基于向量误差修正模型的两区制门限协整检验

1、基于向量误差修正模型的两区制门限协整检验摘要这篇论文检验了一个具有单协整向量的两区制向量误差修正模型以及误差修正中的门限效应。我们采用了一个相关的单一算法，能够给出二元情况下完全门限协整模型的最大似然估计。我们对门限采用SupLM方法进行检验。我们派生出一个空渐近分布，演示模拟临界值的方式，以及给出一个bootstrap近似。我们研究了使用蒙特卡洛模拟的检验的有效性，发现这种检验方式十分有效。通过使用这样的方法对利率期限结构模型的研究，我们发现，存在着非常强的门限效应。I引言门限协整是由Balke和Fomby（1997）提出的用于研究非线性协整关系的可行的工具。特别值得注意的是，这个模型允许长

2、期均衡的非线性调整。这个模型被广泛应用：Balke and Wohar（1998）、Lo and Zivot（2001）、Martens et al（1998）、Michael et al（1997）、OConnell（1998）、OConnell and Wei（1997）、Obstfeld and Taylor（1997）以及Taylor（2001）、Lo and Zivot（2001）对这些方法展开了广泛的回顾。这一系列模型最重要的统计问题在于检验门限效应的存在性（空的线性？）。Balke和Fomby（1997）建议采用Hansen（1996）和Tsay（1989）用来检验误差修正（协整

3、残差）的单因素检验方法。众所周知，在协整向量已知的情况下这种检验方法是有效的，但是Balke-Fomby并没有对将此方法用于估计的协整向量的情况的检验做出理论上的说明。Lo和Zivot（2001）将Balke和Fomby的方法扩展到了具有已知协整向量的多元门限协整模型，采用了Tsay（1998）以及Hansen（1996）对多元扩展模型的检验方法。在本文中，我们将把这些方法扩展到检验未知协整向量的情况中。正如Balk-Fomby所研究的，我们的模型是一个具有单协整向量以及误差修正中存在门限效应的向量误差修正模型（VECM）。然而，与Balke-Fomby只关注于单变量估计以及检验方法不同，我们

4、的估计与检验将关注于完全多变量门限模型。事实上，将误差修正作为门限变量并不是本文分析的必要条件，我们这里所讨论的方法能够非常简单的合并到其他模型中，只要这些模型中的门限变量是前定变量的固定的变形形式。本文有两点贡献。第一，我们提出了一个采用最大似然估计方法估计门限模型的方法。这种算法包含了一个搜索门限以及协整向量的联合网络结构。这个算法在二元情况下非常容易实现，但是在更高纬度的情况下却可能非常困难。此外，正因为如此，我们无法提供对于一致性以及最大似然估计分布理论上的证明。第二，我们发展出一个检验门限效应的方法。原假设不存在门限效应，所以模型简化为一个常规的线性VECM。在此原假设下的估计非常容

5、易，简化为一个常规的降秩回归。这就表明其检验可以基于拉格朗日乘子（LM）准侧，只要求在原假设下进行估计。由于门限参数并非在原假设下决定，我们在SupLM检验的基础上进行扩展推论（参照Davies（1987）、Andrews（1993）以及Andrews and Ploberger（1994）对这种检验思路的动机以及理由）。我们的检验采用了与Seo（1998）为了检验误差修正模型中结构变异所派生出来的方法所具有的相似的代数形式。我们派生出SupLM检验的渐近原分布，发现它与Hansen（1996）用来平稳数据进行门限检验的形式一致。一般来说，渐近分布基于数据的协方差结构，预先排除制表。我们建议采

6、用Hansen（1996，2000b）的平稳回归元bootstrap方法，或者参数残差bootstrap算法，来近似样本的分布。Section2将介绍门限模型以及从Gaussian quasi-MLE方法中派生出来的用于检验该模型的方法。Section3将采用LM检验方法检验门限协整以及它的渐近分布，并给出两种计算P值的方法。Section4将给出一个关于该检验的大小以及有效性的模拟结果。Section5给出一个在利率期限结构上的应用。渐近分布理论的证明将在附录中给出。本文估计、检验的Gauss程序以及本文中主要工作的副本发布在/bhansen.2估计2.1.线

