幂函数中档题(含答案)

1、募函数中档题（含答案）3.3窑函数中档题一.选择题(共4小题)1 .若募函数f (x)的图象经过点(3)号)则 函数g (x) =m+f (x)在23上的值域为(：A. 2,弩B. 2,聿 C. (0,挈D. 0, +8)2 .已知指数函数f (x) =ax 16+7 (a>0且a*1) 的图象恒过定点P,若定点P在募函数g (x)3 .函数f (x) = (m2- m-1) x “一皿是募函 数)对任意xi)xzG (0, +°°)且xi#x2)满足 久町)-£(小)>0 若 & bGR 且 a+b>。abv。,则 f (a) +f (

2、b)的值()A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无 法判断4 .已知f了,若Ovavbvl,则下列各式中 正确的是()A. £孔B. ababC.Dbaab.填空题(共1小题)5.已知募函数f (x)的图象经过点(已像)，P (xi)yi), Q(X2)y2)(xYx?)是函数图象上的 任意不同两点，给出以下结论：xif (xi) x2f (x2)；xif(xi) Vx2f (x2)；制 用；* 等.其中正确结论的序号是 三.解答题(共i3小题)6 .已知募函数f (x) = (m-i) 2x储一如核在(0, +°°)上单调递增)函数 g (x) =2x

3、- k .(I)求m的值；(n)当 xGi, 2时，记 f (x), g (x)的值 域分别为集合A, B,若AUB=A,求实数k的 取值范围.7 .已知函数 f (x) = (a 1) xa (aG R)g (x) 二1 lgx| .(I)若f (x)是哥函数，求a的值并求其单调 递减区间；(n)关于x的方程g (x - 1) +f (1)=0在区 间(1, 3)上有两不同实根xs x2 (xix2),求 a+L+工的取值范围.X1 k28.已知函数 f (x)=(a 1) xa (aG R)g (x) =1 igx| .(I )若f (x)是募函数)求a的值；(n)关于x的方程g (x -

4、 1) +f (1) =0在区间(1)3)上有两不同实根xbx2(x1 vx2)求北工3K 1乳2 的取值范围.9.已知骞函数)二产毋-3(底心的图象关于y轴 对称，且在区间(0, +°°)上是减函数，(1)求函数f (x)的解析式；(2)若 a>k,比较(lna) 0.7与(lna) 0.6的大小.10 .已知骞函数 g (x) = (m2-2) xm (mGR) 在(0, +00)为减函数，已知f (x)是对数函数 且 f (-m+1) +f (-m-1)=-.(1)求g (x), f (x)的解析式；(2)若实数 a 满足 f (2a-1) vf (5-a),求

5、 实数a的取值范围.11 .函数f (x) =/-3K 是偶函数.(1)试确定a的值，及此时的函数解析式；(2)证明函数f (x)在区间(-8, 0)上是减 函数；(3)当 x G - 2)0时)求函数 f (x) =/r-3 的 值域.12 .如图，点A、B、C都在募函数的图象上， 它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C 在x轴上的射影分别是A'、B'、C',记4 AB' C的面积为f (a), AAZ BC '的面积为g (a)(1)求函数f (a)和g (a)的表达式；(2)比较f (a)与g (a)的大小，并证明你的结论13 .已知募函

6、数户的图象关于y轴对 称，且在(0, +°°)上是减函数.(1)求m的值；(2)求满足31)寸<(3-2a)号的a的取值范围.14 .已知塞函数y=f (x)经过点),(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；(3)试解关于x的不等式f (3x+2) +f (2x-4) >0.15 .已知嘉函数f(x)=xa和对数函数g (x)=logax, 其中a为不等于1的正数(1)若嘉函数的图象过点(27, 3),求常数a 的值，并说明号函数f (x)的单调性；(2)若0vav1,且函数y=g (x+3)在区间-2, - 1上总有| y|02,求a

