高等数学：1-7 无穷小量的比较

1、11.7 1.7 无穷小量的比较无穷小量的比较2例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim0， 20limxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 比值极限不同比值极限不同, 反映了两者趋向于零的反映了两者趋向于零的“快快慢慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx, 0 , 1 观察各极限观察各极限.2要慢得多要慢得多比比xx3,0limCk定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则

2、称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作4例如例如 , 当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且5例例1. 证明: 当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb6定理定理1.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如

3、例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx7定理定理2 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052等价代换原理：等价代换原理：8推论：推论：，设设 lim lim limlim lim存在，则存在，则且且 lim limlim证明证明例例解解xxx1sinlim 求求11lim xxx原式原式）时，时，（xxx11sin 9,0时时当当x,sinxx,tanxx，221cos1xx ,arcsinxxxx arctan常用等价无穷小常用等

4、价无穷小xnxn11)1 (1 10则则有有若若对对于于某某极极限限过过程程有有, 0)(lim x , )()(sinxx , )()(tanxx ，)(21)(cos12xx , )()(arcsinxx )()(arctanxx 常用等价无穷小常用等价无穷小( (一般形式一般形式) )(11)(1 (1xnxn 11例例2 2.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当2202/1)2(limxxx 原式原式.8 等价代换的应用等价代换的应用 121)1sin(lim21 xxx求求例例3 3解解2)1(lim11lim121 xxx

5、xx原式原式)1()1sin(122 xxx时时，例例4 4解解.1111lim30 xxx求求231lim0 xxx 原式原式.32 xnxn11)1 (1 13 等价无穷小代换只能用于乘、除的极等价无穷小代换只能用于乘、除的极限运算中才能替换，在加、减项中限运算中才能替换，在加、减项中不要不要代代换，在复合函数中也换，在复合函数中也不要不要代换！代换！注意注意14例例5 5.sintanlim30 xxxx 求求解法一解法一xxxxsin,tan30limxxxx 原原式式. 0 解法二解法二)cos1(tansintanxxxx ,213x33021limxxx 原原式式.21 15.)cos1cos(1lim40 xxx 求求例例6 6解解42021cos1limxxx 原式原式，221co