辅助角公式的推导

1、辅助角公式。$由6 + /?85。=，。2 +Z?2 sin(6 + °)的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化asin夕+ /?cosg为一个角的 一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法，教师们总结出公式asin8 + cos<9 =J/ + sin(e + 0asine + bcos8 = Jo2 +b?cos(，- 9),让-教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1 .引例例 1求证：百sin。+cos6Z =2 s i n (a+ )=2 cos (a ).63其证法是从右往左展开证明，

2、也可以从左往右“凑”，使等式得到证明，并得出 结论：可见， JHsina+cosa可以化为一个角的三角函数形式.一般地,as inJ+bcos。是否可以化为一个角的三角函数形式呢？2 .辅助角公式的推导例2化asing + bcos。为一个角的一个三角函数的形式.解：asind +bc o s 6 =1a2 + / ( 八 " = sin 6+ . " 二 cost ),. ab® 令,-=c os(Z?,-二s i n(p ,J/ +/ Ja2 +b-则 a sinO+bco s 0 =ja + b2 (s i n/co s 夕+ c osOsi n (p)=y

3、ja2 +b2 si n ( 6 + 0),(其中 tan9 = 2)Cl-、， Qb八令 ,= =sin6? , ,- =c o s 0 ,则 asinp +b cosyja1 +b2 ja2 +b20 = yla+b2 ( s in。s i n(p +c o s 8cos(p) = JcT + b2 c os(6-g),(其中 tan.其中w的大小可以由s in0、c o s 9的符号确定"的象限，再由tan"的 值求出.或由tan0 =2和(a, b)所在的象限来确定.a推导之后，是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题：一是为什么要令, "二c

4、o S(P， "一产i n?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导，学生难记 Ja2 +/72易忘、易错！.让辅助角公式。sin夕+ b cos9=J/ +b2 sin(9 + 0)来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些？这是我多少年来一直思考的问题.2 0 09年春.我乂一次代2008级学生时，终于想出一种与三角函数的定义衔接乂通俗 易懂的教学推导方法.数的形式，无需化简.故有abW0.1 .在平面直角坐标系中，以a为横坐 标,b为纵坐标描一点P (a, b)如图1所示，则总有一个角中,它的终边经过点P.设0P二r , r=yja2 +/,由三角函数的定义知bbsi"一

5、 r，r Ja' +b-aaco s(p = =.r荷+从所以 a s i nO+bco s 0y/a2 +b2 cos9 si n0的终边X p(a.b)0x图10 +yla2 +b2 s i n(p c o sO首先要说明，若a=0或b=0时，asinO + bcos6已经是一个角的一个三角函2.若在平面直角坐标系中，以b为 横坐标，以a为纵坐标可以描点P( b, a), 如图2所示，则总有一个角9的终边经过点 P (b, a),设 0P=r,则 r=ya2 + .由夕的终边1 / P(b.a) /O+ b2 sin(8 + o).(其中三角函数的定义知a as i n（p = -

6、f,r yja- +b-b bCOS（P = =.=.r Ja2 +b2asinO + bcos。= &+ b1 sincpsmO + yja1 +b2 cos 9cos 6=yja2 +b2cos（0-（p）.（其中 t a n（p- - ） b例3 化百sin夕+ cos d为一个角的一个三角函数的形式.解：在坐标系中描点P（ 5/3,1）,设角0的终边过点P,则o P =r =J（途 j +=2. si nq二;,cos（p=-./ /3 Sin 0 + COS 0 =2cos （p sin 0 +2sin （p c os 3 = 2si ncy/3（夕 + 9）. tan （p

7、 -（D = -F69 + 2%），百Sind + COS，=2s i n（ + ）. ）6经过多次的运用，同学们可以在教师的指导下，总结出辅助角公式>Ja2 +b2asi n 0 + b cos 0 = /a+bn6+ / b CGS0）+b? sin（e + 0）,（其中 tang=2）.或者 y1a2+b2aa s in6 +bcos3 =+/?'（a2 +b2八b八s in 0+ 1= cos 0 ）=da2 + byjcr +b2 COS（ -（P）,（其中 tan0='）b我想这样的推导，学生理解起来会容易得多，而且也更容易理解a s i n9+bc os。凑

