不定积分与定积分的各种计算方法

1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第八讲不定积分与定积分的各种计算方法课时数2教学 目的通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。重1不定积分的概念占八、 难 占八、2不定积分的计算3定积分的计算第八讲不定积分与定积分的各种计算方法1.不定积分1.1不定积分的概念原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。1.2不定积分的计算教 学(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二1换元积分法提 纲(4)分部积分法2.定积分(1)基本积分法； 分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(3)利用函数的奇偶

2、性化简定积分(4)一类定积分问题教学过程与内容教 学后 记第八讲不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分1不定积分的概念原函数：若在区间 上F'(x) = f(x)，则称F(x)是/(X)的一个原函数原函数的个数：若F(x)是/(*在区间上的一个原函数，则对，旳c都是/(x)在区间上的 原函数；若G(x)也是丁 在区间上的原函数，则必有 G二F(x) + c.可见，若，则/(x)的全体原函数所成集合为+ c 1 r .原函数的存在性：连续函数必有原函数不定积分：了U)的带有任意常数项的原函数称为/X)的不定积分。记作f f (x)dx一个重要的原函数：若 f (x)在区间上连续，au

3、 1，则J f(t)dt是的一个/(打原函数。2不定积分的计算(1) 裂项积分法加,x4 +1X4 -1 +2. 22.例 1：(二一 x=f2dx=J(x 1+ )dx，X2 +1，X2 +1X2 +13x=x +2arctan x + C。3俪 crdxrCOS2x+sin2x.2.2例 2:22= 22 dx = (csc x+sec x)dxL cos xsin x ' cos xsin x，f dx(x2 +1)-x2.dx . dx1一例 3: J 2/ 2 +八丨 2/ 2 *八 dx J 2 一 J2 -一 -arctanx + Cx (x +1)x (x +1)1 x

4、2 ，1 +x2x(2) 第一换元积分法有一些不定积分， 将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分Jcos2xdx，如果凑上一个常数因子2,使成为1 1 1cos2xdx cosx *2xdxcos2xd 2x ; = _sin 2x C 2' 2 ' 2dx例4:3-xr/ 1 x=2 _1.x二 2arctan、x Cdx例5 ：:厂c111226 一x门乂畀 arctan xC1 21 -xarcta n、x例 6:'Jx(1 +x)2j 2=2 arctant d(arctant)=(arctgt) c = (arctg . x)

5、 c.t Jd'X =2(3)第二换元积分法arctaj 贞'1+t被积函数包含n，ax * b ,处理方法是令n' ax + b1=t, x(tn - b);a被积函数包含 a2x2 (a-0),处理方法是令x = si nt或 x = cost;被积函数包含- a2x2 (a-0),处理方法是令x = tant;被积函数包含' x2 -a2 (a-0),处理方法是令x = sect ;例7:计算.a2-x2dxa0第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下:ji【解】令X =asint, -2、a2 -x2 =a cost 二 a cost

6、, dx = a costdt,从而兀x笃，则tFCSi蔦，一a _x _a，且I ' a2 -x2dxa cost .a costdt = a222acos tdt =1 cos2t dt2 LaVCt=6xt2dt例8:6'丘畅M-t+ Vx +ln 1 -Vxl i '2Udxplx6 d t)dt 6,(4)分部积分法当积分 f (x)dg(x)不好计算，但 g(x)df (x)容易计算时f (x)dg (x) = f (x)g(x) - . g(x)df (x).常见能使用分部积分法的类型，使用分部积分公式：(1) xnexdx, xnsin xdx , .

7、xn cosxdx等，方法是把ex,sin x,cosx移到d后面,分部积分的目的是降低x的次数(2) xn ln m xdx, . xn arcsin m xdx, . xn arctanm xdx等,方法是把移到d后面,分部几分的目的是 化去 In x, arcs in x, arcta nx.x = x2ex _ ex 2xdx 二x9： x2exdx = x2de2 x2 xxxx e -2 xdx 二 x e _2(xe - e dx)二 ex(x2 _2x 2) C11一 ln x 亠 i d ln x 二xx10:nxd丄xI X丿1dx1-1 Inxd；1 (In x 1) C

8、xdx 111:(1 6x2) arctan xdx 二 arctanxd(x 2x3) =x 2xLx 2x arctan x - 2 dx 二1 x23,2x 2x arctan x-x+11n(1 + x?)+C2 2例 12： cos xdx = cosxd sin x = cosxsinx 亠 isin xdx =cos x si nx x- cos sin x=cosxcx【点评】本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法arcta n x例15计算 xe 3dx'(1+x2)2【说明】涉及到arcsinx,arctanx的积分一般有两种处理方法(1)用分部积分法；(

9、2)作变量替换令arcsinx=t或arctanx=tarcta n x.【解法一】 xe 3dx = 1 (1+x2)22 xdx ,2x 1解得 cos xdx = sin 2x c.2 43 2例 13： sec xdx = secx sec xdx二 secxdtgx 二 secxtgx - tgxsecxtgxdx23=secxtgx - (sec x -1)secxdx = secxtgx - 'sec xdx 亠 i secxdx3= secxtgx In | secx tgx | - sec xdx,3 1 1解得 sec xdx secxtgx 一 ln | secx

10、 tgx | c .2 2【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧sin x例14设函数f (x)的一个原函数是,求xf (x)dx。x【解】f(x) =sin xxcosx - sin x2xxf (x)dx = xd( f (x)xcosx -sin x sin x= xf(x)_ f(x)dx=x2-arcta nx e2 1(1肿 x)22ex1ex2arcta n x1arctanx 1e dx1 x21x21e1 x2arcta n xarcta n x e3dx(1 x2)2【点评】：分部积分后，后面的积分计算更加困难为此我们考虑变量替换法【解法二】

11、 令 arctan x = y, x = tan yarcta n x xe2 Mx (1 x )2tan y ey sec2 y. y 1 y .dy = Jsin ye dy =?e (sin y - cosy) +Csec3 y1 arctan x e2&1 +x2【点评】变量替换后几分的难度大大降低，sinyeydy是每种教材上都有的积分2.定积分定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算(1)基本积分法例16：计算dx(1 5x2)1 x2【解】令x=tant，则dx二 6sec2 tdt(1 5x2 八 1x2(1 5ta n2 t)sectcOstdtJ 0cos

12、2t 5sin21jr6012-arcta n(2si nt)1 (2si nt)226 d(2sint)(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、例 17：计算：xx -2dx3【解】Mix最大值最小值函数-2dx = J°x(2 -x)dx + J? x(x -2)dx =3例 18 计算 °maxx,1 一 xdx1114【解】°maxx,1_xdx=°2 (1一 x)dx 亠11 xdx=_25(3)利用函数的奇偶性化简定积分a0(x)dx=0f(x)dx当f(x)是奇函数 当f(x)是偶函数例 19 计算；(x .1 x2)2dx1I

13、1【解】1 x2)2dx=dx 2:X、1 x2dx=2+0=2)e* dx111【解】J (x + |x)e來dx= J xe"dx + J |x|edx-11.1 -=02 1xe»dx =2 -4e°-x .24 e sin x .例21计算 dx41ex【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于 原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。i x4 e sin x4.dx-4 1 ei x4 e sin x4dx1 exx 20 e sin x _,dx41ex令x=-y，0 fxe sin xJ Jt-41ex所以【解】dx 二-y- 2,0e siny)d(-y)-y4e sin y4y dy0 1 e_y.24sin y01 eyji . 2.“sin xdy二 4 xdx'01+ex二 x4 e sinx-4 1 eXdx2. x .24 e sin