辽宁省朝阳市蒙古族高中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

1、辽宁省朝阳市蒙古族高中2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（理科）一选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求）1某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A100B150C200D2502若x1，x2，x3，x2013的方差为3，则3（x12），3（x22），3（x32），3（x20132）的方差为（）A3B9C18D273命题“xR，x22x+40”的否定为（）AxR，x22x+40BxR，x22x+40CxR，x22x

2、+40DxR，x22x+404已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A1B0.85C0.7D0.55已知椭圆与双曲线=1有相同的焦点，则a的值为（）ABC4D106如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）Ak3？Bk4？Ck5？Dk6？7下列说法中，正确的是（）A命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题B已知xR，则“x22x3=0”是“x=3”的必要不充分条件C命题“pq”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题D已知xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件8下列说法中正确的

3、是（）A若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B若事件A与事件B满足条件：P（AB）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是 对立事件C一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件9设P为椭圆上一点，且PF1F2=30°PF2F1=45°，其中F1，F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（）ABCD10椭圆上的两点A、B关于直线2x2y3=0对称，则弦AB的中点坐标为（）ABCD11已知椭圆

4、的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（）ABCD12已知椭圆C： +=1（ab0），F1，F2为左右焦点，点P（2，）在椭圆C上，F1PF2的重心为G，内心为I，且有=（为实数），则椭圆方程为（）A +=1B +=1C +=1D +=1二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13双曲线的渐近线方程为14设M（5，0），N（5，0），MNP的周长是36，则MNP的顶点P的轨迹方程为15点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为16已知椭圆的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若

5、椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得csinPF1F2=asinPF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17已知命题p：|xa|3，q：（x1）（4x）0（1）当a=1时，若“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；（2）若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段40，50），50，60），90，100，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：（1）求7080分数段的学生人数；（2）估计这次考试中该

6、学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率19已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围20已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方

7、程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程21正项数列an的前n项和为Sn，且Sn=（）2（）证明数列an为等差数列并求其通项公式；（）设cn=，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn22已知点是离心率为的椭圆C：上的一点斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合（）求椭圆C的方程；（）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值2015-2016学年辽宁省朝阳市蒙古族高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本题共12个小题，每小题5分，

8、共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求）1某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A100B150C200D250【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，样本容量n=5000×=100故选：A【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键2若x1，x2，x3，x2013的方

9、差为3，则3（x12），3（x22），3（x32），3（x20132）的方差为（）A3B9C18D27【考点】极差、方差与标准差【专题】概率与统计【分析】利用方差与数据变化的线性关系解答即可【解答】解：若y=3（x2）=3x6，则D（y）=9D（x），因为D（x）=3，所以D（y）=9D（x）=9×3=27故选：D【点评】本题考查了调查数据的变化与方差的变化关系，关键是利用数据的变化规律得到方差的变化规律3命题“xR，x22x+40”的否定为（）AxR，x22x+40BxR，x22x+40CxR，x22x+40DxR，x22x+40【考点】全称命题；命题的否定【专题】计算题【分析】本

10、题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：命题“xR，x22x+40”，命题的否定是“xR，x22x+40”故选B【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化4已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A1B0.85C0.7D0.5【考点】线性回归方程【专题】计算题；概率与统计【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线

11、性回归方程求出m的值【解答】解：=， =，这组数据的样本中心点是（，），关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，=2.1×+0.85，解得m=0.5，m的值为0.5故选：D【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题5已知椭圆与双曲线=1有相同的焦点，则a的值为（）ABC4D10【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆、双曲线几何量之间的关系，即可求出a的值【解答】解：由题意，a24=9+3，a0，a=4故选：C【点评】本小题考查双曲线

12、与椭圆的关系，考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查6如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）Ak3？Bk4？Ck5？Dk6？【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 否故退出循环的条件应为k4？故答案选：B【点评】

13、算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误7下列说法中，正确的是（）A命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题B已知xR，则“x22x3=0”是“x=3”的必要不充分条件C命题“pq”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题D已知xR，则“x1”是“x2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】证明题【分析】根据四种命题的定义，写出原命题的逆命题，进而

