高考数学压轴题专题复习：1导数与函数的最(极)值(精讲篇)

1、6用思维导图突破函数导数问题 专题1极值(最值)问题 精讲篇 (12页)用思维导图突破导数压轴题解答数学题的思维导图已知条件 隐含条件i 否 i否中间结论(可知) 已知条件的等价转化f逛公园顺道看景，好风光驻足留影.把条件翻成图式，关键处深挖搞清.综合法由因导果，分析法执果索因.两方法嫁接联姻，让难题无以遁形.这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即 理解题意后把已知条件 翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已知条件入手推出中间结论(可知)，当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转

2、化为需知”，再用中间结论证明 需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是找关系”-找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。中等以下水平的学生高考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。专题01导数与函数的最(极)值问题利用导数求函数f(x)极值、最值的基本方法是先求 f(x)的导数f'(x),再求f'(x)的零 点Xi , i N ,根据f' (x)在为两边的符号判断的单调性，最后确定 f (x)是极大值或极小 值，

3、再确定最值。先求导数再定零点考查单调极值来了引例(2019 江苏卷第 19 题)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c) , a , b , c R, f (x)为f(x)的导函数.(1)若 a b c, f (4)8,求 a 的值；(2)若a b , b c ,且f (x)和f (x)的零点均在集合 3, 1, 3中，求f (x) 的极小值；(3)若a 0, 0 b, 1 , c 1,且f(x)的极大值为M ,求证：M,工.27思路点拨第(1)只要直接计算即可。第(2)题先求出f (x)和f (x)的含参数零点(用 a、b表 示)，再根据零点均在集合 3,1, 3中确定a、b的值。第

4、(3)题求出f (x)的零点Xi,X2 (设X x2),根据单调性确定极大值为f(xj X： (b 1)X12 bx1，这里含有两个变量，最容易想到的方法就是转化为一元变量，但恒等变形能力要求较高，也可以挖掘隐含条件利用基本不等式整体消元。第(3)解题思维导图如下：求f (x)的极大值M2,(b 1)X1bX1对f(x)求导可得f(x)的极大值M=f(x1) x132b2_22b 2)X1 b bM f(x)x；( x2 2x1 1) 2xJ1'又 2b2 2bc c12 0, % (0-, 3再放大，或Mb(b 1) 2(b271)2(b 1)213石一亦,b(b 1) 1)3八1x

5、1(0,-,/ x2(g(x)2x 2x 1)2x 1'证明其在(0,1单调递增求M3利用b (0,1,可得f(x1) X1(X| b)(x1 1)12xi (b xi)(1 X1)21 b 1 34()一2 327再放大求M利用b (0,1,可得一、 ，、，、，、2f(x) x(x b)(X1 1) X(X1 1),_20 X11。构造 g (x) x(x 1),X (0,1),求 M满分解答(1)因为 ab c,所以 f(x)(x a)3,又f(4) 8,所以(4a)38,解得a2.(2) a b,b c,设 f(x) (xa)(x b)2,令 f (x) (x a)(x b)2

6、0 ,解得 x a ,或 x b .又 f (x) (xb)2 2(x a)(x b)(x b)(3xb 2a)，令 f(x)0 ,解得 xb,或2a b x .3因为f (x)和f (x)的零点均在集合 A 3, 1, 3中，所以c , , w 2ab 6 15A -a 3 , b 1 ,贝U - A,舍去;333 ,-皿 2ab 2 31A -a 1 , b 3,则 - A,舍去；3,2a b31 A,舍去;3,2a b31 A;333a 3 , b 1 ,则 2ab 61 7 A ,舍去; 333,c w 2aa 1 , b3,则一b 5A ,借.因止匕a 3 , b 3,332a b3

7、1 A,从而 f(x) (x 3)(x 3)2, f(x) 3x ( 3)(x 1),令 f'(x) 0 ,得 x3或x1 .列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)f1(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z从而可知，f(x)的单调递增区间为(一叫_3和口,+3)，单调递减区间为,一3山，由此可知当 x 1时，函数f(x)取得极小值，f (1)2 4232 .(3)证明：a 0,0 b, 1 , c 1 , f(x) x(x b)(x 1),贝U一- 2 一一f (x) (x b)(x 1) x(x 1) x(x b) 3x(2b 2)x b.221 2因为4(b 1) 12b 4

