梯形典型例题

1、本文格式为word版，下载可任意编辑梯形典型例题 典型例题 例 例 1 1 ：已知梯形 abcd 的面积是 32，两底与高的和为 16，假如其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_ 思路分析 本题是几何中的计算问题通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长 解：如图 4-50，梯形 abcd 中，adbc，bdbc设 ad=x，bc=y，db=z，由题得：x+y+z=16， ，（熟记梯形面积公式） 解得 x+y=8，z=8， 过 d 作 deac 交 bc 的延长线于 e 四边形 adec 是平行四边形，（留意这种帮

2、助线的作法很常用） de=ac，ad=ce（将"上底+下底'转化到一条线段上） 在 rtdbe 中，dbe=90，be=bc+ce=x+y=8，bd=8， 依据勾股定理得 ， ac=de， 点评：本题主要考查用"方程思想'解决几何中的计算问题解题过程中作"对角线的平行线'，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加帮助线的目的是把"分散的条件得以集中，隐含条件加以显现'的作用解梯形有关问题时，我们也常通过"作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决

3、9; 例 例 2 2 ：如图 4-51，已知 ab=bc，abcd，d=90，aebc求证：cd=ce 思路分析 这是一个直角梯形，通过作 cfab，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明 cd=ce 的目的 证明：如图 4-52，连结 ac，过 c 作 cfab 于 f 在cfb 和aeb 中， （这是直角梯形中常见的帮助线） （构造三角形证明三角形全等） cfbaeb（aas） cf=ae d=90，cfab 且 abcd， ad=cf， ad=ae 在 rtadc 和 rtaec 中， rtadcrtaec（hl） cd=ce 点评：本题主要考查直角梯形、

4、三角形全等的综合运用在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特别的四边形（矩形）和三角形将题中已知条件 ab=bc 中的两条线段 ab 和 bc 分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明 cd=ce的目的解决梯形问题时，除可作以上帮助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是常常用到的 例 例 3 3 ：如图 4-53，梯形 abcd 中，abdc，ad=bc，延长 ab 至 e，使 be=dc求证：ac=ce 思路分析 本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法 证法一：四边形 abcd 是等腰梯形， adc=bcd （等腰梯形同一底上的两

5、个角相等） 又abdc， bcd=cbe，（两直线平行，内错角相等） adc=cbe， 在adc 和cbe 中， adccbe （sas） ac=ce 证法二：如图 4-54，连结 bd， dcbe，dc=be， 四边形 dceb 是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） db=ce 又四边形 abcd 是等腰梯形， ac=bd，（等腰梯形对角线相等） ac=ce 证法三：如图 4-55，作 cfae 于 f，dmae 于 m 在amd 和bfc 中， amdbfc （aas） am=bf 又abdc，mdfc， dc=mf 又dc=be， am+mf=bf+be， f 为 a

6、e 的中点， cf 是 ae 的垂直平分线， ac=ce 证法四：如图 4-54，连结 bd dcbe，dc=be， 四边形 dceb 是平行四边形， dba=e，（两直线平行，同位角相等） 又四边形 abcd 是等腰梯形， ac=bd， 在abc 和bad 中， abcbad （sss） cab=dba， cab=e， ac=ce（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明"三线合一'说明是等腰三角形） 点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的帮助线，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个

7、直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 例 例 4 4 ：要剪切如图 4-56（尺寸单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的铝板，第一块长 500mm，宽 300mm（如图 4-57（1），其次块长 600mm，宽 250mm（如图 4-57（2），可供选用 （1）为了充分利用材料，应选用第_种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_个，剪完这些零件后，剩余的边角料面积是_ （2）从图 4-57（1）、4-57（2）中选出你要的铝板示意图，在上面画出剪切线；并把边角余料用阴影表示出来 思路分析 通过

