与绳杆弹簧模型问题的分类全解析

1、与绳杆弹簧模型问题的分类全解析绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在中学物理习题中经常出现，尤其在曲线运动问题中更是频繁，与此有关的问题较多涉及临界和突变问题，因此易成为学生学习的障碍。究其原 因，症结在于：不清楚这三种模型弹力产生的机理及特点；不清晰物理过程，尤其是由一种状态 突变到另一种物理状态时，突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件。本文将结合复习，谈 谈对这类问题的分析思路与方法。一、三种模型弹力产生的特点：细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖于细绳受 到的外力和自身的运动状态。由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状态将发生突变，将 此点

2、称为“拐点”；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的弹力，弹力的产生是由于外 力作用下而引起形变产生的，形变不发生变化，弹力不变。弹簧的形变一般不能发生突变，故弹 簧的弹力一般也不能发生突变；轻杆：拉伸、压缩、剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生，既能 产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿截面方向上的弹力，取决于外力作用的情况。中学阶段， 讨论以上模型的形变均不计由其自身的重力而引起的形变。分析与三种模型有关的问题时一定要结合它们各自产生的弹力的特点，具体问题具体分析。 下面将对常见的问题进行归类分析。二、常见问题归类解析(一):平衡态发生瞬时突变时的问题1弹簧与细绳模型以弹力Tb例1：如图1

3、所示，一条轻弹簧和一根细绳共同拉住一个质量为 m的小球，平衡时细线是水平 的，弹簧与竖直方向的夹角是V,若突然剪断细线瞬间，弹簧拉力大小是多少？将弹簧改为细绳， 剪断的瞬间BO上张力如何变化？解析：绳未断时球处于平衡态，由图 1得：Tb si nr 二 TaItb cosT = mg 解得剪断OA的瞬间，Ta瞬时消失，但弹簧上的形变没有改变，所 不变，则Tb和mg的合力与Ta相平衡，即：T mgB COST图2沿绳即：Ta = mgtp,T；(mg) TaOB换为细绳，张力随外界条件的变化发生瞬时突变，如图 2所示，则 OB方向瞬态平衡Tb二戸=mgcosr ；重力的分力F?使物体向最低位置运

4、动， Fmgs i ima? 从而使物体沿圆周运动。2:细绳和杆的平衡类问题：例2:如图3所示：一块长木板长为12m，G =200N，距A端3m处有一个固定的轴0，(1)：若另一端B用轻绳拉住，使木板呈水平状态，绳和木板的夹角 300，轻绳能承受的最大 拉力200N，如果一个重为W =600N的人在该木板上行走，求活动范围为多少？(2)：若其它条件都不变，B端用轻杆拉住，且轻杆承受的最大拉力也为 200 N，求人的活动范围是多少？与绳拉解析：从O向B行走，人对木板的压力和板自身的重力产生的力矩 力产生的力矩相平衡，设人距 A端为x，5ABG（ OA） Wx -TMOBsin30°代入

5、数据解得：x = 0.5m2向A运动，在OA之间，临界状态是绳中张力为零，即：ABWx2 =G（ OA） 解得：X? = 1 m2人的活动范围O点右侧0.5m，左侧1m换成细杆，人向B点运动和绳相同，向左侧运动有别与绳模型，因为杆可提供斜向下的压力, 从而使人的活动范围增加：ABWX3=G（W-OA） TmOBsin300解得：X3 0m人的活动范围O点右侧0.5m,左侧2.5m（二）杆模型在非平衡态中的应用例3:如图示，一轻杆一端固定一小球，绕光滑固定轴O在竖直面内匀速转动。当转到图示位置时杆的弹力：A、沿着杆指向O B、沿着杆背离OC、在图中阴影区域内斜向上的某个方向D、以上皆不对分析：球

