关于外接球的表面积与体积计算问题(二)

1、关于外接球的表面积与体积问题（二）一选择题（共30小题）1已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，AEB=60°，则多面体EABCD的外接球的表面积为（）A4B9C12D162已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）ABCD3三棱锥ABCD中，ABC为等边三角形，AB=2，BDC=90°，二面角ABCD的大小为150°，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）A7B12C16D284已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点

2、，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A28BC32D5已知三棱锥ABCD中，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）AB4C2D6如图，将边长为2的正ABC沿着高AD折起，使BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）ABCD7设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA面BCD，三角形BCD的面积为3，VSBCD=3VABCD=3，则球的表面积为（）A16B64CD328已知四面体ABCD中，ABC和BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大

3、时，其外接球的表面积是（）A60B30C20D159在封闭直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）ABCD3610在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体MABD的外接球的表面积为36，则正方体棱长为（）A2B3C4D511三棱锥PABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）A2B4C8D1612如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球

4、的表面积为（）ABC16D2113已知P，A，B，C是球O球面上的四点，ABC是正三角形，三棱锥PABC的体积为，且APO=BPO=CPO=30°，则球O的表面积为（）A4BC16D1214已知底面边长为的正三棱锥OABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）AB8C20D15已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为4，则直三棱柱ABCA1B1C1外接球表面积的最小值为（）A4B8C16D3216如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点

5、重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）AB6CD1217将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD则四面体ABCD的内切球的半径为（）A1BCD18三棱锥PABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A4B6C8D1019在四面体SABC中，二面角SACB的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）ABC24D620如图，在三棱锥DABC中，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）AB4C2D21一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A84B96C112D14

6、422三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A36B72C144D28823已知正三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比（）A5：1B2：1C4：1D：124已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A43B17C34D25若三棱锥PABC中，AB=AC=1，ABAC，PA平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A4B8C16D3226若三棱锥PABC中，AB=AC=1，ABAC，PA平面AB

7、C，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥PABC的外接球的体积为（）ABCD27已知正四棱锥PABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A1：2B2：5C1：3D4：528球O与锐二面角l的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）AB4C12D3629四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是边长为3的等边三角形若AB=2，则球O的表面积为（）A8B12C16D3230已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的

8、体积为（）ABCD关于外接球的表面积与体积问题（二）参考答案与试题解析一选择题（共30小题）1（2017全国模拟）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，AEB=60°，则多面体EABCD的外接球的表面积为（）A4B9C12D16【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（d）2，求出R2=4，即可求出多面体EABCD的外接球的表面积【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则EAB所在的平

9、面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AEB=60°，E到平面ABCD的距离为，R2=（）2+d2=12+（d）2，d=，R2=4，多面体EABCD的外接球的表面积为4R2=16故选D【点评】本题考查多面体EABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体EABCD的外接球的半径是关键2（2017大理州二模）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）ABCD【分析】画出球的内接三棱柱ABCA1B1C1，作出球的半径，然后可求球的表面积【解答】解：设AA1=h，则棱柱的体积为，AB=2，

10、h=1，AB=2，BC=，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP平面ABC，AP=则球的半径为OA，由题意OP=，OA=，所以球的体积为：R3=故选B【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力3（2017福州一模）三棱锥ABCD中，ABC为等边三角形，AB=2，BDC=90°，二面角ABCD的大小为150°，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）A7B12C16D28【分析】由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥ABCD的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案

11、【解答】解：设球心为M，BC的中点为P，三角形BDC满足BDC=90°，P为三角形BDC的外心，设ABC的外心为O，ABC为等边三角形，MO平面ABC，MP平面BDC，二面角ABCD的大小为150°，OPM=60°，在等边三角形ABC中，由AB=2，得AP=3，OP=1，在RtMOP中，可得MO=，在RtMOA中，得MA=三棱锥ABCD的外接球的表面积为故选：D【点评】本题考查球的表面积与体积，考查空间想象能力和思维能力，属中档题4（2017香坊区校级一模）已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF

12、折起，使平面BCFE平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A28BC32D【分析】三棱柱ABEDCF的底面积最大时，其体积最大设FC=x，DCF=6x，sDCF=令f（x）=36x212x3，f（x）=72x36x2，令f（x）=0，可得x=2，即当x=2时，sDCF最大，此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半，得球半径R即可【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD平面BCFE，可得直三棱柱ABEDCF，（如图）三棱柱ABEDCF的底面DCF，ABE是直角，ABBE，FCCD三棱柱ABEDCF的底面

13、积最大时，其体积最大设FC=x，DCF=6x，sDCF=令f（x）=36x212x3，f（x）=72x36x2，令f（x）=0，可得x=2当x=2时，sDCF最大 此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半球半径R=，几何体外接球的体积为，故选：D【点评】本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题5（2017贵州模拟）已知三棱锥ABCD中，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）AB4C2D【分析】由三棱锥的对边相等可得三棱锥ABCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积【解答】解

