高等数学：11_1对弧长和曲线积分

1、第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十一章 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“分割, 近似, 求和, 取极限”kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存

2、在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一型曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1

3、, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.3. 性质性质(2)( , , ) df x y zs(3)( , , )dk f x y zs（k 为常数)(4)( , , )df x y zs( 由 组成) 21, ),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(21d),(d),(szyxfszyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若 f (x, y, z)在光滑曲线( , , )df x y zs存在。上连续，则(6)dsl( l 为曲线弧 的长度)(5) 设在

4、 , , ,f x y zg x y z上( , , )d( , , )df x y zsg x y zs则则特别的，特别的，( , , )d( , , ) df x y zsf x y zs注注：(1) 曲线积分没有中值定理。曲线积分没有中值定理。(2)第一型曲线积分有奇偶对称性和轮换对称性第一型曲线积分有奇偶对称性和轮换对称性tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算公式二、对弧长的曲线积分的计算公式基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证: 略是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存

5、在Lsyxf求曲线积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 220tt其中，xdydsdxyo说明说明:(1) 公式中的积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 可用曲线可用曲线 L 的方程代入被积函数以简化计算；的方程代入被积函数以简化计算；(4) 其他公式如果曲线 L 的方程为( ) (),xycyd则有Lsyxfd),( ( ), )dcfyy21( )dyy如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfL

6、d),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为:( ),( ),( ) ()xtytztt 则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.

7、计算Lxy ds x + y = 1ABO例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin

8、(222)20(,sin,costtkztaytax线机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 例5中 改为0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 则sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda20, 如何机动 目录 上页 下页 返回 结束 dZ s dYs

9、 dXs 1d3XYZs 10d3s = 0d d s例例6. 计算,d)(222szyxI其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(2092d182d2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则机动 目录 上页 下页 返回 结束 92Ids内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxf

10、szyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧:( ),( ), (),L xtytt Lsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧22( )( )dtttxx d)(12d)()(22rr ( ),( )ftt机动 目录 上页 下页 返回 结束 （极坐标）（极坐标）思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用奇偶对称性，知机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo备用题备用题1. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段积分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202机动 目录 上页 下页 返回