再谈三角形内角平分线定理的证明

1、 再谈三角形内角平分线定理的证明许多学生在学习“相似形”证明四条线段成比例时感到无从下手，不知如何去分析题中的隐含条件，但我在教学“三角形内角平分线定理”时，用一题多解的方法带领大家用一节课的时间探究它的多种证明方法，并归纳出证明四条线段成比例主要的思考规律。现举例说明。定理：三角形的内角平分线将它的对边分成的两部分与这角的两条邻边对应成比例。已知：如图 abc中，12。求证：。方法一：利用等比代换、等量代换证明线段成比例证明一：过点作debc，交ac于e点则。又易证adeabc 。又decb 23 而1213ce=de 。说明：本证法的思路是利用平行线de作等比代换，利用图形的对称性同理可证

2、，过d 点作ac的平行线得到另一证法，以下略，这也是证明四条线段成比例的重要方法等比代换或等量代换。方法二：巧作平行线证相似分析：在证法一的基础上继续分析，由于ad、bd在同一直线上，常用方法是过分点、端点作相应的平行线（方法一是过分点作平行线），如果过端点a或端点b作平行线是否也可以达到目的呢？这样就得到下面的证法。证明二：过b点作becd，be交ac延长线于e点，则有。又becd 1e 23而12e3 bc=ce 则有。说明：本证法也是利用等比代换或等量代换证明的，虽然图形的形状不同，但他们的实质是相同的，都是过分点（或端点）作平行线，这也是多解归一的一种体现，同理再利用对称的思想，同样可

3、以过a点作cd的平行线得到与其相似的证法（略）。方法三：巧用平行线分线段成比例定理分析：四条线段ad、bd、ac、bc所在的位置构造平行线分线段成比例定理需要在ac的延长线上构造线段ce=cb即可，只需证明cdbe。证明三：延长ac到d使ce=cb，则有e3又acb=e+3 acb23 而acb2223 cdbe即说明：本证法是从结论出发，逆向思维构造成比例线段，再证明线段平行而得，利用图形的对称性，也可延长bc到e，使ce=ac，同理可证。方法四：构造三角形相似，证明四条线段成比例分析；证明四条线段成比例，我们常用的方法是证明这四条线段所在的两个三角形相似，但此图中的四条线段明显不在相似三角

4、形中，所以想到：能否根据条件2构造相似三角形呢？证明四：现以acbc为例说明acbc ba延长cd，作cae=b 易证acebcd e3 43 4e ad=ae 当ac=bc时，cadb 12 ad=bd 方法五：巧妙构造相等角作垂直分析与方法四相似，通过作垂直构造等角，仍以acbc为例说明，ac=bc证法同上。证明五：过a、b作afcd，becd。易证acfbce，得到。由rtafdrtbed，得。说明：此种证法是在对acd和bcd不能证相似而又需要它相似的情况下构造出来，与证法四的思考方法类似，不同之处构造相等角的方法不同，证法四是构造一个角等于已知角。证法五是同时构造两个直角，它们都是通

5、过两次相似找到它们的中间比，这也是一种常用的证明手段。方法六：巧用三角形面积公式证明线段成比例分析：根据同高三角形面积的比等于底的比得到：sacd：sbcd=ad：bd，想到将acd和bcd的面积用两种不同的方式来表达，结合三角形角平分线定理易得de=df，而等高三角形面积的比又等于底的比得到证法六，证明过程略。说明：本证法利用面积法证明四条线段成比例，事实上，利用面积还可以解决其他许多的几何问题。通过此定理的多种证明方法的探讨研究，我们在证明四条线段成比例思考方法归纳如下：.观察四条线段是否在两个可能相似的三角形中或是能够运用平行线分线段成比例定理，再设法证相似或平行。.若不属于中情形，再考虑三条线段是否处于上述位置，设法用等量代换换成中形式。.如果都不适合，就考虑其中的一组比例式能否转换成另外的中间比，这就是等比代换的方法。.如果有一组角相等，还可以考虑能否通过作垂直、做等角来构