14、：补体为底面边长为1，高为的长方体，外接球的球心为长方体体对角线中点，所以球的半径r=1，球的体积，故选D【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，转化思想，属于中档题6（2017临川区校级模拟）如图，将边长为2的正ABC沿着高AD折起，使BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）ABCD【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积【解答】解：BCD中，BD=1，CD=1，BDC=60°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=，AD是球的弦，DA=，O

15、M=，球的半径OD=该球的表面积为：4×OD2=；故选：B【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力7（2017贵阳一模）设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA面BCD，三角形BCD的面积为3，VSBCD=3VABCD=3，则球的表面积为（）A16B64CD32【分析】利用SA面BCD，三角形BCD的面积为3，VSBCD=3VABCD=3，求出球的直径，即可得出结论【解答】解：设三棱锥ABCD的高为h，则三棱锥SBCD的高为3h，球的直径为2R，三角形BCD的面积为3，VABCD=1，=1，h=1，R=2，球的表面积为422=16，故选A【点

16、评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题8（2017南岗区一模）已知四面体ABCD中，ABC和BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A60B30C20D15【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AFDF，AF=CF=3，EF=AD=，易知三

17、棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，R2=（）2+OE2，R2=32+（OE）2，R=，三棱锥的外接球的表面积为4R2=60故选A【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题9（2017呼和浩特二模）在封闭直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）ABCD36【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大因为ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时

18、，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABCA1B1C1内切球半径即可【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大RtABC中，ABBC，AB=15，BC=8，AC=12，ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为此时球的体积为R3=，故选：B【点评】本题考查了棱柱的内切球的体积，解题关键在于确定球何时半径最大，属于基础题10（2017大东区一模）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体MABD的外接球的表面积为36，则正方体棱长为（）A2B3C4D5【分析】设BD的中点O，则球心O在MO上，利用四面体MABD

19、的外接球表面积为36，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长【解答】解：设BD的中点O，则球心O在MO上，四面体MABD的外接球表面积为36，4R2=36，R=3，设正方体棱长为2a，则OA=a，由勾股定理可得32=（）2+（2a3）2，a=2，正方体棱长为2a=4故选C【点评】本题考查正方体棱长，考查四面体MABD的外接球表面积，确定球心的位置是关键11（2017绵阳模拟）三棱锥PABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）A2B4C8D16【分析】PA、PB、PC互

20、相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，当PM最短时，即PMBC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大，最大值是，求出PC=，三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥PABC的外接球的直径，即可得出结论【解答】解：M是线段BC上一动点，连接PM，PA、PB、PC互相垂直，AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PMBC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大此时，PM=，在RtPBC中，PBPC=BCPMPC=PC=三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为，三棱锥PABC的外接球的半径为R=1，三棱锥PABC的外接球的表面积为4R2=4故选：B【点评

21、】题考查三棱锥PABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12（2017湖北模拟）如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）ABC16D21【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥SABCD，其中ABCD是边长为2的正主形，SBC是边长为2 的等边三角形，AB平面SBC，由此能求出该空间几何体的外接球的表面积【解答】解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥SABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，SBC是边长为2 的等边三角形，AB平面SBC，取BC中点F，AD中点E，连结SF，EF，取

22、EF中点M，则MF=1，SF=，设该几何体外接球的球心为O，则OM面ABCD，设OM=x，过O作OHSF，交SF于H，则SH=，OH=MF=1，OD2=OS2=R2，即（）2+x2=12+（）2，解得x=，R=，该空间几何体的外接球的表面积S=故选：B【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用13（2017楚雄州一模）已知P，A，B，C是球O球面上的四点，ABC是正三角形，三棱锥PABC的体积为，且APO=BPO=CPO=30°，则球O的表面积为（）A4BC16D12【分析】设ABC的中心为S，球O的半径为R，ABC的边长

23、为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥PABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，ABC是正三角形，设ABC的中心为S，球O的半径为R，ABC的边长为2a，APO=BPO=CPO=30°，OB=OP=R，OS=，BS=R，=R，解得a=R，2a=R，三棱锥PABC的体积为 ，×××R×Rsin60°×R=，解得R=2，球O的表面积S=4R2=16故选：C【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键14（2017临翔区校级一模）已知底面边长

24、为的正三棱锥OABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）AB8C20D【分析】正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，求出小圆半径、三棱锥的高，可得球的半径，即可求出球的体积【解答】解：正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，因正ABC的边长为，所以小圆半径r=2，又因，所以三棱锥的高h=1，设球半径为R，则，故选A【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键15（2017灵丘县校级三模）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为4，则直三棱柱ABCA1B1C1外接球表面积的最小值为（）A4B8C16D32【分析】设

25、BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，可得直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径为=，即可求出三棱柱ABCA1B1C1外接球表面积的最小值【解答】解：设BC=2x，BB1=2y，则4xy=4，直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径为=，直三棱柱ABCA1B1C1外接球表面积的最小值为4×2=8故选：B【点评】本题考查三棱柱ABCA1B确定1C1外接球表面积的最小值，考查基本不等式的运用，确定直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径的最小值是关键16（2017广安模拟）如

26、图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）AB6CD12【分析】由已知得PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，由此能求出该球的表面积【解答】解：ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=P

