17-18版附加题部分第62课离散型随机变量的均值与方差

1、第62课 离散型随机变量的均值与方差最新考纲内容要求ABC离散型随机变量的均值与方差V抓基础自主学习|知识橙理1. 离散型随机变量的均值与方差般地，若离散型随机变量X的概率分布为XX1X2XiXnPP1P2Pipn均值称E(X)=尸xiPi + X2P2+ x_ip + XnPn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2) 方差nn称V(X)= (T =刀(Xi E(X)2pi =刀X2pi 斤为随机变量X的方差，它刻画了 i= 1i= 1随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根尸 VX为随机变量X的标准差.2均值与方差的性质(1) E(aX+ b

2、) = aE(X)+ b.2(2) V(aX+ b) = a V(X). (a，b 为常数)3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则 E(X) = p，V(X)= p(1 p).若 XB(n, p)，贝U E(X)= np，V(X)= np(1 p).学情自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 期望是算术平均数概念的推广，与概率无关.()(2) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小()(4) 在篮球比赛

3、中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.()答案(1)X V V V2. (教材改编)已知X的概率分布为X-101111P236设Y= 2X+ 3,贝U E(Y)的值为.711117E(X)=- 1X-+0X3+ 1X6二3，J则 E(Y) = 2E(X)+ 3= 3-2= 3.13 设随机变量E的分布列为P( = k) = 5(k= 2,4,6,8,10)，J则V( B等于.18王(3 = 5(2 + 4+ 6+ 8+ 10)= 6，1 2 2 2 2 2V(B = 5【(4) + (-2) + 0 + 2 + 4 = 8

4、.4. (2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.32 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率p= 1=3成功次数X的均值E(X)= 2X 4=-2 =4.(3、又XB2, 4，5. 若 XB(n, p)，且 E(X)= 6, V(X)= 3,贝U P(X= 1) =31024 'E(X) = nP = 6，V(X)= np(1- p戶 3,p= 2，n= 12,则 P(X= 1) = C2X2x 213X2-10=1024.明考向题型突破II Wfifl离散型随机变量的均值、方差例

5、 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红 球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1) 当 a = 3, b= 2, c= 1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均 等)2个球，记随机变量E为取出此2球所得分数之和，求E的概率分布；(2) 从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量n为取出此球55所得分数.若En = 3，D“ =5,求a : b : c.【导学号：62172334】解(1)由题意得 E 2,3,4,5,6.3X 31故 P( & 2) = 6二4,2X 3X 2P(E 3)& -6XF13,2X3X1+2X

6、2P(M 4)&6X518,2X2X11P(E 5)= 6X 6 = 9,1 X 11P(E 6)& 岚二 36.所以E的概率分布为23456P115114318936所以E(n=+ +a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ cDg 3；a+ S52. b +3a+ b+ c5c= 9(2)由题意知n的概率分布为n123Pabca+ b+ ca+ b+ ca+ b+ ca2b3c 53,2a b 4c= 0,化简得a+ 4b-11c= 0.解得 a= 3c, b=2c,故 a：b： c= 3 ： 2 ： 1.规律方法1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可

7、能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.22. 注意 E(aX+ b) = aE(X) + b, V(aX+ b) = a V(X)的应用.变式训练1(2016苏北四市摸底)已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小 组中随机各选2名成员参加某项活动.(1) 求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2) 记X为选出的4名选手中女选手的人数，求 X的概率分布和数学期望.解(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C2 c3 C3+ c3=21种.(2)X的可能取值为0,1,2,3.C331PQ &#

8、176;戶 CCCT二 20,c2csc3+cs2X 3X 3+ 310X 6= 20，P(X= 1)=2 1c3Cs 3X 33P(X= 3)= c5c4= 10X 6二20,P(X = 2)= 1 P(X= 0) P(X= 1) P(X= 3) = 29.卜例X的概率分布为X0123P179320202020179317E(X戶 0X 20+1X 20+2X 20+ 3X 20=百1II与二项分布有关的均值、方差2某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙 箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是

