八年级同步第17讲：函数的表示法(1)(教案教学设计导学案)

1、函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容， 主要对函数的三个表示法进行 讲解，重点是实际问题的函数表示法， 难点是数形结合思想的应用的归纳总结 通 过这节课的学习为我们后期学习函数的应用提供依据1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式） 简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示例1】 填空：两个变量之间的依赖关系用 _来表达，这种表示函数的方法叫做解析法；【难度】答案】数学式子解析】略总结】考查函数解析法的基本概念【例2】 已知汽车驶出A站3千米后

2、，以40千米小时的速度行驶了40分，请将这段时间 内汽车与A站的距离（km）表示成（时）的函数.【难度】【答案】【解析】路程=速度X时间，可知汽车行驶路程与的关系即为，由此汽车与A站的距离，本题注意函数自变量取值范围，汽车运动时间为40分，单位换算即为，由此可得【总结】 考查函数解析式的求法， 根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意函数定义域【例3】 若某人以每分钟100米速度匀速行走，那么用行走的时间x（分）表示行走的路程y（米）的解析式为 _ ，这样行走20公里需要_小时.【难度】【答案】，【解析】路程=速度X时间，可知行走路程y与x的关系即为，行走20公里，注意 单位换算，

3、令，解得， 【总结】 考查函数解析式的求法， 根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注意题目中的单位统一，进行单位换算【例4】 已知物体有A向B作直线运动，A与B之间的距离为20千米，求运动的速度v（千 米/时）与所用时间t（小时）的函数解析式.【难度】答案】【解析】路程=速度X时间，得速度=路程十时间，即路程一定的情况下，运动速度与运动 时间成反比，则运动速度与所用时间关系即为总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算【例5】 两个变量x、y满足：，则用变量x来表示变量y的解析式为_【难度】答案】解析】由，即得，则有总结】利用等式的性质进行变形即可【

4、例6】 若点P（x,y）在第二、四象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数解析式为 _ 【难度】答案】解析】点P（x，y） 在二、四象限角平分线上，则角平分线与坐标轴夹角即为，过点向坐标轴作垂线，即可得，点在二、四象限，根据象限内点的正负性可知总结】二、四象限的角平分线表示直线，一、三象限的角平分线表示直线【例7】 一司机驾驶汽车从甲地去乙地， 以80千米小时的平均速度用6小时到达目的地(1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度v(千米/小时)与时间t(小时)之间 的函数关系式；(2)如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回的速度【难度】【答案】(1)；(2)【解析】(1)路程=速度X时

5、间，得速度=路程十时间，即路程一定的情况下，运动速度与 运动时间成反比，根据题意可得返回路程与去的行程相同，即为，则运 动速度与所用时间关系即为；(2)令，则有【总结】考查函数解析式的求法， 根据实际问题中相关等量关系结合题意即可求出函数关系， 根据题意代值计算即可例8】 收割机的油箱里盛油65，使用时，平均每小时耗油6(1)如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？(2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？(3)写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？(4)在此函数关系式中，求函数定义域【难度】答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1);

6、 (2);(3)收割机用油量=平均耗油量X工作时间，可知收割机耗油量即为，即得剩余油量(4)实际问题中，即得函数定义域为.【总结】考查函数解析式的求法，根据实际问题中相关等量关系结合题意即可进行计算，注 意函数定义域.1、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接 找到自变量对应的函数值， 查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来, 且难以看出规律.【例9】两个变量之间的依赖关系用列表来表达的，这种表示函数的方法叫做_ .【难度】【答案】列表法【解析】略【总结】考查函数的表示法中列表法的概念.【例10】一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国

