高等数学课件：1-3 函数的极限

1、2022-1-121第三节 函数的极限(Limits of Functions) 第一章第一章 在前一节我们讨论了数列的极限， 本节主要介绍一般函数的极限以及其性质二、函数极限的性质二、函数极限的性质一、函数极限的定义一、函数极限的定义2022-1-122一、函数极限的定义2022-1-1231.自变量趋于自变量趋于无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限(Limits Involving Infinity)2022-1-1242022-1-125定义定义1可简单地表达为：可简单地表达为：lim( )xf xA,0X,)(,AxfXx有时当AxfA)(XxXx或,0XXAAoxy)(xfy A几何

2、解释几何解释:补充定义补充定义直线直线 y = A 为曲线为曲线)(xfy 的的水平渐近线水平渐近线2022-1-126x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线直线 y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) 的渐近线的渐近线 .Axfx)(lim,0,0X当当Xx 时时, 有有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当当Xx时时, 有有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线都有水平渐近线. 1y又如，又如，oxyx21x21两种特殊情况两种特殊情况 :2022-1-127sinlim0.xxx证

3、证:sin0 xxsin xx例例1 证明证明1|x取取,1X,时当Xx sin0 xx因此因此sinlim0 xxx就有就有故故,0欲使欲使sin0,xx即即,1x注注:0y 是是sin xyx的水平渐近线的水平渐近线.2022-1-1282.自变量趋于自变量趋于有限值有限值时函数的极限时函数的极限.(Limits Involving Finites)xyO1122122022-1-129（1） 双侧极限双侧极限 (Two-sided Limits)00 xxx0 x0 x0 x2022-1-1210,0,0当),(0 xx时, 有 Axf)(2022-1-12110 x0 xAAAx0 x

4、y)(xfy 2022-1-121221lim(25)4xxx例例2 证明证明证证:( )f xA2(25)4xx2|21|xx2|1|x欲使欲使,0,)( Axf只要只要|1|x取取,则当则当10 x时时 , 必有必有2( )|(25)4|f xAxx因此因此21lim(25)4xxx2022-1-1213239lim63xxx证证:例例3 证明证明函数在点函数在点x=3处没有定义处没有定义.Axf)(2963xx36x 故故,0取取,当当03x时时 , 必有必有3x2963xx因此因此239lim63xxx2022-1-121400 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使欲使,0且且

5、. 0 x而而0 x可用可用0 xx因此因此,)( Axf只要只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时时00 xxxx故取故取,min00 xx则当则当00 xx时时,00 xxx保证保证 .必有必有ox0 xx例例4 证明证明: 当当2022-1-1215（2）单侧极限）单侧极限(One-sided Limits)左极限左极限 (Left Limits) :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)( Axf右极限右极限(Right Limits) :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)(

6、Axf定理定理 1Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim002022-1-1216证：证：利用定理利用定理1，知，知2022-1-12170,10,00, 1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理1 . 因为因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然显然, )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .例例6 设函数设函数2022-1-1218二、函数极限的性质定理定理2 (函数极限的唯一性）函数极限的唯一性）

7、定理定理3 (函数极限的函数极限的局部局部有界性有界性) 证：证：|( )|f x|( )|f xAA|( )|f xAA1 |A 2022-1-1219若若,)(lim0Axfxx且且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知已知,)(lim0Axfxx即即,0, ),(0 x当当时时, 有有.)(AxfA当当 A 0 时时, 取正数取正数,A则在对应的邻域则在对应的邻域上上. 0)(xf( 0)(A则存在则存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(定理定理4 （函数极限的函数极限的局部局部保号性保号性）20

8、22-1-1220AxfA)(:0A:0A若取若取,2A则在对应的邻域则在对应的邻域上上 若若,0)(lim0Axfxx则存在则存在使当使当时时, 有有.2)(Axf23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:推论推论12022-1-1221证证: (反证法)则由定理 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)存在假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf2022-1-1222定理定理5 海因定理海因定理（函数极限与数列极限的关系（函数极限与数列极限的关系)条件：条件：（1）（2）结论：结论：（1）（2）2022-1-1223内容小结1. 函数极限的函数极限的或或X定义及应用定义及应用2. 函数极限的性质函数极限的性质:与与左右极限左右极限等价定理；等价定理；唯一性定理；唯一性定理；局部局部有界性；有界性；函数极限的函数极限的局部局部保号性保号性 ；海因定理海因定理（函数极限与数列极限的关系（函数极限与数列极限的关系)2022-1-1224思考与练习1. 若极限若极限0lim( )xxf x存在存在,)()(li