9、红球，则获一等奖；若只 有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1) 求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2) 若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X， 求X的概率分布和数学期望及方差.【导学号：62172335】解(1)记事件Ai = 从甲箱中摸出的1个球是红球，A2= 从乙箱中摸出的1个球是红球，B1 = 顾客抽奖1次获一等奖，B2= 顾客抽奖1次获二等奖，C = 顾客抽 奖1次能获奖.由题意知Ai与 A相互独立，Ai a2与A?A2互斥，Bi与B2互斥，且Bi = A1A2， B2= Ai A2 + Ai A2， C= Bi+ B2.4251因为 P(Ai)=祜

10、二 5, P(A2)=10=2，所以 P(Bi) = P(AiA2)= P(Ai)P(A2)= 5x 2= 5,P(B2)= P(Ai A2 + Ai A2) = P(Ai A2 )+ P( Ai A2)=P(Ai)P( A2 )+ P( Ai )P(A2)=P(Ai)(1 - P(A2) + (1- P(Ai)P(A2)=2x1-1_ 12 = 2.1 17故所求概率为 P(C) _ P(Bi+ B2)_ P(Bi) + P(B2) _5+ 2_和(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为5所以XB 3,于是 p(x_ o)_ c0g)(|)_ 125

11、,1 (1 (4 48P(X_ 1)_ C3£丿訂 _ 莎,211 21'4 112p(x_ 2)_ C2i251_ 115,3P(X_ 3)_ C3故X的概率分布为X0123P644812112512512512513X的数学期望为E(X)_ 3X 1_5.、 、 1( 1) 12 随机变量X的方差V(X)_ 3X 5 1 5 _25.规律方法1求随机变量E的期望与方差时，可首先分析E是否服从二项分布，如果EB(n, p)，则用公式E( 3_np, V(B_np(1 p)求解，可大大减少计算量.2有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，此

12、时，可以综合应用E(a扌b) = aE( 3 + b以及E( B = np求出E(a E+ b).同样还可求出 V(a &b).变式训练2空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气 质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，050为优；51100为良； 101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300为 严重污染.一环保人士记录 2015年某地某月10天的AQI的茎叶图如图62-1所 示.111921图 62-1(1) 利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI < 100)的天数；(按这个月总 共30天计算)

13、(2) 将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为E,求E的概率分布列、数学期望和方差.解(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为走=5，3从而估计该月空气质量优良的天数为30 X 5= 18.3(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为5，E的所有可能取值为0,1,2,3.也,p(e 1)=喝2韻，p（e 2）=C3 5 25=卷,故E的分布列为30123P8365427125125125125f 333(3、1825.均值与方差在决策中的应用显然匕B 3, 5 , E( 3 = 3X5= 1.8,随机变量E的

14、方差V( 3 = 35 1 5 =24卜例下:X甲2829303132P0.10.150.50.150.1有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如X乙2829303132P0.130.170.40.170.13其中X表示纤维长度（单位：mm），根据纤维长度的均值和方差比较两种棉 花的质量.解由题意，得 E（X 甲）=28X 0.1 + 29X 0.15+ 30X 0.5+ 31 X 0.15+ 32X 0.1=30，E(X 乙)=28 X 0.13+ 29 X 0.17+ 30 X 0.4+ 31 X 0.17+ 32X 0.13= 30.又 V(X 甲)=(28 一 30)

15、2 X 0.1 + (29 30)2 X 0.15 + (30 30)2 X 0.5 + (31 2 230)2 X 0.15+ (32 30)2 X 0.1 = 1.1，V(X 乙)=(28 30)2X 0.13 + (29 30)2X 0.17 + (30 30)2X 0.4 + (31 2 230)2 X 0.17+ (32 30)2 X 0.13= 1.38,所以E(X甲)=E(X 乙)，V(X甲)< V(X乙)，故甲种棉花的质量较好.规律方法1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差.2 .依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.变式训练3(2016扬州

16、期末)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球若摸中甲箱中的 红球，则可获奖金 m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金 n元活动规定： 参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙 箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动 终止.(1) 如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；(2) 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序， 并说明理由.解(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 n元