7、性协整设xt为一个p维一阶单整时间序列，具有一个p×1维的协整向量。用wt='xt表示0阶单整的误差修正序列。那么一个滞后l+1阶的线性VECM模型可以简洁的写成：xt=A'Xt-1+ut （1）其中，Xt-1=1wt-1xt-1xt-2xt-l回归元Xt-1为一个k×1阶列向量，A为一个k×p阶矩阵，其中k=pl+2。误差项ut为一个具有有限协方差矩阵=Eutut'鞅差序列（MDS）向量。符号 wt-1和Xt-1代表对的一般估计值。当估计真实值时，我们将分别将其表示为wt-1和Xt-1。我们需要对做一些标准化处理以使其能够呗识别。由于仅仅

8、存在一个协整向量，那么就可以比较简单的将中的一个元素设为1，在系统是双变量（p=2）的情况下不会造成任何优度损失，而在多变量（p>2）的情况下，也只是施加了在协整关系中增加了一个相关系数元素xt的一个约束。参数，A，的估计采用最大似然估计的方法，并假设误差项ut服从高斯分布（对做一些标准化处理）。估计结果记为，A，回归残差向量为ut=xt-AXt-1。2.2.门限协整对模型（1）进行扩展为一个两区制门限协整模型：xt=A1'Xt-1+ut if wt-1A2'Xt-1+ut if wt-1>其中，为门限参数。可以简化为如下形式：xt=A1'Xt-1d1t,+

9、A2'Xt-1d2t,+ut (2)其中，d1t,=1 wt-1d2t,=1 wt-1>1为一个条件状态函数。门限模型（2）存在两区制，有误差修正的值决定。系数矩阵A1和A2决定了区制机制。模型（2）允许所有系数才两区制之间转换（除了协整向量）。在许多的例子中，通过仅允许个别系数在不同区制间能够变换，可以大大的简化模型。这些是模型（2）的特殊形式，对A1，A2施加了约束。例如，仅允许常数项以及误差修正参数wt-1可以变动，施加约束使滞后的xt-j在区制转移时保持不变。门限效应只有当0<Pwt-1<1是才存在，否则模型就是简单的一个线性协整模型。我们通过如下假设假设这一

10、约束0Pwt-11-0 （3）其中，0>0为显著性参数。根据经验性应用，我们设定0=0.05。我们通过最大似然估计方法估计模型（2），其前提假设是误差项ut服从高斯分布。高斯似然函数为：LnA1,A2,=-n2log-12t=1nutA1,A2,'-1utA1,A2,其中，utA1,A2,=xt-A1'Xt-1d1t,-A2'Xt-1d2t,最大似然估计量A1，A2，为使似然函数LnA1,A2,达到最大值的参数值。为了计算上的方便，我们首先集中计算出A1,A2,。将,固定，只计算A1,A2,的最大似然估计量。这就只是一个特殊的OLS回归：A1,=t=1nXt-1X

11、t-1'd1t,-1t=1nXt-1xt'd1t, （4）A2,=t=1nXt-1Xt-1'd2t,-1t=1nXt-1xt'd2t, （5）ut,=utA1,A2,以及：,=1nt=1nut,ut,' （6）值得注意的是，（4）式与（5）式分别是当wt-1以及wt-1>时xt对Xt-1的OLS回归结果。这就将似然函数简化为：Ln,=LnA1,A2,=-n2log,-np2 （7）然后，最大似然估计量,就是使log,最小化的参数值。根据前面对的规范化处理的讨论以及施加于式（3）的约束条件01nt=1n1xt'1-0A1与A2的最大似然估计量