8、b 4b 4 4(b -)33,所以f (x) 0有两实根 /因，设x1 x2,则f(x)单调递增区间为f，单调递减区间为x1,x2,于是f(x)产和%+00)取得极大值为 Mf (x1) x1(x1 b)(x1 1)。这里有两个变量，随着把二元变量转化为一元变量有两种方法，这对恒等变形能力要求较高，也可以根据 b的范围确定上的范围，利用基本不等式整体消元，这样比较简单。解1利用求根公式由b表小x1 ,消x1,、c 2一c、,c r21P-、，-，由 f(X)3x1(2b2)x1b0 得x(2 b2)x1b,从而3f(xj x(x b)(x 1)2(2 b 2)x1bb)(x1x1)(x1 b

9、)(A x1)3l(2b 1)x； 2b2x1 b21(2b 1) (2b 2)x1 b 2b2x b2i _ 2_2-(2b 2b 2)x1 b b由于 2b2 2b 22(b,1 1-M在x1 (0,T ,上单倜递减，33331)2 3。，且 x1 b 4 后 b 1(01，所以2233221/ 2b2 2b 2 / “ b2 5b 24M 颈H b b).932727即 M ,.27还可以这样消去常【:因为f'(国)3为2 2(b 1)x1 b 0,所以8用思维导图突破函数导数问题 专题1极值(最值)问题 精讲篇 (12页)1g 3X|b 1 , b1 2 3 b 1,x2所以f

10、(x1)为3(b1)x12bx13x2 2(bI)”Xi22 b2 b 1b(b 1)9f'(x1吟-22(b b91)xib(b 1)9b(b 1)2722(b 1) (b 1)272 327(Jb(b 1) 1),由于0 b,21 ,上式 一2720 274rr,即M274o27这两种恒等变形是不是有不会想到啊!解2利用f'(x)=0 消去 bf (%)23x2 (2 b2)x1 b。得3x2 2x2x1一一 112(0,1,解得0 x或£33又2x1x1x22(b 1)f(x1)3xi(b1)xi2bx2-为-,从而03x12( x12 2x1令 g(x)2x

11、1)2x 1则 g'(x)2xi 12x(x 1)(3x2 2(2x 1)3x 1)1 30, g(x)在(0,1单调递增, 3解3利用不等关系0 b 1消27 b因为 b (0,1,所以 x1 (0,b),x1b 0,x1 1 0.f (x1)为(x12b)(xi 1) x1(x1 1)。令 g(x) x(x 1)2, x (0,1),1则 g'(x) 3(x)(x31),令 g'(x)0,则g( x) max427下:x(0,1) 3131(3,1)g'(x)+0一g(x)Z极大值1,、所以当x 时，g(x)取得极大值，且是最大值，故310用思维导图突破函数

12、导数问题 专题1极值(最值)问题 精讲篇 (12页)427所以M427所以当x (0,1)时，f(x) g(x) £ ,因此M27解4利用均值不等式消 xia b c因为b (0,1,所以xi (0,b),由均值不等式9abc (a 0,b 0,c 0),则311b 1 34f(xi) x1 (x1 b)(x1 1)2x1 (b x1 )(1 x1)()22327例2 (2019年出文第20题)已知函数f(x) 2x3 ax2 2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0 a 3时，记f(x)在区间0 , 1的最大值为 M ,最小值为m ,求 M m的取值范围.思路点拨a第(1)题求出

13、f'(x)的零点0, 3 ,分a 0,a 0,a 0三种情况，讨论f (x)的符号， 从而确定其单调性。第(2)题根据(1)在0 , 1的单调性，求出值 M和m ,再求M m 的取值范围。满分解答(1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a) 令 f (x) 0 解得 x 0或 x a.3若a 0, f (x) 6x20,函数f(x)在(，)上单调递增；若 a 0,则当 x (, (,0)U(a,)时，f(x) 0；当 x (0,刍)时，f (x) 0.33故f(x)的单调递增区间为(，0) , (a,)，单调递减区间为(0,-)；33若 a 0,则当(，a)U(0,)时，f (

