微分方程和差分方程

1、第一章线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题C一个一维粒子，初始时刻处于点x=x0,初始速度为%,受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。解：用X")表示粒子在任意时刻，的位置，根据牛顿第二定律尸=口，有mX=F对于阻尼作用/=-尿，于是，粒子的运动方程nii=-kx这是关于时间，的常微分方程，非常简单。求解得上x(t)=q+c,e1n结合初始条件x(O)=A),*(0)=%，则C7+处C迫C一十k，c2-k代入得粒子的运动轨迹k这就是这门课程的第二部分一一数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。1.1常系数齐次线性微分方程方程

2、的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项。例如“二43；二阶线性，网=%；二阶线性，(处)2+2=；一阶非线性。一'二阶常系数齐次线性微分方程求解二阶线性微分方程/+P(x)/+<2(x)y=/(x)若/(x)三。为齐次，为非齐次。方程尸+卢分=0称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数。能否适当选取，使满足二阶常系数齐次线性微分方程，为此将产代入方程y+“y'+SV=O得(r2+pr+q)crx=0由此可见，只要;满足

3、代数方程户+”+行0,函数尸e巾就是微分方程的解。特征方程：方程叫做微分方程/+2V'+G=O的特征方程。特征方程的两个根n、9为-p+±J2-4qr'2=2特征方程的根与通解：(1)特征方程的实根力、n不相等时，函数弘=e位、刈=e个是方程的两个线性无关的解，方程的通解为y=(严+c2e°x.(2)特征方程的实根门=/2时，函数=e"、=疣”是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解，方程的通解为y=(c,+c2x)er|X(3)特征方程有一对共轨复根ri.2=a±/-,函数产e3/、产理-加是微分方程的两个线性无关的复数形式的解。

4、函数尸e叱os四、ke%in/k是微分方程的两个线性无关的实数形式的解，方程的通解为y=e券(cicosW'+csin/).例1求微分方程尸-2y-3尸0的通解。例2求方程尸+2旷+产0满足初始条件)，。=4、)%)=-2的特解。例3求微分方程y-2y，+5y=。的通解。二、线性微分方程的解的叠加y"+P(x)y'+Q(x)，=O(1)定理1如果函数广和)Mx)是方程(1)的两个解，那么它们的线性叠加y=c1y1(x)+c2>'2(x)也是方程的解，其中q和q是任意常数。定理2如果函数户和”(幻是方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加y=q&

5、gt;'i(x)+c2>2(x)是方程的通解。推论如果函数以(X),力,y“(x)是阶线性齐次方程y+8(幻)，(”7)+凡(尤)，=。的个线性无关的解，则>'=Gy(x)+q%(x)+c,yn(x)是方程的通解，其中G,C2,。“为/?个任意常数。/+P(x)y+(2(x)y=/(x)(2)定理3如果/(a)二阶非齐次线性方程(2)的一个特解，)，心)和x(x)是对应齐次方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加y=qx(x)+c2y2(x)+y*(x)是方程(2)的通解。定理4如果短")和y；(x)分别是二阶非齐次线性方程-+尸(-+0-=-3

6、,-+P(x)y'+Q(x)y=启劝的特解，那么)；(x)+)，；(%)是方程/+P(x)y'+Q(x)y=./；(x)+f2(x)的特解。1.2常系数非齐次线性微分方程二阶非齐次方程y"+py+qy=f(x)一、待定系数法对于特殊类型的/U)，可写出特解)声。)的待定表达式:於)类型特解y*。)的待定表达式A*acosfix+bsin/3xAcosflx+Bsinflx+42小一1+4H+4-1A/+A2./-'+A/+Aa.3cos/+Z?sin/?v)(Acos/?v+Bsin/5»v)e*(aW+t+他+i)铲XAW+A2ft+A«

7、x+Ap)如果.士以0,4士外是特征方程的重根，则在表达式上再乘以V例1求微分方程y-2y-3.v=3x+l的一个特解。y*=-x+：例2求微分方程y"-5.y+6y=xe%的通解。y=Cex+C23v-(x2+2x)e2x二、常数变易法一阶非齐次线性微分方程y+py=Q(x)相应齐次方程的通解是%3)=C°e-设非齐次方程有一个特解y(A)=c0(A)y0(x)由于y'(x)=c'x)%(x)+%(%)-代入非齐次方程，可得c；(x)b(x)=Q(x),解得。(X)=J<2(A)e/，vd¥+Co因此，常数变易法得非齐次方程的通解为ya)=

8、e-RjQ(x)eP&+Co)类似的方法考察二阶非齐次方程yn+py+cjy=f(x)相应齐次方程的通解为XA)=c,y1(jr)+c2y2(x)设非齐次方程有一个特解y(x)=q(x).(x)+&(x)y2(x)由于y'(x)=k；(x)y(A-)+c；(x)，2(x)+c,(x)y,(x)+c2(x)><(x),若附加条件c；(x)yt(x)+(x)y2(x)=O,则yx)=q(%)，；*)+c2(x)y；(x)、"(%)=q(a)y；(x)+c2(x)y；(%)'=C(x)»"(x)+c2(x)y；(x)+c；(x