12、为A1=A1,和A2=A2,。关键的（7）式并非平滑的，所以简便的梯度爬坡算法（FOB？）并不适合计算（7）式的最大化问题。在前面的p=2的例子中，我们建议采用一种网格搜索的方法在二维空间,中求解最大化的解。在更高纬度的情况下，网格搜索方法并不合适，其他的所搜方法（例如Dorsey and Mayer，1995，提出的遗传算法）可能更为有效。但在本文中，由于是一个一直的前定变量，网格搜索可以极大的简化计算过程。使用网格搜索，需要选取一个搜索的值域。我们采用线性模型中的一致估计（2.1中所讨论的MLE）校准得出的值域。设wt=wt，令L,U表示wt的经验性结果，在L,U上构建一个平均分布的空间网

13、格。令L,U表示一个基于线性估计（渐近近似正态分布）的置信间隔，再在L,U上建立平均分布的空间网格。然后，网格搜索算法将在L,U以及L,U上检验所有符合01nt=1n1xt'1-0的，。在图1和2中，我们给出了在Section5中的经验性例子的不可微标准函数（基于一年期和十年期债券利率的应用性研究，设定l=1）。图1将式（7）作为的函数绘制，图2则将其作为的函数绘制。综上所述，我们关于p=2情形的算法为：1、基于线性估计量在L,U与L,U上构建网格；2、对于网格上的每一组，的值带入（4）（5）（6）式分别计算A1,、A2,、,；3、找到网格中使log,取最小值的，作为估计值,；4、计算

14、得出A1=A1,、A2=A2,、=,以及ut=ut,。值得注意的是，在第3步中，并不能保证最小化估计值,是唯一的，因为似然函数不是一个凹函数。我们介绍了一个用于MLE的算法，但需要强调的是这并不是一个理论上的推断。我们并没有给出估计结果的一致性的证明或者是分布理论。在线性模型中，以速率n靠近，在一个平稳模型中，以速率n靠近。那么似乎在门限协整模型中做这样的猜测是合理的：,以速率n靠近，。在这种情况下，由于和已知，斜率估计值A1和A2服从渐近正态分布。那么，这些估计参数的标准差也可以轻松得出。3门限检验3.1. 统计学检验令H0表示表示线性VECM模型（1），H1表示两区制的门限模型（2）。这些

15、模型是嵌套模型，H0模型是对H1模型施加约束A1=A2的特殊形式。我们想要比较检验H0（线性协整）与H1（门限协整）。我们将致力于正规模型基础上的统计学检验，以能够直接比较这两个模型，并指出模型之间的不同之处。此外，有人可能会建议考虑采用Tsay（1989）的非参数非线性检验和Tsay（1998）的单变量和多变量情况下的检验。但正如Balke and Fomby（1997）以及Lo and Zivot（2001）的模拟研究，这些非参数检验一般不如基于可比较模型的检验具有说服力。在本文中我们采用LM统计量检验。我们这样选择基于两点：第一，LM统计量的计算非常容易快捷，使得bootstrap可行；

16、第二，一个似然比率或者wald检验需要无约束模型参数估计的分布理论，而本文并不具备相关理论。虽然没有相关证据，我们猜测这些检验渐近等价于LM检验。所以我们推断能够使用LM统计量检验。假设，已知且平稳，则H0假设下的模型为：xt=AXt-1+ut （8）以及H1假设下的模型为：xt=A1'Xt-1d1t,+A2'Xt-1d2t,+ut （9）在给定，时，这些模型是线性的，那么最大似然估计就是有效地。由于（8）是（9）的一个嵌套模型，那么对于异方差情况下依旧具有稳健性质的类似于LM的统计量就可以从模型（9）的线性回归中计算得出。特别的，令X1,和X2,分别表示Xt-1d1t,和Xt

17、-1d2t,的行叠矩阵，令1,和2,分别表示utXt-1d1t,和utXt-1d2t,的行叠矩阵，其中ut为Section2.1中所定义的线性模型的残差向量，再定义外籍矩阵为：M1,=IpX1,'X1,M2,=IpX2,'X2,以及1,=1,'1,2,=2,'2,然后我们定义V1,和V2,为vecA1,以及vecA2,的Eicker- White协方差矩阵：V1,=M1,-11,M1,-1 （10）V2,=M2,-12,M2,-1 （11）得出异方差的似LM稳健统计量的标准表达形式：LM,=vecA1,-A2,'V1,+V2,-1vecA1,-A2, （