7、的取值范围.16 .已知嘉函数汽力二/T (mGZ)的图象关于y 轴对称，且在区间(0, +8)为减函数(1)求m的值和函数f (x)的解析式(2)解关于x的不等式f (x+2) vf (1-2x).17 .已知函数f (x) = (m-1)为嘉函数，g (x) =1x+f (x).(1)求证：函数g (x)是奇函数；(2)根据函数单调性定义证明：函数 g (x)在 2, +°°)上是增函数.18 .已知募函数f (x) =x -是93 (mGZ)为偶 函数，且在区间(0, +8)上是单调增函数.(1)求函数f (x)的解析式；(2)设函数 g (x) =Ww+2x+c,若

8、 g (x) >2 对任意的xGR恒成立，求实数c的取值范围.第11页(共32页)3.3塞函数中档题参考答案与试题解析一.选择题(共4小题)1. (2015?吉安一模)若塞函数f (x)的图象经 过点(3,争，则函数g (x) M+f (x)在写, 3上的值域为()A. 2,孚 B. 2,平C. (0,雪D. 0, +8)【分析】根据哥函数f (x)的图象过点(3,亭), 求出f (x)的解析式，再求出g (x)的解析式， 计算g (x)在xG?3上的最值即可.【解答】解：设f (x) =x ,.f (x)的图象过点(3,师，解得a = - 4,I _J_f (x) =K芽；.二函数 g

9、 (x)=4+f (x) =n+J亍=c+,当xG 3时)在x=1时)g (x)取得最小值g (1) =2,在 x=3 时，g (x)取得最大值 g (3) =V3+-L=-,N 3 J，函数g (x)在xG 焉3上的值域是2,晔. 故选：A.【点评】本题考查了用待定系数法求号函数的解 析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问 题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目.2. (2015秋？庄河市期末)已知指数函数f (x)=ax 16+7 (a>0且a¥1)的图象恒过定点P,若定点P在募函数g (x)的图象上，则募函数gX【分析】求出定点P,然后求解募函数的解析式， 即可得出

10、结论.【解答】解：指数函数f (x) =ax 16+7 (a>0且a#1)的图象恒过定点P,令 x 16=0,解得 x=16, 且f (16) =1+7=8,所以f (x)的图象恒过定点P (16, 8);设塞函数g (x) =xa, P在塞函数g (x)的图象上，可得：16a=8)解得a=|;所以 g (x) =J,哥函数g (x)的图象是A.故选：A.【点评】本题考查了指数函数与骞函数的性质与 应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题.3. (2015秋？九江校级期中)函数f (x) = (m2-m - 1) x是募函数)对任意x1)x2G (0,+0°)且x1#x2)满

11、足汽町).£底2)>0 若a be77X 1 X 2R)且 a+b>0)abv 0)则 f (a) +f (b)的值()A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无 法判断【分析】根据题意，求出塞函数f (x)的解析式， 利用函数f (x)的奇偶性与单调性，求出f (a) +f (b) >0.【解答】解：根据题意，得f (x) = (m2-m-1) xw-tt是募函数). m2 m 1=1)解得m=2或m= - 1;又f (x)在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4X29- 25- 1=2015>0,满足 题意；当 m= 一 1 时)指数 4X (1) 9

12、 (1) 51 二-4<0,不满足题意；哥函数f (x) =x2015是定义域R上的奇函数， 且是增函数；又a,bGR,且 a+b>0)，a>b,又abv0)不妨设bv0)即 a>- b>0,f (a) >f ( b) >0,f ( - b) = - f (b).f (a) >- f (b), ，f (a) +f (b) >0.故选：A.【点评】本题考查了骞函数的定义与性质的应用 问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问 题，是基础题目.4. (2014?西湖区校级学业考试)已知f二F,若0vavbv1,则下列各式中正确的是()A.B.a