14、x) 0;当 x (- , 0)时，f (x) 0.33故f(x)的单调递增区间为(，a), (0,3),单调递减区间为/ a(一,3(2)当0 a 3时，由(1)知，f(x)在(0,与)上单调递减，在3(-,1)上单调递增, 3所以f(x)在区间0, 1的最小值为3 a27f(0)2或 f(1)3a c+2 , 274 a,02,2, aa 2, 从而M3,a 2 时，记 g(a) 2 a3a,则可知g'(a) 272m 3a,2, 272-1 93 a 一,0 27a 3.a 2,0 ,因此g(a)(0,2)单调递减，M m的取值范围是(27，2)；当2, a 3时，a_单调递增，

15、M m的取值范围是£ , 1). 2727综上'M m的取值范围导2).例3(2018全国1卷理科第21题)已知函数fx 二x alnx. x(1)讨论f x的单调性；(2)若f x存在两个极值点 x, x2,证明：x x1x x2 a 2 .x x2思路点拨(1 )讨论f x的单倜性，就是要比较f (x)与0的大小。因为，、1， a 1,2，、1 ,f (x) 1 -(xax 1) , f 恒小于0,所求问题转化为函数x xxxh(x) x2 ax 1在定义域(0,)上函数值与0的大小关系。h(x)是一个过定点(0,1)开a口向上的抛物线，对称轴为x a。分类讨论的标准：(

16、1)a 0,即对称轴在y轴左侧或2为y轴；(2)a 0,即对称轴在y轴右侧；这时又需要进一步讨论：(i)0,即0 a 2；(ii) 0,即 a 2。解(1) f (x)的定义域为(0,), f (x)2 1 旦2 (x2 ax 1)x x xa令h(x) x2 ax 1,这是一个过定点(0,1)开口向上的抛物线，对称轴为x 。2当a 0时，即a 0时，h(x)在(0,)恒大于0, f'(x) 0,此时f(x)在(0,) 2上是减函数。(ii)当a 0时，即a 0时，令a2 4 ,2当 0,即0 a 2时，f'(x) 0恒成立，此时f(x)在(0,)上是减函数。0,即a 2时，h

17、(x) 0的两根为a-La4 ,作出h(x)的草图，由图可12用思维导图突破函数导数问题 专题1极值（最值）问题 精讲篇 （12页）知，当 x （0一）U -)时,f (x) 0；.a 4 a “a 4)时,f (x) 0.f(x)在(0,aa a2 42),(）上是减函数；在（aa2 4 24)是增函数。综上所述,2时,f(x)在(0,）上单调递减;f(x)在（。，3），一二）上单调递减a 7 a之4）上单调递增。（2）因为f （x）存在两个极值点x1, x2,所以由（1）得a2.不妨设x1x2 ,因为x1，x2为方程x2 ax 1 0的两个实根，所以xx2 1 ,f(x1)f(x2)x2x

18、1xx2(xix2)a(ln x11nx2)=2(xix2)a(lnxiInx?)f (xi)f 3)2a(1nx11nx2)x1x2x1x2'证 33 a 2x1x2(In x11n x2)121n x2x1x2x1x2且 xx2只要证x2X21一x2 x221n得函数g(x)21n x 在(0,）上单调递减，g(x2)x2x2 21n x2g(1)0,得证!附注1n x11n x21可以有多种证法。17用思维导图突破函数导数问题 专题1极值(最值)问题 精讲篇 (12页)ln x1ln x2,11,即 1nxiln x2 x1x2，亦即 21nxixi一 在(0,1)上恒成立，x1