8、成，储+必（j_=sin6+ i b ；co s 6）的道理，以及为 什么只有两种形式的结果.例4化sin c cos a为一个角的一个三角函数的形式.解法一：点（1,一石）在第四象限.0P=2.设角°过P点.则sino = g, cos.满足条件的最小正角为*乃，（p ="兀+ 2k兀，k eZ. v3sin a -聒cos a = 2( sin a - - cos a) = 2(sin a cos cp + cos a sin cp)=2 sin(a + p) = 2 sin(cz + 2 乃 + 2k 兀)=2 sin(a + -兀).解法二：点P （-5/3,1）在

9、第二象限，o P=2 ,设角8过P点.则sin, cos? = -.满足条件的最小正角为-7T 226(p = 7r + 2k7r,k e Z.6>/3sine?-73 cos a = 2( sin a cos a) = 2(sin a sin 9 + cos a cos 9)2=2 cos(a -(p) = 1 cos(a *;r - 2k不)=2 cos(a -4).66三.关于辅助角的范围问题由 asine + Z?cos8 =/ sin（e + g）中，点 P（a,b）的位置可知，终边过点P（a,b）的角可能有四种情况（第一象限、第二象限、第三象限、第四象 限）.设满足条件的最小

10、正角为例，则9 =例+2%）.由诱导公式（一）知osine+ bcos® = Ja? +b2 sin（6 + °） = J。？ +b sin（e + %）.其中/e （0,2兀）,tan , （p、的具体位置由sin/与cos/决定，例的大小由tan cp= 一决定. a类似地，a sin e + b cgs e = da2 +cos（e-r）, 9 的终边过点 P （b,a ）,设满足条件的最小正角为/，则e = p+2Qr.由诱导公式有asinO + bcosO = ja2 +b2 cos（。-9） = Ja2 +b2 cos（0-）,其中口 £（0,2乃），

11、tan/=乜，份的位置由sin份和cos0确定，份的大小由 btan?2 =上确定. b注意：一般地，四。七；以后没有特别说明时，角外（或夕2）是所求 的辅助角.四.关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦还 是化为余弦要具体问题具体分析,还有一个重要问题是，并不是每次都要化为 asin0 + bcos0 =+b2 sin（ + ） 的 形 式 或osine + bcos。= /a2 +b cos（-（p2）的形式.可以利用两角和与差的正、 余弦公式灵活处理.例5化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式.（1） y/Ssina-cosa ；/

12、、& . /乃 、娓 /4、1.2) sin(c()H cos(a).6363>/3 sinar - cos a = 2( sin a - cos a)解：(1)22=2(sin a cos - - cos a sin ) = 2 sin(a -)666JI.4、册 产 、sin(- -a) + cos(- - a) 63636rl.产百万=-sm(- - a) + cos(- - a) J， 32Jy/2 . 7T7T 71. 7T=不-sin(y - a) cos + cos(y -a) sin -= 33在本例第（1）小题中，a = >/3,b = -l,我们并没有取

13、点而取的是点P（J，1）.也就是说，当。、b中至少有一个是负值时.我们可以取P （卜巾问），或者P （|©,同）.这样确定的角/（或%）是锐角，就更加方便.-7rl7t 1例 6 已知向量a = (cos(x + ),1), b = (cos(x + ),),77* c = (sin(x + ),0),求函数/?*) = “。一bc +2的最大值及相应的x的值.解:h(x) = cos2(x + )-sin(x + )cos* + ) + 2 3233 小 2 、1+ COS(2x+万)1cca1.25sin(2x+一)+ 一2 232=-cos(2x + -7V)-sin(2x +

14、 -) + 223232 V2 2_V22cos(2x + %)sin(2x + 万)+ 2/c 11、 ccos(2x + -t) + 2-2+四 2这时 2x + 兀=2k小 x = k7r7r.k G Z .1224此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围，在相应 范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7如图3 ,记扇OAB的中心角为45',半径为1,矩形PQMN内接于这个扇 形，求矩形的对角线/的最小值.解:连结0M,设NAOM=d .则MQ = sin。，0 Q=cos。，OP二PN=sin，.PQ=OQ 0 P = cos 夕 一 sinZ2