14、根据不等式的基本性质可判断A的真假；根据充要条件的定义，可判断B，D的真假；根据复合命题的真值表，可判断C的真假【解答】解：命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是“若ab，则am2bm2”，当m=0时不成立，故A错误；当“x22x3=0”时“x=3或x=1”，“x=3”不一定成立，而当“x=3”时，“x22x3=0”一定成立，故B正确；若“pq”为真命题，则“命题p”和“命题q”中至少有一个为真命题，但不一定全为真命题，故C错误；当“x1”时，“x2”不一定成立，而“x2”时，“x1”一定成立，故“x1”是“x2”的必要不充分条件，故D错误故选B【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，充要

15、条件，熟练掌握充要条件的定义及四种命题的定义是解答的关键8下列说法中正确的是（）A若事件A与事件B是互斥事件，则P（A）+P（B）=1B若事件A与事件B满足条件：P（AB）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B是 对立事件C一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件【专题】计算题；概率与统计【分析】由互斥事件和对立事件的概念可判断结论【解答】解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每

16、人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，故选：D【点评】本题考查事件的概念，考查互斥事件和对立事件，考查不可能事件，不可能事件是指一个事件能不能发生，不是说明两个事件之间的关系，这是一个基础题9设P为椭圆上一点，且PF1F2=30°PF2F1=45°，其中F1，F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，利用正弦定理，可求得m，n与c的关系，从而可求椭圆的离心率【解答】解：设|

17、PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，则，又|PF1|+|PF2|=m+n=2a，e=故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|、|PF2|与|F1F2|之间的关系是关键，考查分析与运算能力，属于中档题10椭圆上的两点A、B关于直线2x2y3=0对称，则弦AB的中点坐标为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A（x1，y2），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），则，由于A、B关于直线2x2y3=0对称，可得kAB=1，2x02y03=0把A（x1，y2），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得：，两式相减可得x0=4y

18、0联立解得即可【解答】解：设A（x1，y2），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），则，A、B关于直线2x2y3=0对称，kAB=1，2x02y03=0把A（x1，y2），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得：，两式相减得，化为x0=4y0联立，解得弦AB的中点M坐标为故选：D【点评】本题考查了“点差法”、椭圆上存在关于已知直线的对称点问题，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了计算能力，属于难题11已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（）ABCD【考点】椭圆的应用；几何概型【专题】计算题；压轴题【分析】

19、当F1PF2=90°时，P点坐标为，由，得F1PF290°故的M点的概率【解答】解：|A1A2|=2a=4，设P（x0，y0），当F1PF2=90°时，解得，把代入椭圆得由，得F1PF290°结合题设条件可知使得的M点的概率=故选C【点评】作出草图，数形结合，事半功倍12已知椭圆C： +=1（ab0），F1，F2为左右焦点，点P（2，）在椭圆C上，F1PF2的重心为G，内心为I，且有=（为实数），则椭圆方程为（）A +=1B +=1C +=1D +=1【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】在F1PF2的重心为G，内心为I，由于点

20、P（2，）以及=（可得内心IG的纵坐标，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可得到椭圆方程【解答】解：设点P距x轴的距离为，因为IGF1F2，则点I距x轴的距离为，连接F1I，F2I，PI，则，所以，所以，所以椭圆方程为故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13双曲线的渐近线方程为x±y=0【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线的右边，设为0，可得渐近线方程【解答】解：双曲线的右边，设为0，

21、可得渐近线方程为x±y=0故答案为： x±y=0【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础14设M（5，0），N（5，0），MNP的周长是36，则MNP的顶点P的轨迹方程为+=1（y0）【考点】椭圆的标准方程【专题】动点型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设P（x，y），易求|MN|=10，PM|+|PN|=26，根据椭圆定义可判断点P轨迹为以M、N为焦点的椭圆，但不与M、N共线，从而可求得动点P的轨迹方程【解答】解：设P（x，y），由M（5，0），N（5，0）知|MN|=10，由MNP的周长是36，得|PM|+|PN|=36|MN|=3610=26

22、10，所以顶点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，但不与M、N共线，设椭圆方程为，则2a=26，c=5，所以a=13，b2=a2c2=13252=144，所以MNP的顶点P的轨迹方程为+=1（y0）【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程的求解，解决本题的关键是准确理解椭圆定义，注意检验特殊点15点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，由此得到这个椭圆的参数方程为：（为参数），再由三角函数知识求x+2y的最大值【解答】解：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，这个椭圆的参