18、12）如果和已知，式（12）就可以作为检验统计量。若未知，则LM统计量由在H0假设下点估计得出的估计量通过（12）式计算得到。对的原估计为（Section2.1），但在H0假设下不存在对的估计，以致并不能简单的得出LM统计量。根据交并原理，Davies（1987）提出了统计量：SupLM=supLULM, (13)在本文的检验中，由于设定了搜索域L,U，那么L就是wt-1的百分之0，U就是其百分之1-0。为了进行检验，餐宿0不能接近于0，Andrews（1993）的研究表明这样做将降低检验的说服力。Andrews（1993）指出将0设定在0.05和0.15之间是检验效果非常不错的选择。对于选择

19、（13）式的检验统计量的进一步的理由Andrews（1993）和Andrews and Ploberger（1994）中做了详细讨论。Andrews and Ploberger（1994）认为，通过对LM,的指数加权平均能够增加检验的可靠性。然而，由于对加权函数的选择问题，加权方法天生具有随意性，所以我们的分析依旧基于式（13）。由于函数LM,对于 不可微，对于（13）式所定义的最大化问题的求解就需要在L,U上进行网格估计。当协整向量0为一个已知的前定变量时，可以认为固定为一个已知值0，则检验采取式（13）的形式。我们将这个检验统计量表示为：SupLM0=supLULM0, （14）尤其需要指

20、出的是，使（13）与（14）式达到最大值的的值可能与Section2中的MLE估计值不同。事实上，基于如下两点原因确实如此：第一，（13）与（14）式为LM检验，是基于原假设下的参数估计结果而不是备选假设；第二，这些LM统计量是基于异方差-自相关的协方差矩阵估计结果计算得出的，在这种情况下，就算是SupWald统计量的最大化解也与MLE的结果不一致（仅当估计的是同方差协方差矩阵时二者才等价）。这种差异普遍存在与门限检验以及对回归模型的估计当中，并非只存在于门限协整模型中。3.2. 渐近分布首先考虑协整向量真实值0已知的情况。回归元是平稳的，检验问题是一个对Hansen（1996）的多元概括。检

21、验中所用的渐近分布服从于那篇文章中的形式。我们将遵循标准弱依赖性条件。假设：'xt,xt为4r阶矩有界的，具有严格的平稳性与规律性，具有一个混合斜率m=Om-A，其中，A>vv-1且r>v>1。此外，误差项ut为一个MDS（多维标度法？），误差修正'xt具有一个有限密度函数。在原假设（8）的情况下，当ut独立同分布且具有有限密度函数以及为一个4r阶矩有界时，这些前提条件就全部满足；在备选假设（9）的情况下，必须对参数进行进一步的约束才能满足这些假设。令F表示wt-1的边缘分布函数，令符号“”表示关于0,1-0弱收敛性的同一指标（？）。定义t-1=Fwt-1以及

22、Mr=IpEXt-1Xt-1'1t-1r以及r=E1t-1rutut'Xt-1Xt-1'定理一：在原假设H0下 SupLM0T=sup0r1-0Tr其中，Tr=S*r'*r-1S*r*r=r-MrM1-1r-rM1-1Mr+MrM1-11M1-1Mr以及S*r=Sr-MrM1-1S1其中，Sr为一个具有协方差内核ESr1Sr2'=r1r2的零均值高斯过程矩阵。定理一中的渐近分布与Hansen（1996）所介绍的一样。一般的，渐近分布不能再进一步的简化。然而，在本节最后我们将讨论一种特殊的简化形式。接下来我们考虑需要估计的情况。由于n-0=Op1，那么，在