19、 x2x11/1 2设 h(x) 2ln x x - , 0 x 1 ,则 h'(x) - 1 , (x 21)0,所以xx x x1h(x)在h(x) 21n x x 在(0,1)单调 递减，所以h(x) h(1) 0 ,从而 x11f (x1)f (x2)c21n x x 一 0,即 21nx x -,所以a 2。xx1 x2例4 (16全国3文21)设函数f(x) 1n x x 1(1)讨论f (x)的单调性；.x 1 1 x证明当x (1，)时， 1nx ；x(3)设 c 1,证明当 x (0,1)时，1 (c 1)x c.思路点拨解答(1)要先求函数的导数，再解不等式，从而确

20、定单调区间；(2)左端可利用(1),右端把x换成1 ； (3)把要证的不等式左边移到右边，构造函数，利用单调性证明不等式 x满分解答,、1/ 人，,曰(1)函数 f(x)的定乂域为(0,), f (x)=- 1,令 f(x)=0 得 x 1.x当0 x 1时，f (x) 0, f(x)单调递增；当x 1时，f (x) 0 , f(x)单倜递减.(2)由(1)知，f (x)在x=1处取得最大值，且最大值为f(1)=0.当 x 1 时，f (x) 0,即 lnx x 1 0,所以 1nx x 1;、x 1x (1,)时，In x 0,由 lnx x 1得 1 。In x一， ，1 再以当x代一得,

21、11, r X 1, r X 1 一 X 1ln - - 1 ,即In x,即x,所以 1 x.x xxln xln x(3)设 g(x) 1 (c 1)x cx,则 g(x) c 1 cx ln c.i c 1人 'In令g (x) 0 ,因为c 1,所以 in c .x1inc当 x x1时，c 1,in c 0, g (x) c 1 ex in c c 1 e51 in c g (x1) 0 ,即 ' 、 , g (x) 0 ,只要g(x)在(x, x)上单倜递增；当x x1时，同理可得g (x) 0, g(x)单调递减.c 1由(2)得 1 in c,故 0 X 1.

22、in c又g(0)g(1=0,故当 0 x 1 时，g(x) 0.所以当 x (0,1)时，1 (c 1)x cx.例5 (2016年全国1理第21题)x 2(1)讨论函数f(x) =2ex的单调性，并证明当x 0时，(x 2)ex x 2 0;x 2x(2)证明：当a 0,1)时，函数g x =e一axa(x 0)有最小值.设g x的最小x值为h(a),求函数h(a)的值域.思路点拨(1) 先对f x求导，再判断的单调性，根据 f x在(0,)上的单调性，比较 f x与f(0)的大小关系证明不等式；(2)对g x求导判断单调区间，求出最小值 h(a),再求h(a)的值域.满分解答/2 x(1

23、)证明：f x2 U 2,x 2 x f Y (X 1)(x 2) (x 2) x x e e , f X2e2 .x 2x 2x 2时，f x 0 ,所以f x在 ，2和 2, 上单调递增.又当x 0时,f 0 = 1 ,所以 x 2 exx 2 , x 2 ex x 2 0.x2xe a x 2x e ax ax xex 2ex ax 2ax 2 x ex 23xax 2 f (x)=3x由知，当x 0时，f x a单调递增，所以对 a 0,1, f 0 a a 1 0 ,f(2) a a 0.因此，存在唯一 t (0,2,使 f a 0,即 g(t) =0 .当 0 x t 时，f(t)

24、 a 0,g (x) 0, g(x)单调递减；'当 x t 时，f (t)0, g (x) 0, g(x)单调递增.因此，g(x)在x=t是取得最小值，最小值为te a t 12tet f(t) t 12tt 2 t2t士，在 t 0, 2 时,t 2et t 12 0,所以k t单调递增,t 21 e2,一24例6 (2015年安徽理第21题)设函数f xx2 ax b .例5 (2015年安徽理第21题)设函数f x x2 ax b.(1)讨论函数f sinx在一,一 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(1)讨论函数f sinx在 212 2白体调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f%xx2 a0x b0,求函数|f sinxf0 sinx|在一,一 上的最大值(2)记 f0 x x2 a°x b0,求函数 f sinxf0 sinx /？” 上 2段封直 D；D ；a22在描刘逸a0岫0a0 0谱Z0,bjt z4 b®t