6、作匀速圆周运动，合力充当向心力，即沿着杆指向O故C选项正确。（三）绳、杆模型在曲线运动中的应用1、绳模型在匀速圆周运动中的应用:根据实际物理场景，分为约束与非约束两类问题： 思路：根据运动状态确定受力情况；技巧：首先三个确定（确定轨道平面、圆心、圆周半径），其次分析向心力的来源;解决问题的关键：确定临界状态，分析临界条件，以此作为分界点加以讨论，并研究已知状态所处的运动范围，从而分析受力情况典型的就是如例4中的圆锥摆问题，例4、如图5示长为L的绳子，下端连接质量为 m的小球，上 天花板上，当把绳子拉直时，绳子与轴向的夹角成 二=60°，此时小 于光滑的水平桌面上，当小球以下列情况下做

7、圆锥摆运动时，求绳 弹力T和对桌面的压力N ?（1）： “ jg做圆锥摆运动；（2）：=严 做圆锥摆运动；球静止 子上的解析：初始处于平衡状态，地面对物体竖直向上的作用力N二mg ；当球以o为圆心，以r -Lsi 为半径在光滑地板上做圆周运动时， 受mg、T、N作用，设角速度为0时地面对球的弹力 N =0,T cos J - mg 则：T si n& =口国07解得：国02g(1) 二pdg。受力如图所示片I iT cos： N = mg3ma匚y 2解得N-迥T sin Fn = m r4l宀0球将飘离桌面做匀速圆周运动，设与轴线的夹角为T =mg，受力如图所示:(区别于杆模型是半径

8、不变)圈另一端 带电小 使其在 方能满0，向心力由等效重P处，贝U P点为等效重力场的最高点，由题意分析可得:mv2p = .2mgR (3)0 =45°Fn 二(mg)2 (qE)2由动能定理可得:-qERsin v - mgR(1 sin 巧2mvp1 mvo22mvp(1)mg = qE (2)联立解得：v0 二 2gR(3、2)b 2T cos ： = mgT sin B=Fn=meo2r解得：T =4mg2、绳、杆模型在非匀速圆周运动中的应用:运动学特征：v的大小随位置而发生改变，a包括an和a两部分，a合不再指向圆心；动力学特征：F合包括两部分：Fn和F，合外力不再指向圆

9、心，弹力不做功，整个过程遵循机械能守恒定律；依据运动情况分为临界极值和突变两类问题:(1)、临界极值问题：物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理仅研究通过最高点和最低点的两类情况 例5:如图6所示，一轻绳一端固定一质量为 m的带正电的小球， 固定在0点，绳长为R。匀强电场的场强为E，方向水平向左， 球所受的电场力与重力大小相等，在最低点 A给小球一初速度Vo， 竖直平面内能沿圆轨道运动到与圆心等高的 D点，求vo至少多大 足条件？分析：绳模型；关键：等效重力场中的最高点；隐含条件；V0最小，意味着带电体到达等效最高点时，对绳的拉力恰好为 力来提供。解：在轨道圆心处做mg与qE的合力，对角线的

10、反向延长线与轨道相交于运动和突变过将其方视为质自由释 大？弹 么运分，只(2)、突变问题：在某一瞬间，物体由一种状态变化到另一种状态， 从而引起 受力在短时间内发生急剧的变化， 物理学上称之为突变问题。在 程中往往伴随着能量的转移或损耗，绳模型在沿径向张紧瞬间， 向上的能量损耗掉；杆模型往往将其能量发生转移。例6:轻杆长为L, 一端用光滑轴o固定，另一端系一个可 点，质量为m的小球，把小球拉至图9所示的位置，无初速度地 放到最低处B的过程中，小球做什么运动？到最低处时速度多 力多少？若其它条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球做什 动？到最低处时速度多大？弹力为多少？解析：杆与球相连，做非匀速圆周运动，其轨迹为圆的一部 有重力做功，故而机械能守恒，选取最低处为零势能面，贝2mgl(1 sin ) =(1)vb f 2gl(1 sin"T = mg 2mg(1 si nJ 二 mg(3 2s in J即只有重力势能向动能的转化，无能量损耗。绳连接时，球由A到C做自由落体运动，设C处的速度为 ,且方向竖直向下，选取C点为2零能面，A、C关于水平线对称：2mglsin -(1) 所以在C处vc按图示的方向分解,2在绳猛然拉紧的瞬间，将径向的动能2mv2损耗掉，由C到B的过程中，只有重力做功，机械能守11恒，选取 B 点为零能面则：二mv； +mg