7、际机场途中，记录了列车运行速度的变化情况，如下表:时间t(分)011.523455.5678速度v(千米/时)01462173003003003003002811210根据表中提供的信息回答下列问题：(1)在哪一段时间内列车的速度逐渐加快？(2)在哪一段时间内列车是匀速行驶的？在这一段时间内列车走了多少路程?(3)在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢？【难度】【答案】（1）02分钟时间段；（2）25.5分钟时间段，列车走了17.5千米；（3）5.58分钟时间段.【解析】分析图表可知，自变量是表示的时间t,函数表示的速度v,图表表示的是函数v和自变量t之间的依赖关系，观察表格可知：（1） 速度逐渐加

8、快的是02分钟时间段；（2） 匀速行驶的是25.5分钟时间段，注意单位换算，这段时间持续，列车行程即为；（3） 速度逐渐减慢的是5.58分钟时间段.【总结】考查列表法表示函数关系，考查读表能力，注意观察表格中变量和变量之间的联系.【例11】一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表:所售豆子数量x（千克）00.511.522.533.54售价y（元）012345678（1）_上表反映的变量是 _和_, _是自变量，是因变量，随_ 的变化而变化，_ 是_ 的函数.（2）_若出售2.5千克豆子，售价应为元.根据你的预测，出售 _千克豆子，可得售价21元（4）请写出售价与

9、所售豆子数量的函数关系式 _.【难度】【答案】（1）,；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）根据变量和函数的相关定义，即可判定和是变量，其中是自变量，是因变量，随的变化而变化，是的函数；（2）查看上表可知，；（3） 根据上表，可知每豆子的价格应为2元，21元可购得豆子；（4） 依据上表，可知豆子的单价为2元，根据总价=单价X数量，可知售价与所售豆子关 系式为：.【总结】把握相关定义，根据实际问题等量关系可求出函数解析式作出相应判断.【例12】按照我国的税法规定，个人所得税的缴纳方法是：月收入不超过3500元，免缴个人所得税；超过3500元不超过5000元，超出部分需缴纳5%的个人所得税；例如

10、F表:月收入(元)30003200360041004500月缴付个人所得税(元)0053050试写出月收入在3500元到5000元之间的个人缴纳的所得税(元)与月收入(元)之间的函数解析式，并求出月收入为4800元的职工每月需缴纳的个人所得税.(为正整数)【难度】【答案】，65元.【解析】月收入在3500元到5000元之间，超过3500元，超过部分即为元，这一部分要缴纳5%个人所得税，可知缴税额；令，即得元.【总结】纳税问题，要弄清楚是哪一部分需要缴税，以及对应的缴税比例，各个部分相加即为所应缴税额.【例13】一根弹簧不挂重物时长10厘米，当弹簧挂上质量为xkg的重物时，其长度用y表示，测得有

11、关的数据如下表:所挂重物的质量x(kg)1234弹簧的长度y(cm)10+0.510+1.010+1.510+2.0(1)写出弹簧总长度y(cm)随所挂重物质量x(kg)变化的关系式;(2)若弹簧所挂重物的质量为10千克，则弹簧的长度是多少？(3)所挂重物的质量为多少千克时，弹簧的长度是18cm?【难度】【答案】(1);(2);(3)【解析】(1)根据上表可知弹簧原长，即不挂重物时长度为，随着挂上重物，弹簧伸长的长度与所挂重物质量成正比，重物质量每增加，弹簧长度增加，所挂重物质量，弹簧伸长长度为，弹簧总长度弹簧原长+弹簧伸长长度； （2）令，；（3）令，解得【总结】 弹簧在弹性形变范围内伸长量

12、与所挂重物质量成正比， 长和伸长量的变化规律1、 图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的 对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函 数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体2、 三种表示法的相互联系与转化： 由函数的解析式画函数的图像， 一般分为 “列表、描点、 连线 ”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与 函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解例14】填空：1、两个变量之间的依赖关系用图像来表达的， 这种表示函数的方法叫做 _注意观察表格， 分清弹簧原