23、数方程为：，（为参数）x+2y=，故答案为：【点评】本题考查椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用16已知椭圆的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得csinPF1F2=asinPF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据正弦定理与题中等式，算出=e（e是椭圆的离心率）作出椭圆的左准线l，作PQl于Q，根据椭圆的第二定义得，所以|PQ|=|PF2|=设P（x，y），将|PF1|、|PF2|表示为关于a、c、e、x的式子，利用|PF

24、2|+|PF1|=2a解出x=最后根据椭圆上点的横坐标满足axa，建立关于e的不等式并解之，即可得到该椭圆离心率的取值范围【解答】解：PF1F2中，由正弦定理得=，=又csinPF1F2=asinPF2F1，=e（e为椭圆的离心率），由此可得=e，作出椭圆的左准线l，设P在l上的射影为点Q，连结PQ，由椭圆的第二定义，得，因此|PQ|=|PF2|=设P（x，y），可得|PQ|=x+，|PF2|=x+，|PF1|=e|PF2|=e（x+）由椭圆的第一定义，得|PF2|+|PF1|=2a，即（1+e）（x+）=2a，解得x=P（x，y）为椭圆上一点，满足axa，aa，即11，解之得e或e椭圆的离心

25、率e（0，1），该椭圆离心率的取值范围是故答案为：【点评】本题给出椭圆上点P满足到左、右焦点的距离之比等于离心率e，求离心率的取值范围着重考查了正弦定理、椭圆的定义与简单几何性质和不等式的解法等知识，属于中档题三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17已知命题p：|xa|3，q：（x1）（4x）0（1）当a=1时，若“p且q”为真命题，求实数x的取值范围；（2）若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】（1）利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化简命题p，q

26、，由“p且q”为真命题，可知：命题p与q都为真命题，即可得出（2）求出p，q，利用非p是非q的充分不必要条件，即可解出【解答】解：（1）当a=1时，命题p化为：2x4，命题q化为：1x4，“p且q”为真命题，解得1x4实数x的取值范围是（1，4）（2）p：xa3或xa+3；q：x1或x4，非p是非q的充分不必要条件，解得1a4【点评】本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段40，50），50，60），90，100，画出如如图所示的部分频率分布

27、直方图，请观察图形信息，回答下列问题：（1）求7080分数段的学生人数；（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；概率与统计【分析】（1）根据条形统计图1求出7080分数段的学生人数频率，乘以60即可确定出人数；（2）求出80分及以上学生人

28、数，确定出优生率，找出中位数，平均值即可；（3）根据题意得出所有等可能的情况数，找出“最佳组合”数，即可确定出选出的两组为“最佳组合”的概率【解答】解：（1）根据题意得：60×1（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=18（人）；（2）成绩在80分及以上的学生有60×（0.005+0.025）×10=18（人），估计这次考试中该学科的优分率为×100%=30%；该学科4050分数段人数为60×0.01×10=6（人）；5060分数段人数为60×0.015×10=9（人）；6

29、070分数段人数为60×0.015×10=9（人）；7080分数段人数为18人；8090分数段人数为60×0.025×10=15（人）；90100分数段人数为60×0.005×10=3（人）；估计这次考试中位数为7080分数段，即75分；平均值为（45×6+55×9+65×9+75×18+85×15+95×3）=71（分）；（3）所有的组合数：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（

30、3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，则P=【点评】此题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，中位数，平均数，弄清统计图中的数据是解本题的关键19已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围【考点】带绝对值的函数；其他不等式的解法【专题】计算题；压轴题【分析】（）不等式等价于，或，或分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）由绝对值不等式的

31、性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a1|4，解此不等式求得实数a的取值范围【解答】解：（）不等式f（x）6 即|2x+1|+|2x3|6，或，或解得1x，解得x，解得x2故由不等式可得，即不等式的解集为x|1x2（）f（x）=|2x+1|+|2x3|（2x+1）（2x3）|=4，即f（x）的最小值等于4，|a1|4，解此不等式得a3或a5故实数a的取值范围为（，3）（5，+）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解体现了分类讨论的数学思想，属于中档题20已知椭圆C的两个焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）

32、若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求【解答】解：（1）设椭圆C的方程为根据题意知，解得，故椭圆C的方程为（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x1）由，得（2k2+1）x24k2x+2（k21）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即=，解得，即k=故直线l的