8、计算，两直角梯形零件面积分别为 ，而铝板的面积均为，最多能剪出两个甲、两个乙零件，即在两铝板中设计打样设计时，为了充分利用材料，考虑到（1）中宽为 300mm，则一种方案作两个乙高，另一种方案为一个甲的下底，思路便打开，类似地，（2）也可以这样分割设计，做出尝试 解：（1）应选用第一块铝板，最多能剪出甲、乙两种零件共 4 个，由计算得 第一块铝板面积为： ， 而零件甲、乙的面积分别为 ， ， 剩余的边角料的面积是 ； （2）如图 4-58 所示正确画出图形 （设计零件个数，从个数、数量上，结合图中数与数之间的关系考虑，往往是应用题的切入点，此外对图形的拼凑、计算、想象，可有利于思维向纵深进展）

9、 习题精选 一、选择题 1下列命题中，真命题有( ) 有两个角相等的梯形是等腰梯形； 有两条边相等的梯形是等腰梯形； 两条对角线相等的梯形是等腰梯形； 等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分 (a)1 个 (b)2 个 (c)3 个 (d)4 个 2以线段 a=16，b=13，c=10，d=6 为边作梯形，其中 a、c 作为梯形的两底，这样的梯形( ) (a)只能作1个 (b)能作2个 (c)能作很多个 (d)不能作 3在直角梯形 abcd 中，adbc，abbc，e 是 cd 中点，则( ) (a)ae=be (b)aebe (c)aebe (d)ae、be大小不确定 4等腰梯

10、形的两底长分别为 a、b，且对角线相互垂直，它的一条对角线长是( ) (a) (b) (ab) (c) (d)ab 5有两个角相等的梯形是( ) a等腰梯形 b直角梯形 c一般梯形 d等腰梯形或直角梯形 6已知直角梯形的一腰长为 10cm，这条腰与底所成的角为 30，那么另一腰的长为( ) a2.5cm b5cm c10cm d15cm 7如图 4-59，梯形 abcd 中，adbc，ab=cd，对角线 ac 与 bd 相交于点 o，则图中全等三角形共有( ) a1 对 b2对 c3 对 d4 对 （平移对角线 bd 即可） 8如图 4-60，abcd，aedc，ae=12，bd=15，ac=

11、20，则梯形 abcd 的面积是( ) a130 b140 c150 d160 二、填空题 9在梯形 abcd 中，adbc，b=50，c=80，ad=a，bc=b，则d=_，cd=_ 10直角梯形一底与一腰的夹角为 30，并且这腰长为 6 厘米，则另一腰长为_ 11已知梯形 abcd 中，adbc，acbc，acbd 于 o，ac=8，bd=6，则梯形 abcd 的面积为_ 12已知梯形上、下底长分别为 6、8，一腰长为 7，则另一腰 a 的范围是 _，若a 为奇数，则此梯形为_梯形 13梯形不在同一底上的两组角的比值分别为 36 和 42，则四个角的度数分别为_ 14等腰梯形中，上底：腰：

12、下底=1：2：3，则下底上的内角的度数是_ 15已知梯形 abcd 中，adbc，ab=dc，若b=30，ad= 2cm，bc= 6cm，那么梯形的周长为_ 16已知梯形的上底长为 2，下底长为 5，一腰长为 4，则另一腰长的取值范围是_ 17已知：等腰梯形的两底分别为 10cm 和 20cm，一腰长为 ，则它的对角线长为_cm 三、解答题 18梯形 abcd 中，adbc，bddc，若 ab=ad=dc，梯形 abcd 的周长为 10，求梯形 abcd的面积 19已知梯形 abcd 中，adbc，adbc，且bc=90，e 为 ad 中点，f 是 bc 中点求证： 20如图 4-61，已知等

13、腰梯形 abcd，adbc，e 为梯形内一点且 ea=ed求证：eb=ec 21如图 4-62，四边形 abcd 是矩形，四边形 abde 是等腰梯形，aebd求证：bedbcd 22如图 4-63，梯形 abcd 中，b+c=90，e、f 分别为上、下底的中点求证： 参考答案： 一、1b； 2d； 3a； 4a 5d； 6b； 7c； 8c； 二、9100，b-a； 103； 1124； 125a9，等腰梯形； 1360，60，120，120 1460； 15 ； 161x7； 1717； 三、18ad=ab=dc 1=2， adbc， c=2+3，1=3 2=3， c=23 bddc， 3

14、=30， 设 cd=x，则 x+x+x+2x=10， x=2 在 rtbcd 中，bd= 作 debc，垂足为 e 则 ， ， 19过 e 作 em/ab，en/cd 交 bc 分别于 m、n，则得 、 ，有 ae=bm，en=cd，b=emc，c=enb，又b+c=90，则emc+enb=90，有men=90。 又bf=cf，ae=de，有 mf=nf。 。 mn=bc-bm-cn=bc-ae-de=bc-ad， 。 20四边形 abcd 是等腰梯形，ab=cd，bad=cda， ea=ed，ead=eda， bad-ead=cda-eda，即bae=cde 在bae 和cde 中， bae

15、cde（sas） eb=ec 21四边形 abde 是等腰梯形，bde=abd，ab=de，又ab=dc，de=dc，四边形 abcd 是矩形，abd=bdc，bde=bdc 在bed 和bcd 中 bedbcd 22如图，过点 e 作 eg/ab 交 bc 于 g，作 eh/cd 交 bc 于 h，则b=egc，c=ehb 又b+c=90，egc+ehb=90， geh=90 ad/bc，四边形 abge 和四边形 ehcd 都是平行四边形 ae=bg，ed=hc，又ae=ed，bf=fc， bg+hc=ad，gf=fh，bc-ad=gh， e、f 分是上、下底的中点，gh=fh又geh 为

16、直角， ef 是直角三角形斜边的中线， ，（直角三角形的性质） 习题精选 1一等腰梯形上底等于一腰，下底等于一腰的 2 倍，梯形的周长为 25，那么它的对角线的长为( ) a5 b5 c5 d3 答案：c 说明：设该等腰梯形的上底为 x，则由题意可知腰也为 x，且下底为 2x，所以由该梯形的周长为 25，可得 x+2x+2x = 25，x = 5，如图，则 ce = df，且 ce+df = dcab = 5，知 ce = ，因此，c = 60；不难得出1 =2 =3 = adc = c = 30，所以 dbbc，db = = 5 ，答案为 c 2如图，线段 ac、bd 相交于点 o，欲使四边

17、形 abcd 为等腰梯形，应满意的条件是( ) aao = co，bo = do bao = co，bo = do，aob = 90 cao = do，bo = co，adbc dao = do，aod = 90 答案：c 说明：由选项 a 可得四边形为平行四边形；由选项 b 可得四边形为矩形；则选项c，ao = do，bo = co 可得 ac = bd，由于aod = 1802dao，cob = 1802bco，得出dao =bco，因此，ad/bc，又 adbc，所以四边形 abcd 为梯形，且对角线 ac = bd，即四边形 abcd 为等腰梯形，选项 c 正确；由选项 d 中的条件无

18、法得出两条对角线相等，所以答案为 c 3如图，梯形 abcd 中，ab/cd，若 ad = a，cd = b，ab = a+b，则下列等式肯定成立的是( ) aa =b bbc = a cbc = b dd = 2b 答案：d 说明：过点 c 作 ce/ad，则 ce = ad = a，ae = cd = b，所以 be = abae = a，得出 ce = be，则b =ecb；因此，有d =aec =b+ecb = 2b 成立，答案为 d 填空题： 1如图，直角梯形 abcd 中，ad/bc，cd = 8，adc = 120，则 ab 的长为_ 答案：4 说明：过点 d 作 debc 于点

19、 e，则 ab = de，由已知adc = 120，知c = 60，所以 rtdec 中，dc = 2ec，得 ec = 4，则 ab = de = 4 2等腰梯形的上、下底分别是 3cm 和 5cm，一个角是135，则等腰梯形的面积为_ 答案：4cm2 说明：如图，等腰梯形 abcd，ab = 3，cd = 5，abc = 135，则bcd = 45，过 b 作 bedc，则bec 为等腰直角三角形，be = ec，同样过 a 作 afdc，则有 af = fd，而 fd+ec = cdab = 53 = 2，af = be，所以 af = 1，因此，该梯形的面积为(3+5)12 = 4cm

20、2 解答题： 1如图，ab/cd，aecd，ae = 12，bd = 15，ac = 20，求梯形 abcd 的面积 分析：过点 a 作 bd 的平行线交 cd 的延长线于点 f，得到 afdb，则 ab = fd，af = bd，利用勾股定理分别求出 ef、ec 的长 解：过点 a 作 af/bd 交 cd 的延长线于点 f ab/cd，四边形 afdb 是平行四边形 ab = fd，af = bd = 15 aecd，ac = 20，ae = 12 ef = = 9，ec = = 16 fc = ef+ec = 25 s 梯形 abcd = (ab+cd)ae = (fd+cd)ae =

21、fcae s 梯形 abcd = 2512 = 150 2如图，在abc 中，acb = 90，延长 bc 到点 d，使 cd =bc，点 e、f 分别为边 ab、ac 的中点；求证：四边形 efdb 是等腰梯形 分析：利用"两腰相等的梯形是等腰梯形'进行证明 证明：连结 ec e、f 分别为 ab、ac 的中点，ef/bc，ef = bc 四边形 efdb 是梯形 acb = 90，ec = eb = ab cd = bc，ef = bc，ef/cd 且 ef = cd 四边形 efdc 是平行四边形 ec = fd，eb = fd 四边形 efdb 是等腰梯形 12 1

22、梯形选择题 1下列说法正确的是（ ） a梯形的两条对角线相等 b有两个内角相等的梯形是等腰梯形 c有两条边相等的梯形是等腰梯形 d一组对边平行，另一组对边相等的四边形不肯定是等腰梯形 2四边形四个内角度数之比为 2：2：1：3，则此四边形是（ ） a任意四边形 b任意梯形 c等腰梯形 d直角梯形 3直角梯形的一腰是另一腰的 2 倍，则此梯形的最大角与最小角的度数之比是（ ） a2：1 b3：1 c4：1 d5：1 4等腰梯形的两腰分别与两对角线相互垂直，一底边与一腰相等，那么它的四个内角的度数分别是（ ） a50，50，130，130 b60，60，120，120 c45，45，135，135

23、 d70，70，110，110 5在周长为 40cm 的梯形 abcd 中， dc ae bc ad / , / 交 bc 于 e， 5 = ad cm，则 abe d 的周长为（ ） a40cm b30cm c20cm d15cm 6顺次连结等腰梯形各边中点得到的图形是（ ） a平行四边形 b矩形 c菱形 d正方形 7梯形的上底长为 6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是 19cm，那么这个梯形的周长为（ ） a31cm b25cm c19cm d28cm 8等腰梯形 abcd 中， ac bc ad , / 与 bd 相交于点 o，图中全等三角形有（ ） a2 对

24、 b4 对 c1 对 d3 对 9直角梯形 abcd 中， 10 , 20 , 90 , / = = ° = Ð = Ð bc ad c b dc ab ，则 a Ð 和 d Ð 分别是（ ） a30，150 b45，135 c120，60 d150，30 10等腰梯形两底之差等于一腰长，则腰与上底的夹角为（ ） a 60 b120 c135 d150 参考答案： 1d 2d提示：设四个角分别为 x x x x 3 , , 2 , 2 由四边形的内角和为 360知四个角分别是 90，90，45，135，可得一组对边平行，另一组对边不平行，且有两

25、个角是 90 3d提示：应用直角三角形中，假如一条直线边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 30 4b提示：运用等腰梯形及直角三角形的性质 5b提示： abe d 的周长等于梯形周长减去 10 6c提示：运用等腰梯形的对角线相等，可知所得的平行四边形有一组邻边相等 7a提示：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的 2 倍 8d提示： abd d 与 abc acd d d , 与 aob dbc d d , 与 doc d 全等 9d提示：运用直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半 10b提示：平移一腰后可得等边三角形 12 1 梯形 填空题 1梯形上底长为 5cm，过上底的一端

26、点引一腰的平行线与下底相交，若所得三角形的周长为 20cm，则梯形的周长为_cm 2等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的 3 倍，则下底的一个底角为_ 3等腰梯形的一个锐角等于 60，它的上底是 3cm，腰长是 4cm，则下底是_ 4一个梯形的面积是 24，它的上、下底的长分别是 5 和 7，则梯形的高是_ 5如图，在梯形 abcd 中， cd bd dc ab ad bc ad = = , , / ，则 _ = Ðc 6 如 图 ， 等 腰 梯 形 abcd 中 ， bc ab ad bc ad21, / = = ， 若 梯 形 的 周 长 是 30cm ， 则_ _ _ _ ,

27、cm _ = Ð = b ad 7若等腰梯形的周长是 30cm， bd ad bc bc ad , 2 , / = 平分 dc bd abc Ð , ，则 _ = ad 8梯形 abcd 中， cm 10 , cm 3 , 30 , 30 , / = = ° = Ð ° = Ð ad cd b a cd ab ，则 ab 的长是_ 参考答案： 130 245 37 44 560 66 60 76 8 3 3 10 + 12 1 梯形 解答题 1如图，梯形 abcd 中， bc ad dc ab = , / ，延长 ab 到 e，使 d

28、c be= 试说明 ce ac= 2如图，等腰梯形 abcd 中， bd ac bc ad , , / 为对角线，延长 bc 到 e，使 ad ce = ，连结 de，试推断 dec Ð 与 dbc Ð 相等吗？ 3如图，等腰梯形 abcd 中， abc bc ad Ð , / 的平分线恰为 bd，已知梯形的周长为 50cm， bc ad21= 求梯形各边的长 4如图，在梯形 abcd 中， n m cd ab , , / 是 cd 和 ab 的中点， ab mn ，那么 bc ad= 吗？说明你的理由 5如图，等腰梯形 abcd 中， ° = 

29、8; 72 , / abc bc ad ，平移腰 ab 到 de，再将 dce d 翻折，得到 e cd ¢d ，则 _ = ¢ Ð c ed 6依据下图，填写下表： 梯形个数 1 2 3 4 5 6 n 周 长 5 8 11 14 7在如图所示的梯形 abcd 中， ac bc ad , / 和 bd 相交于点 o，试说明doc aobs sd d= 8如图所示，要剪切如图（1）（长度单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等有两种面积相等的矩形铝板可供选用：第一种长 500mm，宽 300mm，如图（2）所示；其次种长 600mm，宽 2

30、50mm，如图（3）所示 （1）填空：为了充分利用材料，应选用第_种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共_个，剪下这些零件后，剩余的边角料的面积是_mm2 （2）画图：从图（2）或图（3）中选出所要用的铝板，在图上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来 9现有一块梯形土地，想从中修一条笔直小路将这块梯形土地分成面积相等的两部分，你能做到吗？请设计方案 参考答案： 1由 cbe d cd be ad bc Ð = Ð = = , , ，可得 adc d cbe d ，所以 ce ac= 2相等由于 abcd 是等腰梯形，所以 ac bd= 又由于四边形 aced 是平行四边形，所以bd ac de = = ，所以 dbc dec Ð = Ð 3 20 , 1