工科数学分析：chap1-1预备知识

1、1第 章一元函数的极限与连续 1第 节预备知识 1.1.集合的概念及运算Ax记称为集合的元素。组成集合的对象质的对象的全体集合是具有某种确定性定义 .:无限集空集：有限集集合的类型：ABBABABABABABABA且相等与的真子集：是的子集：是集合间的关系：:全体正整数组成的集合 N合全体非零实数组成的集 R全体实数组成的集合 R常用的数集）组成的集合全体非负整数（自然数 N全体整数组成的集合 Z全体有理数组成的集合 Q全体复数组成的集合 C 后所得的集合，比如”去掉素“”表示将该集合内的元集合记号右下角加“0BCABBAABBABABAA记为的补集关于为则称特别，若差集交集并集：集合的运算：

2、,.:)( )( ,)( :)(,)( ,)( )()( )()()( ),()()( :)()(),()( :,:AIABABABABAABAAABAAAAAAAAAAACBCACBACBCACBACBCACBACBACBACBACBAABBAABBAccccccc对偶律吸收律：幂等律：分配律结合律交换律运算律：ByAxyxBADescartes,),(:,(）直积简称笛卡儿积积niRxxxxinn, 2 , 1,),(RRRR21的性质：有理数集 Q1.2.实数集 封闭性有序性稠密性实数集无理数集有理数集 的性质：实数集 R封闭性有序性稠密性完备性（下）的一个上界为则称有，使，若存在，且设

3、)(,RRALLxAxLAA1定义2定义则称使，）（，有）（，满足：，若存在，且设LxAxLxAxLAA00,02,1RRLAALsup的的上上确确界界，记记为为为为AAinf，记记为为的的下下确确界界类类似似地地定定义义1定理数数集集必必有有上上（下下）确确界界有有上上（下下）界界的的非非空空实实*区间 | ) , (:bxaxba开区间 |) , bxaxba| , (bxaxba | ) , (xaxa | ) , (bxxb | ) , xaxa | , (bxxbR | ) , (xx | , :bxaxba闭区间邻域 | | ) , (axxaN: 邻域的点a | 0| ) , (

4、axxaN: 邻域的去心点a),(aa),(aaa( ) a a0 ax( ) a a0 ax邻域半径邻域中心 a*1.3. n维空间 R,.,),.,(RRRR2121nnnxxxxxx定义加法与数乘如下：，设R,R),.,(,R),.,(n21n21nnyyyyxxxx点）维实向量(nn21n2211R),.,(R),.,(nnnxxxxyxyxyxyxnnRRxyx维实向量空间构成一个 nnR2222211)(.)()(),(nnxyxyxyQPn维空间中两点),.,(21nxxxP与),.,(21nyyyQ间的距离规定为 ),( | ) , (axxaN 邻域的a开区间),() , (

5、:RaaaN为半径的圆为圆心，以 ) , (:R2aaN为半径的球为球心，以 ) , (:R3aaN为一点集设nRA P为A的内点：存在P的一个邻域N(P), 使.)(APNP为A的外点：存在P的一个邻域N(P), 使.)(APNP为A的边界点：P的任何一个邻域中，既有A的内点， 又有A的外点.-A的边界AP为A的聚点：P的任何一个邻域中，至少含有A的异于 P的 一个点。 的聚点）是则称的无穷多个点，的任一邻域内总有中一点，为APAPRPn(A为区域: A为连通开集. 如21),(22yxyxA为闭区域: 区域连同它的边界. 如21),(22yxyxA为开集：A的各点都是内点.A为连通集: 对

6、任意的,21APP都可用一条包含在A内 的折线把P1,P2连起来.区域 A 的直径： ,),(sup2121APPPPd1.4. 函数1定义的值域fAxxfyyAf),()(, , B A f若有一个对应法则是两个非空数集和设相对应，与，有唯一的按照对应关系xByfx A, , 的定义域fA记为的一个映射到是则称 , BAf , )(: AxxfyxfBAf或 下的原像在映射为下的像，在映射为称fyxfxyBAf)(若为满射：f为单射：f)()( , A,212121xfxfxxxx有若为一一映射f1定义的值域fAxxfyyAf),()(, , B A f若有一个对应法则是两个非空数集和设相对