13、2、_ 、_ 、_ 是表示函数的三种常用方法；【难度】答案】1、图像法；2、解析法、列表法、图像法解析】略总结】考查函数的三种表示方法及相关概念例15】图中是某水池有水Q立方米与排水时间t小时的函数图像 试根据图像， 回答下列问题：(1)抽水前，水池内有水 _立方米；(2)抽水10小时后，水池剩水_立方米；(3)剩水400立方米时，已抽水_ 小时；(4)写出Q与t的函数关系式_【难度】 答案】（1)1000；(2)750；(3)24；4)解析】（1）直线与纵轴交点，即时， ， 可知水池有水；（2）根据函数图像，正好把水排干，可知每小时排水量为，则10小时后剩水量为；（3）剩水时，排水时间为；（

14、4）每小时排水量为，排干为止，由此可知Q与t的函数关系式即为，其中，即得： 【总结】 考查函数倾斜程度的意义， 本题中表示每小时排水量， 在作图精确的前提下也可根 据函数图像确定对应函数值【例16】 已知A城与B城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A城驶向B城，求：（1） 火车与B城的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系式；（2）t（小时）的取值范围；（3）画出函数的图象【难度】【答案】（1）；（2）；（3）图略【解析】（1）根据路程=速度x时间，可知火车驶离A城的距离即为，火车与B城的 距离；（2） 根据行程和时间的意义，可知，即得：t的取值范围为；（3）图像只是其中

15、一部分，注意取值范围【总结】 考查利用一般的等量关系来建立函数关系式解决问题，即把题目中的各个相关量分别列清楚然后进行相应计算例17】如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：1）谁走的快？（2）求甲、乙两个函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）当时，甲、乙两人行程差多少？【难度】答案】（1）甲；（2）甲：，乙：；（3）解析】（1）根据甲、乙行程函数图像，可知甲走，乙走，可知， ，可知甲走的快；（2）根据路程=速度X时间，即可知甲的函数解析式为，乙函数解析式为,其中自变量取值范围均为；3）时，即得甲乙行程差为：总结】考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度例18】小明早晨从家骑车到学校， 先

16、上坡后下坡， 行程情况如图所示， 若返回时， 上、下坡的速度不变，则小明从学校骑车回家用的时间是多少？【难度】答案】解析】由图像可知小明上坡速度为，下 坡速度为，返回时，先走上坡路，上坡时间为，后走下坡路，下坡时间为，即所用总时 间为总结】考查函数倾斜程度的意义， 本题中表示速度， 注意返程时上坡变下坡， 下坡变上坡例19】 为缓解用电紧张的矛盾， 某电力公司特制定了新的用电收费标准， 每月用电量 （单位：千瓦时）与应付电费（单位：元）的关系如图所示1）根据图像，请求出当时，与的函数关系式（2）请回答：若每月用电量不超过50千瓦时，收费标准是多少？若每月用电量超过50千瓦时，收费标准是多少?【

17、难度】【答案】（1）；（2）0.5元/千瓦时；0.9元/千瓦时.解析】（1）时，与是正比例关系，过点，由此可得：；（2）用电不超过50千瓦时，收费标准为元/千瓦时；用电超过50千瓦时，收费标准为元/千瓦时总结】考查分段计费函数中直线倾斜程度的意义，本题中表示电费单价【例20】甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程S（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑 所行的路程S（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为.（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；（2） 甲修车后行驶的速度是每分钟 _千米；（3）甲、乙两人在出发后，中途

18、 _ 分钟时相遇.【难度】【答案】（1）虚线图像即为所求；（2）；（3）24【解析】 （1）函数图像是一条经过原点的直线，终点与甲相同， 即如图所示虚线图像；（2）甲修车后行驶，即得甲速度为；（3）由图像可知甲骑自行车速度较快，甲乙在甲修车期间相遇，即此时乙的行程为， 令，即得.【总结】考查解读函数图像的能力， 同时考查函数倾斜程度的意义，本题中表示速度， 倾斜 程度变化即速度发生变化.例21】 汽车由天津驶往相距千米的北京， （千米）表示汽车离开天津的距离， （小时） 表示汽车行驶的时间如图所示1）汽车用几小时可到达北京？速度是多少？2） 汽车行驶1小时，离开天津有多远？3） 当汽车距北京2

