高等数学：D9_4复合求导

1、第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则多元复合函数的求导法则 )(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处可微, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz z则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则v vu ut

2、t有增量u ,v ,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(z zv vu ut tt t)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0) 0 , 0() 0 , 0(ufuz但复合函数),( ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100) 0 , 0 () 0 , 0 (vfvz可微可微减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022

3、vu则定理结论不一定成立.推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd2) 中间变量是多元函数的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxzyzz zz zw wv vu uv vu uy yx xy yx xt tt tt ttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu又如,),(, ),(yxvxuvufz当它们都具有可微条件时, 有xzyzf fz zuy yx xdxudufxvvfyvvfv v例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解

4、解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy y1x1 z zv vu uy yx xy yx x例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2z zy yx xy yx xu uyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2 yx cos2例例3. 设 ,sin tvuz.d

5、dtzz zt tv vu ut tt ttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos),(1zyxzyxf例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxww wv vu uz zy yx xz zy yx x),(vufw11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 fyxf 122fy zy121 fyxf 22(当 在二、三象限时, )xyarctan例例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(y yx xf fu u2

6、22222)2(,)()()1(y yu ux xu uy yu ux xu u解解: 已知 sin,cosr ry yr rx xu u r ry yx xy yx x极坐标系下的形式x xr rr ru ux xu u(1), 则x xy yy yx xr rarctan,22 rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxyx xu u 2ryur ru ur ru u sincosy yu uy yr rr ru u2221)(1,yxxyryyrxyxr ru ur ru u cossiny yu u 22222)(1)()()( u ur rr ru uy yu ux xu ur

7、 ry yr ru u2r rx xu u u u r ry yx xy yx x 已知r r sin)(r ru ur ru u sincos)(x xu ux x22)2(x xu ururuxusincosu r ry yx xy yx x)( r rx xu u)( x xu ur ru ur ru u sincos 222cosr ru u2cossinr ru u cosr r sinx xu ur rr ru u cossin22222sinr ru u 2r rr ru u 2sin2 cos)( r r注意利用注意利用已有公式已有公式22y yu u2222y yu ux x

8、u u21r r22x xu u22222222sincossin2cosr ru ur rr ru ur ru u r rr ru ur ru u 22sincossin2r rr ru ur ru u 22coscossin2同理可得22r ru u2221 u ur rr ru ur r122)( u ur ru ur rr rr r22222222coscossin2sinr ru ur rr ru ur ru u 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuz

9、d)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.)cos()sin( y yx x y yx xe ey yx x例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (ddzu uv ve eu udsin)cos()sin(y yx xy yx xy ye ey yx x)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinv vv ve eu udcos)cos()sin( y yx x y yx xe ey yx x)(dy yx x)(dy yx x)cos()sin(y yx xy yx xx xe ey yx x)d(dy yx xx xdy yd)dd(y yx xx xy y内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如,),(,),(y yx xv vv vy yx xf