高三圆锥曲线知识点总结

1、第八章?圆锥曲线?专题复习一、椭圆方程.1. 椭圆的第一定义:2 椭圆的方程形式:椭圆的标准方程：2 w 2222 2x2 -12 =1的参数方程为a bx = a cos T1by(象限日(眇SinbSin：.)(aco迫asip務xi.中心在原点，焦点在 x轴上：L .1 i(a -b -0) . ii.中心在原点，焦点在 y轴上：_L 二=1(a -b -0). a2 b2a2 b2一般方程：Ax2 £y2=1(A -0,B -0).椭圆的参数方程:N的轨迹是椭圆应是属于0 Y-)2注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos = bsin讨 '方程的轨迹为椭圆3 椭圆的性

2、质:顶点：(_a,0)(0，巾)或(0,_a)( _b,0).轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.焦点：(_c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c).焦距：22卩汗2 =2c,c=I：a242 .准线：x或y=.离心率：e=E(0 e 1)cca焦半径:2 2i.设P(Xo，yo)为椭圆 笃 y2 =1(a -b - 0)上的一点，Fi,F2为左、右焦点，那么： a2 b2a2a2证明：由椭圆第二定义可知：pF1 =e(x)=a，ex)(x0 0), pF? =d沟)=exa(x0-0)归结起来为 左加右cc减2 2x y下焦点，那么:ii.设 P(X0,y°)为椭圆

3、-=1(a 'b - 0)上的一点，Fi,F2 为上、b aPF1 =a+ey°, PF 2 =a ey°通径：垂直于 x轴且过焦点的弦叫做通径:2b2；坐标:(c,),(b2-c,)a是大于0的参数,5 假设P是椭圆：ca -b -0)的离心率也是e 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程a22务告=1上的点.F1,F2为焦点，假设 F1PF2-V，那么厶PF1F2的面积为a bb2tan2(用余4.共离心率的椭圆系的方程：22 22椭圆 22-1(a b 0)的离心率是e- (c - a -b )，方程 22- t(ta2 b2aa2b20弦定理与PF1 -.PF2

4、 =2a可得).假设是双曲线，那么面积为b2 cot -.二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：2. 双曲线的方程：2双曲线标准方程：工2 a3. 双曲线的性质：b22=1(a,b -0),召ab2=1(a,b '0). 一般方程:Ax2Cy2=1(AC 0).2i.焦点在x轴上： 顶点：(a,0),(-a,0)焦点：(c,0),(-c,0)准线方程 渐近线方程：上_=0ca b2或L2a2笃=0ii.焦点在b2y轴上：顶点:0,£,0,a.焦点：O,c,O,Q.准线方程:a2y. 渐近c线方程:=0 ,参数方程:x 二 b tany 二asecj轴x, y为对称轴，实轴长

5、为2a,虚轴长为2b，焦距2c.离心率e=ca准线距2b2离；通径丝.参数关系ac2 =a2亠b2, e =c .焦半径公式：对于双曲线方程a别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点“长加短减原那么：2a2丝两准线的距c2爲=1 F1,F2分b2MF1MF 2=ex0 a构成满足二 exo -aMFi| |MF 2 =2aM F - _ex0 -a.与椭圆焦半径不同,M F 2 - ex 0 亠a椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号4.等轴双曲线：双曲线x2 y2= ay5 共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实2 2 2 2线.2，2 一 J 2，2a ba b=人互为共轭双曲共渐近

6、线的双曲线系方程:曲线，其渐近线方程为y = x,2 x -2 ay丄=0时，它的双曲线方程可设为 b2笃=，人=0的渐近线方程为 b22xa例如：假设双曲线一条渐近线为且过1P3二，求双曲线的方程?曲线的共轭双曲2 202 , 2a2y=0如果双曲线的渐近线为2解：令双曲线的方程为：47 直线与双曲线的位置关系：区域：区域：区域：区域： 区域：一八“，代入3冷得刍-才1无切线，2条与渐近线平行的直线，合计 2条； 即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；即定点在渐近线上且非原点， 1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计 即过原点，无

7、切线，无与渐近线平行的直线3条;3332 条;y1 x注意：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作岀的直线数目可能有 假设直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 两根之和与两根之积同号 .2假设P在双曲线笃aPF122 T，那么常用结论1 : P到焦点的距离为 m与n， b20、2、3、4 条.法与渐近线求交和那么P到两准线的距离比为m： n.简证：器ePF 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程设p -0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形隹占八、八、准线范围对称轴x轴y轴顶点(0, 0)离心率隹占八、八、注意：ay2 by c =

8、x 顶点严° '4ab2a).y2=2pxp式0那么焦点半径PF =x +匸2Dx =2pyp式0那么焦点半径为 PF =y通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的2 2y =2px 或x =2py 的参数方程为r2x =2 pt=2pt(或 Jx =2pt"2)t为参数关于抛物线焦点弦的几个结论：设2AB 为过抛物线 y =2px (p>0 ) 焦点的弦，A(xi ，yi)、B (x 2 ,y 2 ),2直线AB的倾斜角为e,那么：x 1x2= , y iy2= p24 |AB|=电;以AB为直径的圆与准线相切; sin日焦点F对A、B在准线上射影的张角为90