13、babC. fQ）fG）F&）fd） D. fQ）*）fG）f（b） baab【分析】函数式止，的单调性，对a、b、呆i，区分大小，即可找出选项.【解答】解：因为函数汽m二方在（0, +°°）上是增函数，又kaS4l, b a故选C.【点评】本题考查骞函数的性质，数值大小比较, 是基础题.填空题（共1小题）5. （2016春？厦门校级期末）已知募函数f （x） 的图象经过点（!，喙），P （xi, y。, Q（X2, y2）（X1VX2）是函数图象上的任意不同两点，给出 以下结论： Xif（X1）X2f（X2）；Xif（X1） X2f（X2）；立卫乜L其中正7x j

14、x 2 7x x 2确结论的序号是.【分析】利用待定系数法求出骞函数的解析式；骞函数的指数大于0得到骞函数在（0, +"）上 的单调性；图象呈上升趋势，判断出正确.【解答】解：依题意）设f （x） =x则有（当）O=*，即（/）=）所以a得，于是f（X）=Xq.由于函数f（X）=X）在定义域0, +°0）内单调递 L-a增）所以当X1VX2时）必有f（Xi） < f（X2） 从而有Xif（Xi） < X2f（X2）,故正确； 又因为等，等，分别表示直线OP、OQ的 斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的 斜率，故等>等，所以正确.答案【点

15、评】本题考查利用待定系数法求号函数的解 析式、考查嘉函数的性质由骞函数的指数的取值 决定.三.解答题（共13小题）6. （2016春？宜春校级期末）已知塞函数f （x）=（m-1） 2x黯气十之在（0）+°°）上单调递增）函数 g (x) =2X - k.(I )求m的值;第15页（共32页）()当 xG1, 2时，记 f (x), g (x)的值 域分别为集合A, B,若AUB=A,求实数k的 取值范围.【分析】(I )根据塞函数的定义和性质即可求 出m的值，(H)先求出f (x), g (x)的值域，再根据若 AUB? A,得到关于k的不等式组，解的即可.【解答】解：(

16、I)依题意得：(m-1) 2=1, 解得m=0或m=2当m=2时，f (x) =x 2在(0, +8)上单调递减， 与题设矛盾，舍去m=0.(n)由(I)知 f (x) =x2,当 xG1, 2时, f (x), g (x)单调递增，.A=1, 4 , B=2-k, 4-k,/AU B? A,解得，0<k<1故实数K的取值范围为0, 1【点评】本题主要考查了塞函数的性质定义， 以 及集合的运算，属于基础题.7. (2016春？江阴市校级期中)已知函数f (x) 二(a 1) xa (aG R) g (x) =| lgx| .(I)若f (x)是号函数，求a的值并求其单调 递减区间；

17、(n)关于x的方程g (x - 1)+f(1)=0在区 间(1, 3)上有两不同实根xb x2 (x1x2),求 a+L+工的取值范围.叼 K2【分析】(I)根据骞函数的定义，求出a的值, 即得f (x)的解析式与单调递减区间；(口)把方程化为g (x-1) =1 - a,利用函数 y=g (x1)与 y=1a在 xG (1,3)的图象上 有二交点，得出a的取值范围以及x1,x2的关系， 从而求出a+工+工的取值范围.叼 k2【解答】解：(I).f (x) = (a- 1) xa (aG R), f (x)是号函数，由题有a-1=1,得a=2;2 .f (x) =x2的单调递减区间为(-

18、76;°, 0) 4'第17页(共32页)(n)方程 g (x - 1) +f (1) =0 化为 g (x - 1)=1 - a,由题意函数y=g (x - 1)与y=1 - a在x G (1,3)上有两不同交点.5'y=g (x-1) =|lg (x-1) |=口展：可；J 9 '7/ I1), 1<K< ?7在x<E (1, 2时，y=g (x-1)单调递减，又 y=g (x-1) G0)+°°)在xG2, 3)时，y=g (x-1)单调递增，y=g (x 1) e 0, ig2),9所以 0V 1 a< lg

19、2 ,即 1 ig2 V a< 1) -11,由 x1x2,可知 x* (1, 2), xzG (2, 3),-坨”i)一)且口吕七一。二日即"(叼-1)二1-2相加消去 a,可得 lg (xl 1) +lg (x2-1) =0,即(x1 一 1) (x2 1) =1)展开并整理得 x1x2=x1+x2)即L+- = 1.町工214,所以a+_L+L的取值范围为(2-lg2)2).yl16,【点评】本题考查了骞函数的定义与性质的应用 问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类 讨论与转化思想，是就综合性题目.8. (2015秋？资阳期末)已知函数f (x) = (a-1） xa

20、 (aG R) g (x) =| lgx| .(I)若f (x)是哥函数，求a的值；(n)关于x的方程g (x - 1)+f(1)=0在区 间(1)3)上有两不同实根x、x2(x1 vx2)求己3K1乳2 的取值范围.【分析】(I)利用嘉函数的定义能求出 a.(H )函数 y=g (x-1)与 y=1- a 在 xW (1, 3) 上有两不同交点，y=g (xT) =¥”%, 推导出 1 - lg2va<1,玄6 (1, 2), xzG (2, 3), 由此能求出疗工金的取值范围.町叼【解答】解：(I).f (x) = (a- 1) xa (aG R), f (x)是号函数，.

21、由题有a- 1=1,得a=2.(2分)第17页(共32页)(n)方程化为 g (x-1) =1 - a,由题有函数y=g (x 1)与y=1 a在x G (1,3)上有两不同交点.(3分)y=g (x-1) =| lg (x-1) I =安在 xG (1, 2时，y=g (x-1)单调递减，y=g (x- 1) G 0, +8),在 xG2, 3)时，y=g (x-1)单调递增，y=g(x-1) G 0, lg2), 5分所以 0<1 avlg2,即 1Tg2vav1, (7 分)由 x1Vx2,可知 x1W (1, 2), xzW (2, 3),且T1即尸司1£"2

22、一 L)二 一日11£盯一 D二i -a-相加消去 a,可得 lg O-1) +lg (x2-1) =0,即(x1 一 1) (x2 1) =1)展开并整理得x1x2=x1+x2,即(11 分)所以升工十上的取值范围为（2-lg2, 町2） .（12 分）【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的 值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真 审题，注意函数性质的合理运用.9. (2015秋？长沙校级期中).已知骞函数 fG)=JT-3(kEN*)的图象关于y轴对称，且在区间(0, +8)上是减函数，(1)求函数f (x)的解析式；(2)若 a>k,比较(lna) 0.7与(ln

23、a) 0.6的大小.【分析】(1)利用哥函数的性质，结合函数的奇 偶性通过kGN"求出k的值，写出函数的解析 式.(2)利用指数函数y= (lna) x的性质,把不等式大小比较问题转化为同底的哥比较大小，即可得出答案.【解答】解：(1)骞函数屯)=¥京7觉/)|的图象 关于y轴对称，所以，k2-2k-3<0,解得-1<kv3,因为k N*,所以k=1 , 2;且塞函数=在区间(0, +8)为减函数，. k=1)函数的解析式为：f (x) =x 4.(2)由(1)知，a>1.当 1vave时)0vlnav1)(lna) 07< (lna)0.6.当 a

24、=e 时,lna=1 , (lna) 0.7= (lna) 0.6;当 a>e时，lna>1, (lna) 0.7> (lna) 0.6.【点评】本题是中档题，考查嘉函数的基本性质， 考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用.10. (2014秋？旌阳区校级月考)已知骞函数 g(x) = (m22) xm (mWR)在(0, +8)为减 函数，已知f (x)是对数函数且f (-m+1) +f(-m - 1) =1.(1)求g (x), f (x)的解析式；(2)若实数 a 满足 f (2a-1) vf (5-a),求 实数a的取值范围.【分析】(1)根据题意，求出m的值，得出

25、g(x)的解析式，再求出f (x)的解析式；(2)根据题意，利用f (x)的单调性，列出不 等式组，求出实数a的取值范围.【解答】解：(1) 7哥函数g (x) = (m2-2)xm (mWR)在(0, +8)上为减函数，储-月 IiKO 解得m= - g.g (x) =i;第23页(共32页)又 f (x)是对数函数)且f (- m+1) +f ( - m-1) j.二设 f (x) =logax (a>0 且 a#1),，loga ( m+1) +loga ( m 1) =15即 loga (m21) =loga2=')解得a=4,.f (x) =log4x；(2) ,实数

26、a 满足 f (2a1) vf (5a),且f (x) =log4x在(0)+oo)上单调递增)pa - l>05- a>Q )25 - a解得:对;.实数a的取值范围是（丸2）.【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题, 也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题 目.11.（2013秋？大姚县校级期末）函数f（x）=/- 是偶函数.(1)试确定a的值，及此时的函数解析式；(2)证明函数f (x)在区间(-8, 0)上是减 函数；(3)当 x G - 2)0时)求函数 f (x) =2-。7 的 值域.【分析】(1)根据f (x)是偶函数，f ( - x) =f(x)求出 a=0;

27、(2)用定义证明f (x)在(-0)上是减函数；(3)由(2)得，根据f (x)在-2, 0的单调性，求出f (x)在-2, 0上的值域.【解答】解：(1) ,. f (x)是偶函数，f (- x) =f (x)即 乂2*一 = 2/一位 7 ,/. x2+ax 3=x2 ax 3; 二 a=0)，f (x) =2j；(2)证明：任取 xi、x2 ( 一°°)0),且 xix2；: xi<x2< 0? xi+x2V0)xi x2<0) 二(X1+X2)(Xi X2)>0),；：:； >1,即 f(x1)>f(x2)；f(X)在(-8, 0

28、)上是减函数；(3)由(2)知，f (x)在(-8, 0)上是减 函数；，当 XG 2, 0时，f ( 2 2)=2i)-3=2, f (0)f 71 2= ，函数f (x)在-2, 0上的值域是L 2.&【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，单调 性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的 问题，是综合题.12. (2011?福建模拟)如图，点 A、B、C都在 塞函数片方的图象上，它们的横坐标分别是 a、 a+1、a+2又A、B、C在X轴上的射影分别是 A'、B '、C ',记 AB ' C 的面积为 f (a), A' BC'的面积为

29、g (a)(1)求函数f (a)和g (a)的表达式；(2)比较f (a)与g (a)的大小，并证明你的 结论【分析】(1)间接法求f (a),利用f (a) =S"B'c=S 梯形 AA'C'CSa AAB' - Sa CC'B'求出f (&)的值，直接法求 g (a) = AC?BB(2)比较f (a)与g (a)的大小，用作差法,化简f (a) -g (a)到因式乘积的形式，判断符 号，从而比较大小.【解答】解：(1)连接AA '、BB'、CC',则 f (a)=S AB'C =S 梯形 A

30、A'C'C SaAA'B ' - SaCC'B'=M222 g (a) =Sabcm AC?BB' =BB' =") f Q) -) f (a) < g (a)【点评】本题考查嘉函数的应用，不等式比较大 小的方法，体现转化的数学思想.第27页(共32页)13. （2011秋？高安市校级期中）已知募函数 y=x"一如7 （niE N*）的图象关于y轴对称，且在（0,+8） 上是减函数.（1）求m的值；（2）求满足屋若的a的取值范围.【分析】（1）骞函数y=x1的图象关于y轴对称， 且在（0, +°

31、°）上是减函数.则必须满足 a为 偶数且a<0,则易得m的值.（2）再根据哥函数y=x 的单调性，求满足 s+i）W<（$-za）*的a的取值范围.【解答】解：（1）二.函数在（0, +8）上递减， . m2 2m 3v 0 即1 < m< 3,又 m W N*m=1或2,又函数图象关于y轴对称，m2 - 2m - 3为偶数，故m=1为所求.（2）函数片：在（-00, 0）, （0, +OO）上均为 减函数S+l） 3<O-2a） 3等价于 a+1 >3- 2a>0 或 0>a+1 > 3- 2a 或 a+1 <0<3