19、0千米时，汽车出发了多长时间？【难度】【答案】（1）,;（2）;（3）. 解析】（1）由图像可知汽车行驶，即到达北京，汽车 速度为；2）汽车速度为，即得行程与时间函数关系式为，令，得；3)距北京，即行程为，令，解得总结】考查函数图像倾斜程度的意义，本题表示汽车速度【例22】一农民带了若干千克土豆进城销售， 为了方便他带了一些零钱备用， 按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数x与手中持有的钱数y(含备用零钱)的关系式如下图所示，结合图像解答下列问题：(1)农民自带的零钱是多少？(2)降价前每千克土豆的出售价格是多少？(3)降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时 他手里的钱(含备用

20、零钱)是26元，问他一共带了 多少千克土豆？【难度】【答案】(1)5元；(2)；(3)【解析】(1)由函数图像可知，未售出土豆时，农民身上有5元钱，即自带了5元零钱；(2)降价前，农民卖出30千克土豆，身上的钱增加到20元，即卖得元，由此可得土豆单 价为；(3)最终农民身上有26元，即可得降价后土豆卖得元， 则降价的土豆数量为， 则农民带的 土豆总量为【总结】考查函数图像倾斜程度的意义，本题表示土豆单价，同时考查分段函数的计算【习题1】小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重如下表,你能看出小蕾各周岁时的体重是如何变化的吗？在哪一段时间内体重增加较快？【难度】【答案】小蕾的

21、体重随着年龄的增大而增重，增加较快的是1周岁到2周岁之间的时间.【解析】略.【总结】考查列表法表示函数，本题中体重是年龄的函数，但是不能通过解析式表示出来，确立对应关系即也可确定相关函数之间的关联性.【习题2】某工厂现在年产值为150万元，计划今后每年增长10万元，年产值y（万元）与年数x的函数关系式是_.【难度】【答案】.【解析】年产值=今年产值+增加产值，每年增长10万元，可知增加产值即为万元，即得年产值.【总结】考查函数解析式在实际问题中的利用.【习题3】某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元，写出应收门票费y（元）与浏览人数x（

22、人）之间的函数关系式.【难度】【答案】.【解析】依题意可知函数解析式分为两段：，总价=单价x数量，；时，票价分为两部分，即10元票价部分共25人，5元票价部分共人，可得.【总结】考查分段函数的解析式的求取，找准临界值，进行准确的分段即可解决问题.【习题4】等腰三角形顶角为度y,底角为x度，则x、y之间的函数关系式是 _【难度】周岁体重 (kg)7891011121325.628.531.234.037.641.244.9【答案】.解析】三角形为等腰三角形，可知三角形两底角相等，都为可得：，则有，其中 总结】考查等腰三角形的性质和内角和，得到函数解析式【习题5】在中，设P是BC上任一点，P点与B

23、、C不重合，且，若，则y与x之间的函数关系式是 _，自变量取值范围为 _【难度】答案】，解析】，则有，根据线段的实际意义，可知，即得自变量取值范围为总结】考查函数解析式的求解，利用代数式表示相关线段习题6】暑假后学校食堂采用了凭磁卡刷卡消费的形式， 小王9月1日购买磁卡并充值80元，每天中午在学校用餐，每次花3.5元设小王用餐次数为x,求当月卡内余额y（元） 与x的函数关系式已知小王每周在校5天，问：之后小王每月充值80元是否够用？【难度】【答案】，够用.【解析】余额=卡内金额-消费金额，消费金额=单价X消费次数，即为，可得，小王一周在校5天,一个月最多在校22天,因为9月是小月,最多在校22