9、)y：(x)+c；(x)£(%)代入非齐次方程，可得c；(x)y；(x)+4(%)y；(x)=f(x)所以，系数门(x),C2(x)满足方程组：c；(x)(x)+c；(x)y2(x)=0c；(x)>'r(x)+cf2(x)y(x)=f(x)例二阶线性微分方程r+ty2r=/(/)齐次方程的通解T(t)=Gcoscot+C2sincot常数变易法设特解为7(/)=G(/)cosa+G")sin"其中C(f)和。2(。满足C：(i)cos切+C；a)sin3/=0一出C：(f)sin&+gC；(i)cos3/=/(/)解得1”C.(/)=-If(

10、r)sin6>rdr+r(0)<=f(T)COSCDT<T+-r(0)CO")=C0S3/(r) sin <ord r + T(0) + sin cot -f(r)cos6yrdr +r/(0)f(r)sin奴/-r)dr+T(0)coscot+770)sincotco1.3变系数线性微分方程一、欧拉型常微分方程形如UX1)严+bxy9+cy=f(a)的方程叫欧拉方程。下而是一个后而课程会遇到的一个欧拉型方程的求解。p2R，+pRH=U作变量代换Q=e1f=ln夕,则dRdRdzdR1undRdR，“,l|Jp，d/?dzdpdtpdp(itd%d/dR、dA

11、R1、1d/?1d,dR、1dR1d2R研二面£)=诟(73)=一再5+万，万)=一万五+丁丁'2d2K_d2/?dR/=彳一而"呸+屋”=_竺+婆+竺_,=与_®0d/r"dpdrdrdrd，-例L求欧拉型方程白-华一/(/ +1)/< = 0的通解。答案:通解为火=Crl+。尸"川o二、常点邻域上的级数解法(证明见李政道物理学中的数学方法P280-284)不失一般性，讨论复变函数卬的线性二阶常微分方程d2w?/、dw/、ar+P(z)+g(z)w=。dz-dzM4)=G，iv(z0)=Cp显然，方程的性质由函数p(z)和g(z

12、)所确定。定义：如果在点2=20处，函数p(Z)和。Z)解析，则Z=W称为方程的常点，否则，Z=ZO称为奇点。定理：若Z0为方程的常点，则在Z0的邻域内存在满足初始条件的唯一解析解w(z).级数解法：基于以上定理，方程的解印在点Z0的邻域内解析，则可表示成泰勒级数形式：mXz)=Z4(z-Zo)人其中，0,m,a2,是待定系数。只要能够确定这些系数，也就得到了方程的解。由于函数P(Z)和夕(Z)都是解析函数，因此也可以表示成泰勒级数："二:冏-”,夕(z)=£-a-z0y1-01-0再将卬、和q(z)的泰勒级数形式代入方程和初始条件，并要求等式两边同事次项的系数相等，就可以

13、确定待定系数ao,“1,tn,.,iik，。对于实变函数yCO的线性二阶常微分方程V+(<)/+66=0y1-vo)=Co,yVo)=G,该定理完全成立，从而可以应用级数解法。这是因为只要将实变函数p(x)和仪工)在受平面上进行解析延拓，得到和g,相应的解“心)在实轴上的值w(x)就是原方程的解。例在%=0的邻域上求解常微分方程)严+勿、=0(。是常数)。解：显然，刈=0是方程的常点，应用常点邻域级数解法求解.设y(x)=faW/(X)=£k(k_=£(+2)(k+i)/jA-2D代入方程，并合并同事项，得+2)伏+1)4+2+=0Jt-0等式右边为零，因此事级数各项

14、系数为零，即(k+2)(+1)%+2+=0从而有如下递推公式:-co1at.=a上-(k+2)(k+i)1一rT2，4-CD CO氏=亍了/=可4递推得一苏生=刀。0，一6?(7)2(02)2"，=寸2=不一出(一1)人0"(2k)!(2k+iy.于是，方程的解为G2&三，1三(一1>。"2k三(-1>疗,"7q.y=.Ze、，广+-ZEqV.=4oCOSS+SI115A.oA-o(2A)!d(2A+1)!cd上述解的收敛区域为l%l<8。一般的收敛区域判断补充:对于正项级数，通常用如下两个方法比值判别法设正项级数若极限lim也

15、二0，则当.<1时，级数收敛:M .1 /当0>1时，级数发散。根值判别法设正项级数Z4 ,若极限lim师=夕，则当"<1时，级数收敛: A-!I"应用正项级数收敛判别法，可得到如下转级数收敛范围：当p>1时，级数发放。比值判别法根据正项级数收敛的比值判别法，若极限lim Atoc当<1时，级数收敛；当0>1时，级数发散。引入记号R,若!吧|x-x0| < lim=R=!吧=R存在，则当根式判别法若极限四脉4a_=四河卜_引<1,则收敛。若也，=r存在，则当例1在%=0的邻域上求解常微分方程<+=o（。是常数）。方程的解