32、-2a,解得或J&故a的取值范围为（-8. du电今J1乙【点评】骞函数y=x, a V0时则为减函数；a>0时，塞函数为增函数.要注意 a的不同， 其定义域是不同的.解不等式时要注意.14. (2010秋？如东县期末)已知骞函数y=f (x) 经过点,(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；(3)试解关于x的不等式f (3x+2) +f (2x-4) >0.【分析】(1)设丫=*工代入,)可得a值，从而 得到哥函数的解析式.(2)根据函数解析式求出定义域，在考查f (- x)与f (x)的关系，依据函数奇偶性的定义作 出判断.(3)将不等式化为f

33、 (3x+2) >f (4-2x),分 3x+2与2x - 4都是正数、都是负数、异号三种 情况，依据函数的单调性及函数值范围列出不等 式组，最后把各个不等式组的解集取并集.【解答】解：(1)设y=xa,代入枭，彳导a= 一 1) 安?，邕.(2)定义域(-8)0) U (0, +8),又f(一 耳)=-f G) > .f (x)为奇函数.单调区间(-°°, 0), (0, +°°)(3)由 f (3x+2) +f (2x 4) >0 得 f (3x+2)>-f (2x-4),即 f (3x+2) >f (42x),3k+2

34、>0当 3x+2>0,4-2x>0 时,q - 2k>0 -x<-| , l3m+2<4 - 2x I当 3x+2<0, 42xV0 时，4-2m<q, x 无解，3x+2<4 - 2x I当3x+2与4-2x异号时，度帖x>2,综上所述)或x>2. 735【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单 调性、奇偶性解不等式.15. (2010秋？盐城校级期末)已知嘉函数f (x) =xa和对数函数g (x) =logax,其中a为不等于1 的正数(1)若骞函数的图象过点(27, 3),求常

35、数a 的值，并说明哥函数f (x)的单调性；(2)若0<a<1,且函数y=g (x+3)在区间-2, - 1上总有| y| 02,求a的取值范围.【分析】(1)将点的坐标代入骞函数解析式求出a ,据a >0,哥函数单调递增.求出函数的解析式，根据0vav1时，对 数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式 求出a的范围.【解答】解：(1)二.嘉函数的图象过点(27, 3),. 3=27, _!一%)-4-故函数在(-°0, +OO)上是单调增函数(2) y=g (x+3) =loga (x+3).0vav1, .y=loga (x+3)在区间-2, - 1上单调递减

36、 所以当x= - 2时y取得最大值0,当x= - 1时y 取得最小值loga2 |y| <2 -loga2W2在0阴【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析 式、骞函数的性质、对数函数的单调性及解对数 不等式.16 . (2007秋？虹口区校级期末)已知哥函数(mWZ)的图象关于y轴对称，且在区 间(0, +°0)为减函数(1)求m的值和函数f (x)的解析式(2)解关于x的不等式f (x+2) <f (1 2x).【分析】(1)利用号函数的性质，结合函数的奇 偶性通过mGZ,求出m的值，写出函数的解析 式.(2)利用函数的性质，函数的定义域，把不等 式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集.【解答】解：(1)骞函数(mGZ)的图 象关于y轴对称，且在区间(0, +°0)为减函数， 所以，m2- 4m< 0,解得 0vmv4,因为m G Z,所以m=2 ；函数的解析式为：f (x) =x 4.(2)不等式f (x+2) <f (1-2x),函数是偶函 数，在区间(0, +8)为减函数，所以 | 1 - 2x| < | x+2| ,解得 xL-：, 3),又因为 1 - 2x/0, x+2w0所以*Ey) U (y