24、天,后面 每个月都会有剩余，因此可知每月充值80元够用.【总结】考查函数解析式的求法，即在函数问题中的实际应用.【习题7】某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了两种优惠方法.A种方法：购买一支毛笔赠送一本书法练习本；B种方法：按购买金额打九折付款.某校为书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x10本.分别求出两种优惠方法下实际付款金额y（元）与x（本）之间的函数关系式.【难度】【答案】A:,B:.【解析】A种方法：付款金额分为两部分，毛笔需付金额和练习本需付金额，买10支毛笔x度，根据三角形内角和，赠送10本练习本,则实际付款金额应为；B种方法

25、：付款金额整体折扣，则付款金额=需付金额X折扣率，此种情况下即可得:【总结】方案问题，读清题意，注意函数的分段，计算得到相应实际应用.【习题8】小明暑假到黄岗山旅游， 导游提醒大家要多带一件衣服，并介绍当地山区气温会随海拔高度的增加而下降沿途小明利用随身带的登山表测得以下数据：海拔咼度x(m)400500600700气温y(C)28.628.027.426.8(1)观察和分析已知数据，探索y与x之间的函数关系式并验证；(2)如果小明告诉你山顶的气温为18.1C，你能求出黄岗山的海拔高度大约是多少吗?【难度】【答案】(1);(2).【解析】(1)观察图表可得高度每升高，温度下降，由此可得高度每升

26、高，温度下降，同时根据高处温度是，可得地面温度为：，可得y与x之间函数关系式是，将表中四组数据代入，该式均成立即可验证；(2)令，解得，即黄岗山海拔大约是.【总结】考查函数的应用，随着海拔的增高温度的变化.【作业6】某港湾某日受热带风暴影响，其风力变化记录如下表:【作业1】已知X、y满足关系式，用含x的代数式表示y,则y=_【难度】答案】解析】根据等式性质进行移项,即得,系数化1即得 总结】考查根据等量关系变形求函数解析式,利用等式的性质即可得到结果【作业2】在地球表面的一定高度内，每升高1千米，温度下降6C.已知地面温度为,设高度为h千米时的温度是t，则t与h之间的关系是 _.【难度】答案】

27、.【解析】高度为，即从地面升高，温度降低，地面温度为，则t与h之间的关系即为总结】考查函数的实际应用, 找清题目所求未知量之间的相互依赖关系是解决问题的关键【作业3】一辆汽车正常行驶时每小时耗8升,油箱现有52升汽油(1)如果汽车行驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q(升)与t(时)的关系式是 什么？(2)油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3)当t的值分别为1、2、3时，Q相应的值是多少？【难度】【答案】(1);(2);(3)44,36,28【解析】(1)汽车行驶t时，耗油量为升，则剩余油量； (2)令,解得,即汽车最多行驶；(3)令,得；令,得；令,得【总结】考查函数的实际应用, 找清

28、题目所求未知量之间的相互依赖关系是解决问题的关键, 具体求值类似代值计算即可进行求解【作业4】某河流受暴雨影响,水位不断上涨,下面是某天此河流的水位记录：时间（时）04812162024水位（米）22.534568（1）上表反映的是哪两个量之间的关系？自变量和因变量各是什么?（2）根据表格画了表示两个变量的折线统计图（3）哪段时间水位上升得最快？【难度】【答案】（1）时间与水位的关系，自变量是时间，因变量是水位；（2）如图：（3）20到24时之间水位上升最快.【解析】略【总结】考查函数的基本概念， 反映两个变量之间的依赖关系，本题表明一些函数不能用函数解析式表达但仍可以通过列表法等方法表示出来.【作业5】在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程s与时间t之间的关系如下表:时间t（秒）12345落下路程s（米）4.9 14.94.94.964.95（1）请根据表格中的数据写出时间t与物体落下的路程s之间的关系；（2）算出当t=4.5秒时，物体落下的路程.【难度】【答案】（