17、为事件M.131则P(M)= 3X 4= 4，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下:先在甲箱中摸球，参与者获奖金 x可取0，m，m+ n，3 121111则 P(x= 0)=4，P(x= m) = 4X3= 6，P(x= m+ n) = X3=屁;311 m nE(X)= 0X 4+ mX6+ (m+ n) X石=匚 + ；先在乙箱中摸球，参与者获奖金 n可取0，n，m+ n，2131111则 P(n= 0) = 3，P(n= n) = 3 X4=4，P(n= m+ n) = 3X4=12,、c 21, 、丄 m nE(n = 0X3+ n

18、X4+ (m+ n)X 伐=伐+ 3，2m 3ne(x)- e( n=石，当m>3时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大;当mm二3时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m<3时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大.即当m>3时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大； 当mm=3时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m<2时，先在乙箱中摸球，再 在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大.名師微博®思想与方法i 均值与方差的性质(1)E(aX+ b) = aE(X)+ b，V(aX+ b)= a2V(X)(a

19、, b 为常数).若X服从两点分布，则 E(X)= p，V(X)= p(1 p).若 X服从二项分布，即 XB(n, p)，贝U E(X) = np, V(X)= np(1 p).2. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法(1) 已知随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解.(2) 已知随机变量E的均值、方差，求E的线性函数n= a b的均值、方差, 可直接用E的均值、方差的性质求解.(3) 如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解.易错与防范1. 理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定， 即X作为随机变量是可变的，而 E(X)是不变的，它描

20、述X值的取值平均状态.2. 注意 E(aX+ b) = aE(X)+ b，V(aX+ b) = a2V(X)易错易混.3. 对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机 变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变 量的均值、方差.课时分层训练(六)A组基础达标(建议用时：30分钟)1 .某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生 人数为E,求E的方差.解依题意，随机变量E服从超几何分布，E可能的取值为1,2,3.c4c3-kP(Ek)=Cp，k= 1,2,3.E的概率分布为E123131pP555E(B= 1 X 1+ 2X 5

21、+ 3X £= 2.12 32 12V(B = 5X(1_2)2 + 5X(2 2)2 + 5 (3-2)2 = 042 现有一游戏装置如图62-2,小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票，若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的 总次数不超过3次.ABC1 1 1P(X=5)=2+4X 2+X2 =2132.1 1 1P(X= 10)=4+4X 4+12X 4=£图 62-2(1) 求投球一次，小球落入 B槽的概率；(2) 设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 X,求X的概率分布

22、及均值.【导学号：62172336】解(1)由题意可知投一次小球，落入b槽的概率为22+落入c槽的概率为2X的所有可能取值为0,5,10, PQ 0)= 43=64,=2(2)落入A槽的概率为g卜4，1 落入B槽的概率为2，所以X的概率分布为X0510P1212164326410576.1 21 21E(X)二 ox 64+ 5x 32+ 10x 64=3. (2017南通二调)一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费 1元可玩1次游戏，从中有放回 地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球， 然后摸球.当所指定 的玻璃球不出现时，游戏

23、费被没收；当所指定的玻璃球出现 1次，2 次, 3次时， 参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k N +)，且游戏费仍退还给 参加者记参加者玩1次游戏的收益为X元.(1) 求概率P(X= 0)的值；(2) 为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值.(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)【导学号：62172337】解(1)事件“X= 0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则 P(X= 0) = 3x6x d)=72且 P(X= k)=P(X= 1)=将岸衆P(X= 1) = 3XJ 2 5 _56 X看 72,P(X= 0)=2572,(2)依题意,X

24、的可能值为k， 1,1,0,结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为11255 k 110E(X)= kX 216+ ( 1)X 216+ 1 X 72=216 (兀)为使收益X的数学期望不小于0元，所以k> 110,即kmin = 110.4. (2016 山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3分；如 果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分已3 2知甲每轮猜对的概率是4,乙每轮猜对的概率是3；每轮活动中甲、乙猜对与否互 不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活

25、动，求：(1) “星队”至少猜对3个成语的概率；(2) “星队”两轮得分之和X的概率分布和数学期望E(X).解(1)记事件A: “甲第一轮猜对”，记事件B: “乙第一轮猜对”，记事件C: “甲第二轮猜对”，记事件D: “乙第二轮猜对”，记事件E:“星队至少猜对3个成语由题意，E_ABCD + A BCD+ A B CD + AB C D + ABC D，由事件的独立性与互斥性，P(E) _ P(ABCD) + P(瓜 BCD) + P(A B CD) + P(AB "C D) + P(ABC D ) _+2 一 3X3 一 4X2一 3X3 一 4-P(A)P(B)P(C)P(D)

26、+ P( A )P(B)P(C)P(D) + P(A)P( "B )P(C)P(D) +P(A)P(B)P( C )P(D) + P(A)P(B)P(C)P( D )1 2 3 2 3 1 3 222X 4X 3乂 4乂 2+ 4* 3X 4乂 3 -3，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为3.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得11111P(X-°戶 4X1X 4X1-面，31111211P(X二1)=2X QX1X1X3+4X2X4X1 丿_ _io_ _ 5=144_ 72，PQ 2)= |x 4 |x ! + |x

27、4 !x 2 + !x |x |x 1 + !x |x 41254 3 4 3+ 4 3 4 3 + 4 3 4 3 + 4 3 4 3144,P(X= 3)= |x2111133x 4x 3+ 4x 3x 42 12 1xx 314412,i3 2 313 212)P(X 二 4)二 2x ax2x3x 1+4x3x4x2丿_ _60 _ _5二 144 _ 12，36 _ 1144 _ 4.3 2 3 2P(X _ 6)_ 4x 3x 4x 3_可得随机变量X的概率分布为X012346P15-2515-11447214412124152515123所以数学期望 e(x)_ ox 144+1

28、 x72+ 2x 144+ 3x乜+ 4x乜+ 6x4 _ 石.B组能力提升(建议用时：15分钟)2 11. (2016南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为§与2,各自相互独立现两人做投篮游戏，共比赛 3局，每局每人各投一球.(1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2) 设E表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求E的概率分布和 数学期望E(B.解(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1个的概率1-3祀3C1-225031 22 _

29、36'C2-31123(2) E的取值为0,1,2,3,所以E的概率分布列为0123P71151242424247d dcd所以数学期望 E(B=OX24+ 1X24+2X24+ 3x刃=1.2计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资 料显示，水库年入流量.X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位： 亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120 的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相 应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1) 求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2

30、) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40V XV 8080< X< 120X> 120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大， 应安装发电机多少台？解(1)依题意,P1 = P(40v XV80)=曇=0.2，p2 = P(80WX< 120)=器=0.7,P3= P(X> 120)=齐 0.1.104+4x由二项分布知，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为P= c4(

31、1 p3)4 + c4(1 p3)3p3 =(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元). 安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y= 5 000, E(Y) = 5 000X 1 = 5 000. 安装2台发电机的情形.依题意知，当40vXV80时，一台发电机运行，此时丫= 5 000 800= 4 200,因此P(Y= 4 200)= P(40VXV80) = pi = 0.2;当X> 80时，两台发电机运行，此时 丫= 5 000X 2= 10 000，因此 P(Y= 10 000)= P(X>80) = p2 + p3= 0.

32、8.由此得 丫 的分布列如下:丫4 20010 000P0.20.8所以，E(Y) = 4 200X 0.2+ 10 000X 0.8= 8 840. 安装3台发电机的情形.依题意，当40VXV 80时，一台发电机运行，此时丫= 5 000 1 600= 3 400, 因此 P(Y= 3 400)= P(40VXV80) = p1 = 0.2;当 80<X< 120 时，两台发电机运行， 此时 丫= 5 000X 2 800= 9 200，因此 P(Y= 9 200)= P(80<X< 120)= p2= 0.7; 当X> 120时，三台发电机运行，此时 丫= 5 000X 3= 15 000,因此P(Y= 15 000) =P(X> 120)= p3 = 0.1，由此得丫的分布列如下：丫3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)= 3 400X 0.2+ 9 200X 0.7+ 15 000X 0.1= 8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.3. (2017南通模拟)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店3铺中的A，B，C三种商品有购买意向.已知该网民购买 A种商品的概率为4,购一 2 一 1买B种商品的概率为2，购买C种商品的概率为勺.假设该网民是否购买这