高考新课标1理科数学试题及答案

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）理科数学第卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合，则()ABCD2若复数满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()ABCD3为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A简单随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样4已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为()ABCD5执行下面

2、的程序框图，如果输入的，则输出的s属于()A3,4B5,2C4,3D2,56如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()ABCD7设等差数列的前n项和为，若，则()A3B4C5D68某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()ABCD9设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为.若，则()A5B6C7D810已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交于A，B两点若AB的中点坐标为，则E的方程为()ABCD11已知函数若，则的取值范围是()ABC

3、D12设的三边长分别为,的面积为若，则()A为递减数列B为递增数列C为递增数列，为递减数列D为递减数列，为递增数列第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若b·c0，则t_.14若数列的前项和，则的通项公式是_.15设当时，函数取得最大值，则_.16若函数的图像关于直线对称，则的最大值为_三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17(本小题满分12分)如图，

4、在中，为内一点，. (1)若，求；(2)若，求.18(本小题满分12分)如图，三棱柱中，.(1)证明：；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值19(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品

5、的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望20(本小题满分12分)已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.21(本小题满分12分)设函数若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.(1)求的值；(2)若时，求的取值范围请考生在第22、23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.22（本小题10分）【选修4-4；坐标系与参数方程】已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴

6、为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程；(2)求与交点的极坐标23（本小题10分）【选修4-5；不等式选讲】已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)设，且当时，求的取值范围2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I新课标)第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：B解析：x(x2)0，x0或x2.集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出ABR，故选B.2 答案：D解析：(34i)z|43i|，.故z的虚部为，选D.3答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取

7、宜用分层抽样4答案：C解析：，.a24b2，.渐近线方程为.5答案：A解析：若t1,1)，则执行s3t，故s3,3)若t1,3，则执行s4tt2，其对称轴为t2.故当t2时，s取得最大值4.当t1或3时，s取得最小值3，则s3,4综上可知，输出的s3,4故选A.6答案：A解析：设球半径为R，由题可知R，R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA为直角三角形，如图BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的体积为(cm3)，故选A.7答案：C解析：Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm10(2)2，am1Sm1Sm303.dam1am321.Smma1×

8、;10，.又am1a1m×13，.m5.故选C.8答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为r2×4×4×2×2816.故选A.9答案：B解析：由题意可知，a，b，又13a7b，即.解得m6.故选B.10 答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在椭圆上，得，即，AB的中点为(1，1)，y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.椭圆E的方程为.故选D.11答案：D解析：由y|f(x)|的图象知

9、：当x0时，yax只有a0时，才能满足|f(x)|ax，可排除B，C.当x0时，y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax得x22xax.当x0时，不等式为00成立当x0时，不等式等价于x2a.x22，a2.综上可知：a2,012答案：B第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13答案：2解析：cta(1t)b，b·cta·b(1t)|b|2.又|a|b|1，且a与b夹角为60°，bc，0t|a|b|cos60

10、6;(1t)，01t.t2.14答案：(2)n1解析：，当n2时，.，得，即2.a1S1，a11.an是以1为首项，2为公比的等比数列，an(2)n1.15答案：解析：f(x)sinx2cosx，令cos，sin，则f(x)sin(x)，当x2k(kZ)时，sin(x)有最大值1，f(x)有最大值，即2k(kZ)，所以cossin.16答案：16解析：函数f(x)的图像关于直线x2对称，f(x)满足f(0)f(4)，f(1)f(3)，即解得f(x)x48x314x28x15.由f(x)4x324x228x80，得x12，x22，x32.易知，f(x)在(，2)上为增函数，在(2，2)上为减函数

11、，在(2，2)上为增函数，在(2，)上为减函数f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.f(2)1(2)2(2)28×(2)153(41615)9.f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.故f(x)的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由已知得PBC60°，所以PBA30°.在PBA中，由余弦定理得PA2.故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin.在PBA中，由正弦定理得，化简得cos4sin.所以tan，即tanPBA.18(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1

12、B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160°，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)解：由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)故

13、cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X400)，P(X500)，P(X800).所以X的分布列为X400500800PEX506.25.20解：由已知得圆M

14、的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|.若l的倾斜角不为90°，由r1R知l不平行于x轴，

15、设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得，解得k.当k时，将代入，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|.当时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|或|AB|.21解：(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得F(0)0，即k1.令

16、F(x)0得x1lnk，x22.若1ke2，则2x10.从而当x(2，x1)时，F(x)0；当x(x1，)时，F(x)0.即F(x)在(2，x1)单调递减，在(x1，)单调递增故F(x)在2，)的最小值为F(x1)而F(x1)2x124x12x1(x12)0.故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时，F(x)0，即F(x)在(2，)单调递增而F(2)0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k的取值范围是1，e2请考

17、生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 (1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE90°，由勾股定理可得DBDC.(2)解：由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连结BO，则BOG60°.从而ABEBCECBE30°，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.23解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即