7、应，与，有唯一的按照对应关系xByfx A, , 的定义域fA记为的函数是或的函数是则称 ),)( xxfxy , )(Axxfy ,为因变量为自变量称yx一元实函数*AxxfgyxfgyBCCuAxxfuBuugy),)(:)(, ,),(;),( 或记为函数为它们两个函数的复合则称若而设:复合函数:反函数Byyfx，yx，ffyxfByAxxfy),(,),( ,),( 11记为：的函数为就确定了相反的对应关系则根据与一一对应与且根据对应关系设yuxgf的反函数我们称之为)(xfy xxffxxff)(,)(11且易知)()(,11xfyyfx改记为我们把在习惯上之间的关系：与半径圆的面积

8、例 . 1rA2 rAro), 0(r之间的关系：与时间自由落体的下落距离例 .2 ts221tgsT 设落地时间为 , 0 Tt地 面s之间的关系：边数 ) 3 ( nn sin2nnrSn与长周的圆的内接正多边形的一个半径为例nSr . 3 例 4.0,0, : xxxxxy绝对值函数-1-0.50.510.20.40.60.81True)(2x分段函数 在自变量的不同范围中，对应法则对应法则用不同的式子来表示的 函数称为分段函数分段函数。例 5.: 符号函数0,10,00,1sgn xxxxy0,10, :例如 2xxxxyoxyoxy11 )(), , ()(ZfRfD的的最最大大整整

9、数数不不超超过过取取整整函函数数xxy 例 6.-3-224x-4-224yo7. : 1, ( ) 0(),DirichxQD xxletQ利利雷雷 函函数数例例狄狄克克函数的几种特性有界性 单调性（单调，严格单调）奇偶性周期性函数的几种常见性态1、单调增加 (单增)：)()( 均有)( , 对 若 , 义 定 有 上区间 在 )(数 函 设212121xfxfxxIxxIxfy 加 调 单 上区间 在 )(数 函 称Ixfy 则() 严格单调减少 oxy21xx)()(21xfxf),(,:例如2xxyoxy.), 0()0 ,(上单增在上单减在，.),(内不具有单调性但在)()( 均有)

10、,( 对 若 , 义 定 有 )上()(. 1xfxfaaxa,axfy在区间设函数为偶函数则 )(数 函 称xfy 偶函数的图形关于偶函数的图形关于y轴对称轴对称oxyxxoxyxx )(xf )( xf )()( 均有),( 对 若 , 义 定 有 )上()(. 2xfxfaaxa,axfy在区间设函数为奇函数则 )(数 函 称xfy 奇函数的图形关于原点对称奇函数的图形关于原点对称偶函数偶函数=偶函数奇函数奇函数=偶函数奇函数偶函数=奇函数偶函数+偶函数=偶函数奇函数+奇函数=奇函数奇函数+偶函数=非奇非偶函数232: sin , cos , cos , tanyxxyxxyxxyxx例

11、例如如MxfIxMIxfy)( 均有, 对, 0若 , 义 定 有 上区间 在 )(数 函 设有界则上区间 在 )(数 函 称Ixfy MxfM )(Mxf)(:有上界Mxf)(:有下界又有下界既有上界有界,: ( ), ( )(), ( )()f xyf xfxyf xfx注注对对有界它在有对例如),(, 1sin),(,sin:xxxy有界但在无界在2 , 1 (,2 , 0(,1xy oxy211)()(, 0,),()(xflxflxfy若上有定义在设为周期的周期函数是以则称lxf)(MxfIxMIxfy)( , 0若 , 义 定 有 上区间 在 )( 设:00总有一点对无界的定义初等

12、函数：基本初等函数：幂函数， 指数函数，对数函数， 三角函数，反三角函数， 常数函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算后得到的,可以用一个数学表达式表示的函数*1.幂函数幂函数Rxy,xxyxyxy1 , ,:13如如xy 3xy 2.指数函数指数函数1, 0,aaayx,2 ,:xxyey如如xoy) 1( aayx) 10(aayx133121 ,xxyxxyxxy221xxeey13.对数函数对数函数1, 0,logaaxya,log,log:312xyxy如自然对数xxyelnlog常用对数xxylglog10 xoy1,logaxya10 ,logaxya4.三角函数三角函数