27、F=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，这个球的半径为R=，该球的表面积是S=4R2=4×=6故选：B【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四面体的性质及构造法的合理应用17（2017郴州二模）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角BACD则四面体ABCD的内切球的半径为（）A1BCD【分析】先求出VDABC，再求出四面体ABCD的表面积S=SADC+SABC+SABD+SBCD，由四面体ABCD的内切球的半径r=，能求出结果【解答】解：边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二

28、面角BACD，=1，AC=2，取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO=1，且DO平面ABC，VDABC=，BD=，AB=BC=AD=DC=，=，=1，四面体ABCD的表面积S=SADC+SABC+SABD+SBCD=2+，四面体ABCD的内切球的半径r=2故选：D【点评】本题考查四面体的内切球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体内切球半径与其体积和表面积的关系式的合理应用18（2017春简阳市期末）三棱锥PABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A4B6C8D10【分析】三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩

29、展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积【解答】解：三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=则长方体的对角线的长为=所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4R2=6故选B【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题将三棱锥扩展为长方体是本题的关键19（2016秋晋中期末）在四面体SABC中，二面角SACB的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）ABC24D6【分析】取AC中点D，连接S

30、D，BD，由题意可得SDB为二面角SACB，取等边SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BDAC，因为SA=SC=2，所以SDAC，AC平面SDB所以SDB为二面角SACB在ABC中，ABBC，AB=BC=，所以AC=2取等边SAC的中心E，作EO平面SAC，过D作DO平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角SACB的余弦值是，所以cosEDO=，OD=，所以BO=OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6故选：D【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确

31、定圆心的位置即可求出圆的半径20（2017春陆川县校级期中）如图，在三棱锥DABC中，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）AB4C2D【分析】利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积【解答】解：在三棱锥DABC中，可得ACBC，ACCD，CDCB，则CABD三棱锥看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球计算长方体的外接球，外接球的半径为：=1外接球的体积为：=故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及最后思想计算能力21（2017春山西月考）一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上

32、，则球O的表面积为（）A84B96C112D144【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，利用勾股定理求出R2，由此能求出球O的表面积【解答】解：一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，则R2=（）2+（）2=28，球O的表面积S=4R2=112故选：C【点评】本题球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、方程思想、整体思想，是中档题22（2017春顺庆区校级月考）

33、三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A36B72C144D288【分析】正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同三棱锥的棱长均为4，正方体的棱长是4，又球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，2R=12，R=6，球的表面积为4×62=144故选：C【点评】巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化若已知正四面体VABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得23（2017春东湖

34、区校级月考）已知正三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比（）A5：1B2：1C4：1D：1【分析】由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，AB=2r，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O1的球心，则（2r）2+r2=R2，即5r2=R2【解答】解：设球O2的为r，球O1的半径为R三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球O1的球面上，三棱柱的高（侧棱长）为2r正三棱柱ABCA1B1C1的底面与球O1的大圆截面如图（1）所示：可得AB=2r，BO1=2

35、r正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O1的球心，（2r）2+r2=R2，5r2=R2，球O1与球O2的表面积之比为5：1故选：A【点评】本题考查了球与三棱柱的组合体，根据几何体的性质，找到球心，求出半径是解题关键，属于中档题24（2017春奉新县月考）已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A43B17C34D【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，

36、z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=9，x2+z2=16，y2+z2=9，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=17，4R2=17，球的表面积为S=4R2=17故选B【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用25（2017春高平市校级月考）若三棱锥PABC中，AB=AC=1，ABAC

37、，PA平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A4B8C16D32【分析】如图，取BC中点D，连结AD、PD，过A作AHPD于D，易知AH面PBC，即APD就是直线PA与平面PBC所成角，由tanAPD=，得AP以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥PABC的外接球，即可求出半径【解答】解：如图，取BC中点D，连结AD、PD，AB=AC，ADBC，由因为PA面ABC，BC面PAD，过A作AHPD于D，易知AH面PBC，APD就是直线PA与平面PBC所成角，tanAPD=，AD=，AB，AC，AP相互垂直，以AB，AC，AP为棱的长方体

38、的外接球就是三棱锥PABC的外接球，三棱锥PABC的外接球的半径R=，三棱锥PABC的外接球的表面积为4R2=4；故选：A【点评】本题考查了三棱锥的外接球，转化已知求出球的半径是关键，属于中档题26（2017春高平市校级月考）若三棱锥PABC中，AB=AC=1，ABAC，PA平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥PABC的外接球的体积为（）ABCD【分析】利用AB=AC=1，ABAC，PA平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，求出PA=，三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，可得三棱锥PABC的外接球的半径为1，即可得出结论【解答】解：AB=

39、AC=1，ABAC，PA平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，PA=，三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，三棱锥PABC的外接球的半径为1，三棱锥PABC的外接球的体积为，故选A【点评】本题考查三棱锥PABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题27（2017春惠安县校级月考）已知正四棱锥PABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A1：2B2：5C1：3D4：5【分析】取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥PABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥PABCD的内切