函数的性质3-周期性与对称性(课堂PPT)

1、1函数对称性与周期性杨少辉杨少辉2知识点一：对称性的代数表达式；知识点一：对称性的代数表达式；1、函数 的图像关于直线 对称当 时， ；( )f xxa122xxa12()()f xf x如： 、 等；()()f axf ax(2)( )faxf x(3)()faxf xa32、函数 的图像关于点 对称当 时， ；( )f x( , )a b122xxa12()()2f xf xb如： 等；()()2f axf axb(2)( )2faxf xb注意：若注意：若 有意义，则有意义，则 ；( )f a( )f ab4总结：若函数方程中含有 且 的系数相反，则函数 具有对称性；若 则有对称轴；若

2、则有对称中心；()(2)ff式1，式12x式 与式 中( )f x()(2)ff式1式()(2)ff式1式常数5知识点二：简单的复合函数的奇偶性；知识点二：简单的复合函数的奇偶性；基本思想：转化成基本思想：转化成 的对称性来研究；的对称性来研究；( )f x（2） 为偶函数()f xa()()f a xf a x（1） 为奇函数 ()f xa()()f a xf a x6知识点三：函数对称性的一个应用；知识点三：函数对称性的一个应用；（1）若 的图像关于 对称，且在区间 上为增（减）函数；若 则： （ ） ；( )f xxa ,)a 12( )()f xf x12| |xaxa12| |xax

3、a7例1、已知 满足： ，且在 上为增函数；若不等式对 恒成立，求a的取值范围？( )f x(2)( )fxf x1,)2(1)(2)f axf x xR 8例2、函数 为定义在R上的减函数，的图像关于点 对称，若实数 满足： ；点 为原点，当 时， 的取值范围是_；( )f x(1)f x(1,0), x y22(2 )(2)0f xxfyy(1,2),( , )MN x yO14xOM ON 9例3、已知等差数列 同时满足：（1）（2）则 的前2011项和 = _；na3222011(1)2011(1)sin3aa3201020102011(1)2011(1)cos6aana2011S10

4、知识点四：函数的周期性；知识点四：函数的周期性；1、定义：对于定义域内的任意的 都存在非零常数 使得 ，则称 为函数 的一个周期，函数 为周期函数；（注意：如无特殊说明所说周期为最小正周期；）xT()( )f xTf x( )f x( )f xT112、常见的周期表达式：()();()f xaf xbab（1）|Tab（2）()( )f xabf x2|Ta（3）()( )kf xaf x 2|Ta（4）2()( )f xabfx2|Ta12（5）(2 )()( )f xaf xaf x6|Ta（6）1( )()1( )f xf xaf x2|Ta（7）1( )()1( )f xf xaf x

5、4|Ta总结：若已知 的一个函数方程，且“式1”与“式2”中 的系数相同，一般可以推出周期；(1)(2)ff式 与式x133、对称性与周期性的关系；（1）若 关于对称轴 对称( )f xxaxb和2|Tab（2）若 关于 对称( )f x( ,0)xab 和4|Tab（3）若 关于 对称( )f x( ,0)( ,0)ab和2|Tab14例题讲解：函数的综合应用；例题讲解：函数的综合应用；例1、若 是定义在R上的奇函数，且满足 ，则下列命题正确的有_；（1） ；（2） 周期为4；（3） 对称中心为 ；（4） 对称轴为 ； ( )f x(2)( )f xf x (2)0f( )f x( )f x

6、1x ( )f x(2,0)15（变式1）已知 是R上的偶函数， 是奇函数，且 ，则： _；( )f x(1)f x(2)2f(1)(2)(2014)fff16( )f x（变式2）已知定义在R上的函数 满足： 为奇函数， 为偶函数，则： = _； = _；(1)f x(3)f x(0)1f(8)f(2007)f17例2、已知 是定义在R上的奇函数，且满足（1） ； （2） 在区间 上为增函数； （3） 时， 有四个 不等实根 ；则： = _；( )f x(2)(2)f xf x ( )f x0,2 8,8x ( ),(0)f xm m1234,x x x x1234xxxx18（变式）已知定义在R上的函数 满足： 且 ，则 在 上的所有实跟之和为_；( )f x222,0,1)( )2, 1,0)xxf xxx (2)( )f xf x25( )2xg xx( )( )f xg x 8,319例3、已知 是定义在R上的偶函数，且 ，当 时， ；若关于 的方程 在区间恰有3个不等的实根，则a的取值范围是_；( )f x(2)(2)fxfx 2,0 x 2( )12xf xx( )log (