13、kxxykxxyxxyxy,cot2,tan),(,cos,sinxysecxcos1xycscxsin15.反三角函数反三角函数2,2,1 , 1,arcsinyxxy, 0,1 , 1,arccosyxxy), 0(),(,cotyxxarcy)2,2(),(,arctanyxxyxoyxoyxyarctan22xarcycot2 双曲函数2xxeeshx双曲正弦2xxeechx双曲余弦xxxxeeeechxshxthx双曲正切 反双曲函数)1ln(2xxarshxy反双曲正弦)1ln(2xxarchxy反双曲余弦xxarthxy11ln反双曲正切1.5. 数学归纳法数学归纳法.,1. 3

14、;,. 2;,1. 1命题也成立时推出命题成立时假设命题成立时验证knknn命题均成立则对, n:的命题成立要证明一个关于正整数 n2) 1(321:.nnn证明求和公式例归纳1.6. 关于极坐标系和极坐标关于极坐标系和极坐标xo),(极轴轴ox极径极角),(),(yxxoysincos:yx坐标变换公式) 1 , 1 ( : ),( :yx如如)4,2( : ),( 则则极坐标222: yx且有且有复数域C是对实数域R的扩充的引进.1 i,中Q在有理数域R。Qx扩充到实数域为此将没有解方程,22。RRi。xixR中的运算联系起来中的数及与实数域并将的解作为为此引进记号没有解方程中在实数域类似

15、地1,1,22的扩充实数域R. 2., 1,2复复数数为称对中的运算相联系中的数及并与实数域定义引进记号iyxzRyxRRii.Cz的集合记为全体复数:中的任何两个元规定对C)(11:011:1000:0:22222211221zzzyxyiyxxyxiyxiyxzziizzzz逆元元元可分配律满足交换律及对加法的乘法满足交换律加法.,复数域复数域称为成为一个数域于是CRyxiyxzzC,yzxzzyxiyxz)Im(,)Re(,分别记为和的分别称为复数中的复数虚虚部部实实部部,0,即为实数复数时的虚部当复数显然zyz)( ,的扩充为因此RCCR 3.域C的几何解释引入复数的代数运算后,符号i

16、就不再是必须的了,可以把z=x+iy与有序数组(x,y)等同起来,从而复数z与(x,y)一一对应. 因此复数域C就与平面直角坐标系RR相对应,故称与C所对应的平面为.2.用平面上的点(x,y)表示复数z=x+iy(x,y)xyo定义复数z=x+iy的模模:22yxz1. z=x+iy (代数法)(即点(x,y)到原点的距离,显然 )0z注:(1)复数不能比较大小,但两个复数的模可以比较大小；(2)两个复数相等: 实部、虚部对应相等.21212211,即yyxxiyxiyx:),(),(222111的距离为与复平面上两点yxzyxz21221212)()(yyxxzz(x2,y2)o(x1,y1

17、)3.用复平面上的向量 表示复数z=x+iy, 其中点P(x,y)OPP(x,y)xyo4.三角表示法称为复数z=x+iy的三角表示法如图所示,复数z=x+iyP(x,y)xyor有无穷多个幅角的周期性知由记为zArgz,sin,cos.,argArgzz把满足的幅角称为的记为主主值值)(2ZkkArgz易知”“, 0),(0,不确定规定其幅角即为原点时当特别地zzsincosirr)sin(cosirz即,的,其中22幅角幅角zzyxr叫做5.指数表示法cossin ,(cossin )Euler() ieizzri借助于欧拉 公式复数 可重新表示：ire称为复数的注:复数的各种表示法可以互

18、化.31. 1示化为三角表示和指数表将例iz)3, 1(31对应复平面上点复数iz x y o-1323) 1(22 zr模32313tan322ie)232(2kie或222(cossin)33zi为则称中，若在定义fBABAf,C,C,:1复变函数 ：一个复变函数 二个二元实函数 0),(,),(,)(22yxvyxyxuzzfw例如：xyyxvyxyxuixyyxiyxzzfw2),(,),(,2)()(222222),(),()(:yxivyxuzfwuvxyivuwiyxzf平面上的点集平面上的点集复数的表示法：（指数表示法）三角表示法）或向量复平面上的点irezrzOPyxPyxz.4()sini(cos.3),(.2i.1, 1, 0,2arg.arg,(.22kkzArgzzzArgzzyxzr为内的幅角为主幅角，记个