16、为««8/八”«/1k八2女-h七七(22！£(2+1)!v(x)av一af(T)%'%()哈(2k)!9'一%(2A+D!对于先（外应用比值判别法，得收敛区域为I / l= lim Ate(2k+2P=lim-=lim(2"+2)(24+1)<oo。f(2k)!-对于片。）应用比值判别法，得收敛区域为i/i=!吧上l =!吧TRT8TOC(22+3)!(2A + 1)!=lim(2k + 3)(22 + 2) < oo o &T0C例2在%=0的邻域上求解），'一个=0。答案：丁=0丁00）+%&g

17、t;。）三（3&-2）!3A（、小（3-1）!31%他下阳士先°收敛无限尢作业:1 .求欧拉方程/),，+3D，+),=0的通解。答案：1。二X2 .用常数变易法求方程x2y”M/+y=21nx的通解。答案：)，=(6+gInx)x+4+2InX.3 .用事级数法求方程)严+M，'+y=O的通解。答案：I),&_«(2攵+1)!4 .4二阶常系数线性差分方程一、齐次差分方程方程：l+2+l+i+qy1=fws,q是常数).若/(x)三0为齐次，/(x)hO为非齐次。对于齐次方程的通解，与微分方程类似地有：定理方程)工2+PX+夕汽=0的解为汽=，&q

18、uot;，其中满足特征方程r2+pr+q=0o特征方程的实根小-2不相等时，方程的通解为y,(2)特征方程的实根r,=r2时,方程的通解为以=(G+C2x)rx(3)特征方程有一对共血复根八2=«±询机记a±7=&士'°,A=Jar+/f(/)=arctan,即方程a的解为久=%，)"，则方程的通解为"=/l'(CCos(0x)+Gsin(0x)。例1求久+2+4y,+i+3yx=0的通解.解其特征方程，a+dr+Bn。，有根-1,-3.原方程有通解b=G(t)*+C2(-3)x是任意常数)例2求4+2+4)=

19、0的通解解其特征方程，二+4=0,有根-2i,21.2=2,则原方程有通解)=2、(Gcos(F)+C2sin(?),(C,C2是任意常数).22例3求差分方程3ym-2),=0的通解.(2丫解其通解为匕=J(C为任意常数).二、非齐次差分方程对于非齐次方程的通解，与微分方程类似地，可以用待定系数法求解。段)类型特解V。)的待定表达式A*4工人+a'+.+cikX+“k+iA1+A4t+.+AkX+Aa."i 3力 + a2AAi + + w +“(A/+A2K7+.+Ad+Am)如果.1是特征方程的重根，则在表达式上再乘以f°例，求)，+2+4九=2的通解解前例已

20、知其齐次的通解,故只需求一个特解.2令B=%,代入的d=二，所以它的通解为L=2、(Gcos(?)+C2Sin(W)+2,(G,。2是任意常数)225例5求4+2+4/=2、的通解.解令y=b2x,b22+4b2x=2所以匕=L所以其通解'8JTY7TX”=2X(Ccos()+C2Sin()+-)，(G,c?是任意常数).228例6求)"-3以=2、的通解.解显然其齐次方程的通解为y,=C-3X(C为任意常数).设其特解为八=62所以有岳2m362、=2,从而得。=一1.因此，原方程的通解为yx=c-y-21例7求九+1-弘=3+2工的通解解其齐次方程的通解为匕=C(C为任意

21、常数).设其特解为y,=x(4x+8),所以有*+l)(A(x+l)+8)-x(Ay+8)=3+2x,从而得A=l,B=2因此，原方程的通解为匕=x2+2x+C.三、差分方程的应用例8某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。解：设第个月投资帐户资金为S”元，每月存入资金为。元。于是，20年后关于S”的差分方程模型为Sn+=1.0055n-l000并且Si20=0,So=xo解得x

22、=90073.45o从现在到20年内，S满足的差分方程为Sn+i=1.0055/?+a且So=0,S240=90073.45o解得。=194.95c例9动态供需均衡模型（蛛网定理）设q表示，期的需求量用表示i期的供给量表示商品i期价格，则传统的动态供需均衡模型为：Dt=a-hPt,（1）<S,=q+AET（2）0=S，（3）其中,小叫均为己知常数c式表示，期（现期濡求依赖于同期价格：（2）式表示，期（现期）供给依赖于（，-1）期（前期）价格；（3）式为供需均衡条件。解：若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即2=4-1=勺，静态均衡价格与=动态供+b需均衡模型的等价差分方程/ 1 y齐次方程通解E=A -AI b),非齐次方程特解=纥生= b1+h方程的通解为月=A Q'+C,若 k b）初始价格外已知时，将其代入通解可求得任意常数从=庶-R,则通解为如果初始价格外=0，那么B三8。这表明没有外部干扰发生，价格将固定为常数值R，即静态均衡。如果初始价格