23、0的比率为n-1的置信邻域内研究LM,的变化特征就足够了。定理二：在原假设H0下，LM,=LM+n,具有与LM0,相同的有限维度渐近分布（fidis）。另外，如果我们能够说明LM,过程是一个紧凑的集合（？），那么SupLM和SupLM0就具有相同的渐近分布，也就是T。这就表明使用估计值而不是真实值0，并没有改变LM检验的原渐近分布。不幸的是，我们无法证明这个想法的正确性。证明时存在双重困难，由于虚拟变量的存在，导致LM,在上是不连续的，而且LM,也是非平稳变量xt-1的函数。仅有很少一部分文献将经验性过程描述成时间序列过程，几乎没有任何一篇文献讨论非平稳数据。再者，非平稳变量xt-1出现在虚拟

24、变量函数中，所以Taylor序列方法并不能简化这个问题。我们认为，虽然缺乏完备的证明，定理二的fidi结果足够说明使用渐近分布T计算SupLM统计量的合理性。定理一给出了渐近分布T的一个表达形式。它具有一个随进过程Tr的上确界形式。Tr为一个卡方过程，对每一个r而言，Tr的边缘分布为卡方分布。由于T为这个随机过程的上确界，它的分布形式就由卡方过程的联合分布决定，那么就取决于未知函数Mr和r。由于这两个函数可以选取很多种形式，T的临界值无法制成图表。在一种特殊的情况下，我们可以给出一种重要的简化形式。令模型（2）不具有截距项，且xt没有滞后项，同时满足Eutut'Ft-1=，那么唯一的回

25、归元就是误差修正项wt-1。由于Mr为纯量的单调递增函数，那么就存在函数s使得Ms=sM1。不是一般性，我们标准化M1=1以及=I。那么，Ss=Ws就是一个标准布朗运动，Ss=Ws-sW1为布朗桥，而且有T=sup0r1-0Tr=sup0r1-0Ts=sups1ss2Ws-sW12s1-s其中，s1=-10以及s2=-11-0。这是Andrews（1993）中用来检验未知时间点上结构变异是所用的分布，也是满足s0=s21-s1s11-s2的一个函数。（？）3.3. 渐近的p值：固定回归元的bootstrap除去Section3.2最后讨论的特殊情况，定理一和二所描述的渐近分布基于矩函数Mr和r

26、，那么临界值就无法制成图表。在本节中，我们将讨论Hansen（1996，2000b）中所使用的固定回归元bootstrap入耳用来计算渐近临界值和p值，得出一阶渐近修正推论。定理二表明，第一阶段对于协整向量的估计并不会影响SupLM检验的渐近分布。那么在讨论门限推论时就不需要考虑估计方法的影响。然而，由于当为需要估计的时候，定理二并不是一个关于SupLM渐近分布的完备证明，我们必须强调这个思路的一些部分只是猜测。接着，我们来描述一个固定回归元的bootstrap。我们令wt-1=wt-1以及Xt-1=Xt-1，令ut为Section2中所介绍的降秩回归的残差。对于接下来的讨论，ut、wt-1、

27、Xt-1以及都固定为其样本值。设ebt独立同分布且服从标准正态分布N0,1，令ybt=utebt。用Xt-1对ybt回归，得到回归残差ubt。用Xt-1d1t,以及Xt-1d2t,对ybt回归，得到回归系数矩阵A1b和A2b，以及残差ubt。定义V1b和V1b为设定=，并由1,和2,所定义的ubt代替ut之后由式（10）和（11）所计算的值。接着再令SupLM*=supLUvecA1b-A2b'V1b+V2b-1vecA1b-A2bHansen（1996）的分析表明，在对H0条件做出局部替代的情况下，SupLM*pT，SupLM*的分布具有对SupLM渐进原分布有效地一阶近似。其中，“p”表示有Gine和Zinn（1990）定义的依概率弱收敛。SupLM*的分布位置，但是可以是使用模拟的方法计算得出。根据上面所介绍的方法能够得到一个分布形式。根据对于误差项ebt相互独立的模拟结果，能够得出一个新的分布形式。如果这个过程重复足够大次数（例