9、0;1 1 =2 |FA | FBP四、圆锥曲线的统一定义1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线I的距离之比为常数 e的点的轨迹.当0 e 1时，轨迹为椭圆；当e =1时，轨迹为抛物线；当e -1时，轨迹为双曲线；当e =0时，轨迹为圆e =£，当c = 0, a =b时.a2. 圆锥曲线方程具有对称性 .例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.2 23. 当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为=1 m>0, n>0且m n,m n这样可以防止讨论和繁

10、杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式mx2+ny2=1 mn 0来表示，所不同的是：假设方程表示椭圆，那么要求m>0, n>0且m n ； 假设方程表示双曲线，那么要求 mn<0,利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以防止讨论。4. 双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题：1 双曲线方程，求它的渐近线方程， 将双曲线的标准方程 笃爲=1中的常数“ 1 换成“ 0 ,a b2 2xvx V即得 22=0,然后分解因式即可得到其渐近线方程=0;假设求中心不在原点，对称轴平行于坐a2 b2a b标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x，V分

11、别配方，然后将常数“ 1换成“ 0，再分解因式，2 2那么可得渐近线方程，例如双曲线X 22 -爲=1的渐近线方程为X 22 -爲=0,即y士 3x+2，因33此，如果双曲线的方程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了。2求渐近线的双曲线方程，渐近线方程为ax_ by=0时，可设双曲线方程为2 2 2 2a x - b y = C - 0，再利用其他条件确定 的值，求法的实质是待定系数法，如果双曲线的渐 近线，双曲线方程却不是惟一确定的。5、在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单

12、，便于应用。五.直线和圆锥曲线的位置关系：相交，相切，相离。1 直线.与圆锥曲线C位置关系的判断：判断直线.与圆锥曲线C的位置关系时，将直线 .的方程代入曲线 C的方程，消去V 也可消去x得 一个关于变量x 或y 的一元二次方程 ax2+bx+c=0。当a 0时，假设 > 0，那么 与 C相交；假设 =0，那么 与 C相切；假设 V0,那么有 与 C相离。当a=0时，即得到一个一次方程，假设方程有解，那么直线.与C相交，此时只有一个公共点假设C为双曲线，那么平行于双曲线的渐近线；假设C为抛物线，那么平行于抛物线的对称轴。注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可

13、能相切，也可能相交。2 直线被圆锥曲线截得的弦长公式:斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦 AB,设一；一 ，那么弦长公式：亠-''："1 I -：当匸丄n时，弦长公式还可以写成：注意：利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。六. 求曲线的方程.1 坐标法的定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标x,y所满足的方程=o 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2 坐标法求曲线方程的步骤：建系-设点-点满足的几何条件坐标化-整理化简成最简形式-证明可省略，但必须删去增加的或 者补上丧失的解3 求轨

14、迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。七. 规律方法指导1 三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的比照椭圆双曲线抛物线定义1 到两定点Fi、F2的距离之和为 定值2a 2a > IFF 的点的轨迹1 到两定点Fi、F2的距离之差的 绝对值的为定值 2a 0v2av|F 1F2I 的点的轨迹图形2 与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹0 v ev 12.与定点和定直线的距离之比为 定值e的点的轨迹e > 1与定点和定直线的距离相等的点的轨迹方程标准方程参数方程A -CX COS 6厂沁日参数0为离心角a -a sec &严赣讹参数B为离心角x 2护 F

15、/ = 2t为参数范围度兰疋至直，-b<y<b闰九，中心原点0 0，0原点0 0，0顶点a， 0- a，0，0，b， 0，- ba， 0， a， 00，0对称轴x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a，虚轴长2bx轴隹占八、八、Fi c，0， F2 - c，0F1 c，0， F2 c，0焦距离心率e=1准线渐近线2 有关圆锥曲线综合题类型 ：求圆锥曲线方程一般求曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量的步骤：定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标岀条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的

16、位置是否准确等。定式一一根据“形设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mX+ny2=1(m>0, n>0).定量由题设中的条件找到“式中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意n个未知数，列够 n个独立的方程，并注意“点在线上条件及韦达定理的使用。注意：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的 定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解 决

17、这类问题常用定义法和待定系数法 -(2)求取值范围或最值 函数方法-将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。 方程与不等式组-n 个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法： 利用几何性质求参数范围； 利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同.3 解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、 最为繁难复杂因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、 算不岀正确结果也是常有的事。因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要解决运算问题，

18、 可以有以下措施：(1) 不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，防止思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略；加强训练运算根本功，不断提高恒等变形的能力.(2) 善于运用平面几何性质来解题问题。解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，假设考虑问题的几何特 征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要.(3) 注意解析法与各种数学方法结合。当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用，弓I进适宜的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但应注意 不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略八. 二次曲线中的中点弦问题_ 2xo D22AB _1.设圆 x +y +Dx+Ey+F=0 的弦 ab 的中点为