexisincosxixexisincos（欧拉公式）2cosxixieex（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyoyixzyixzsincosirier则ieexxixi2sin据此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法, 不难验证2121zzzzeee特别有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyexxerxxyyoyixz欧拉欧拉 (1707 1783)瑞士数学家. 他写了大量数学经典著作, 如无穷小分析引论 , 微 还写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域